Уравнение шредингера в потенциальном ящике

Уравнение шредингера в потенциальном ящике

Особое место занимают задачи, в которых потенциальная энергия зависит только координат:

Такие состояния называются стационарными, так как в них сохраняется энергия системы E. Отсутствие явной зависимости гамильтониана от времени позволяет выполнить разделение переменных. Волновую функцию ищем в виде произведения

Множитель f ( t ) отражает волновую природу частиц в квантовой теории. Мы в этом убедимся, когда выведем для него явное выражение. Подставим (1) в уравнение Шредингера (8.1.8):

и разделим обе части равенства на произведение

Левая часть зависит лишь от времени, а правая — только от пространственных координат. Следовательно, они обе равны одной и той же константе:

Легко убедиться, что константа имеет размерность энергии. Таким образом, имеем два уравнения

причём второе показывает, что константа разделения E действительно равна энергии системы. Зависимость волновой функции от времени получаем из (2a):

Итак, временнóй множитель стационарного состояния является осциллирующей функцией. Энергии E соответствует частота . Следовательно, формула (3) в той же мере описывает состояние с энергией E, как — колебания на частоте w .

Пространственная часть волновой функции удовлетворяет уравнению (2b), которое с учётом выражения (1.7) восьмой главы для оператора Гамильтона можно переписать как:

Мы получили стационарное уравнение Шредингера. Полная волновая функция имеет вид

Плотность вероятности в стационарном случае не зависит от времени. В самом деле, квадрат модуля временнóго множителя (3) равен единице:

Следовательно, вероятность W найти частицу в той или иной точке пространства (формула (2.1) восьмой главы) определяется исключительно координатной частью волновой функции:

Формула (5) окончательно проясняет смысл функции f ( t ). Последняя описывает волновые свойства стационарного состояния, но никак не влияет на местоположение частицы.

В одномерном случае (4) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка

Штрихом для краткости обозначен оператор дифференцирования по единственной пространственной координате x :

В дальнейшем мы рассмотрим несколько задач для простейших одномерных потенциалов.

9.1 Свободная частица

Решим уравнение (6) предполагая отсутствие внешних полей, то есть, при равном нулю потенциале U :

получаем уравнение гармонической функции

Его два линейно независимых решения равны:

Далее, введём частоту

и перепишем временнýю часть волновой функции в виде

Полная волновая функция равна

Таким образом, решением уравнения (1.1) являются две плоские волны, распространяющиеся в противоположные стороны. Мы снова вернулись к связи между свободной частицей и монохроматической волной.

Формула (1.5) иллюстрирует важное свойство микромира. А именно, одному значению энергии может соответствовать несколько различных квантовых состояний. Такие уровни энергии принято называть вырожденными, а число квантовых состояний — степенью вырождения, или статистическим весом. В данном случае статистический вес равен двум, соответственно числу возможных направлений движения волны. Явление вырождения является типичным для квантовой механики.

В случае одномерного движения вырождение определяется именно возможностью частице свободно двигаться в обоих направлениях. Покажем, что если её движение ограничено хотя бы с одной стороны, то вырождение исчезает.

9.2. Одномерное движение, ограниченное с одной стороны.

Поставим вопрос, насколько могут различаться волновые функции y ₁ и y ₂, являющиеся решением уравнения (6), если они соответствуют одному и тому же уровню энергии E. Предполагается, что частица может неограниченно удаляться только в одном из двух направлений по оси x . Покажем, что при выполнении этого условия обе функции описывают одно и то же квантовое состояние. Поскольку они удовлетворяют уравнению (6), мы можем записать

(2.1)

В последнем равенстве прибавим и вычтем произведение . После этого становится ясно, что (2.1) является производной следующего уравнения:

Теперь воспользуемся условием частичной ограниченности движения. В направлении, куда частица не имеет права двигаться неограниченно, обе волновые функции на бесконечности исчезают. Следовательно, константа в правой части (2.1) равна нулю, и справедливо равенство

После повторного интегрирования получим

Согласно пункту «Принцип суперпозиции» раздела 2.1 восьмой главы, волновые функции, различающиеся лишь постоянным множителем, описывают одно и то же состояние.

Итак, вырождение отсутствует, если движение частицы вдоль прямой ограничено хотя бы с одной стороны.

9.3 Частица в потенциальном ящике

Рассмотрим задачу о прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. На рис.9.3.1 ей соответствует потенциал следующего вида: В промежутке 0 x L он равен

нулю и частица там движется свободно, а за пределами этого интервала ( x x > L) потенциал равен бесконечности. В области 0 ≤ x ≤ L уравнение Шредингера сводится к (1.1). В задаче о свободной частице мы получили осциллирующие решения (1.4), которые записали в виде экспоненты с мнимыми показателями ± i kx . Сейчас нам удобнее перейти к эквивалентному представлению, содержащему синус и косинус:

Константы A, B и k найдём из граничных условий и нормировки волновой функции. На стенках волновая функция обращается в нуль, так как в силу бесконечности потенциала частица не может выйти за пределы интервала 0 ≤ x ≤ L. Первое граничное условие даёт

что позволяет уточнить (3.1):

накладывает ограничения на величину волнового числа частицы. В самом деле, из уравнения

Обратим внимание на то, что параметр n не принимает нулевого значения, так как в этом случае волновая функция повсюду равна нулю, что означает отсутствие частицы в ящике. Таким образом, мы получили решение

Константу A найдём из условия нормировки (8.2.7):

для любого n . Итак, нормированная волновая функция n –го состояния равна

Собственному вектору задачи (3.3), согласно (3.2) и (1.2), соответствует собственное значение энергии

.

Мы получили дискретный энергетический спектр, иными словами — квантование энергии. Состояние, в котором частица имеет самое низкое из всех возможных значение энергии, принято называть основным. В рассматриваемой задаче основное состояние отвечает значению n = 1. Остальные уровни энергии называют возбуждёнными.

Энергия частицы в потенциальном ящике не может принимать нулевого значения:

Этот факт имеет чисто квантовую природу. Действительно, если мы локализуем частицу на отрезке длиной L:

то, согласно соотношению неопределенностей Гайзенберга , она имеет импульс

а, следовательно, её минимальная энергия составит

что с точностью до численного множителя совпадает с величиной . Мы лишний раз убедились, что заключённая внутри атома частица микроскопической массы не может находиться в состоянии покоя.

Формулы (3.3) и (3.4) показывают, что волновая функция однозначно определяется значением энергии. Таким образом, в данном случае вырождение не имеет места, в согласии с общим результатом, полученным в предыдущем разделе.

На рис.9.3.2 изображены волновая функция y ( x ) (слева) и вероятность W( x ) (справа) для

трёх первых значений n = 1, 2, 3. По горизонтальной оси отложено отношение x /L. Чёрным цветом обозначено основное состояние, синим — n = 2 и зелёным — n = 3. Прямые линии параллельные оси x (1, 4 и 9) отмечают значение энергии. В тех точках, где волновая функция обращается в нуль, частица никогда не будет обнаружена. Нулям функции W( x ) нет аналогии в классической механике, но им соответствуют узлы стоячих волн в теории колебаний.

Подсчитаем число узлов волновой функции. Функция, описывающая основное состояние частицы, обращается в нуль только на концах интервала, а внутри него она узлов не имеет. В первом возбуждённом состоянии волновая функция имеет ровно один корень внутри отрезка (0, L), во втором — два и так далее. Здесь проявляются общие закономерности одномерного движения.

В математике известна так называемая осцилляционная теорема, справедливая для дискретного спектра энергии. Она связывает друг с другом номер собственного значения и число узлов волновой функции. Перенумеруем собственные значения оператора с помощью числа n , принимающего следующий ряд значений:

Функция ψ _n ( x ), соответствующая собственному значению E _n , при конечных значениях аргумента обращается в нуль ровно n раз. Если, как в рассматриваемой задаче, частица может находиться только на ограниченном отрезке оси x , то речь идёт о нулях функции ψ _n ( x ) внутри этого отрезка. Волновая функция основного состояния ( n = 0 ) узлов не имеет.

Плотность вероятности, соответствующая очень большим значениям n , быстро осциллирует (рис.9.3.3). В случае прибора с конечной разрешающей способностью в его апертуру попадает много пиков, и мы таких осцилляций не обнаружим. Так квантовая механика переходит в классическую .

Длина волны де Бройля

в классическом пределе n>>1 значительно меньше размеров системы L. Это случай геометрической оптики (классической механики), когда волновыми свойствами частицы можно пренебречь. Квантование энергии при этом тоже становится незаметным. Разность энергий между уровнями с номерами n и Δn при больших значениях n может быть вычислена с помощью производной функции (3.4) по n :

При увеличении квантового числа n энергетическая щель между двумя соседними уровнями ( Δn = 1) растёт медленнее, чем энергия уровней:

Таким образом, сильно возбуждённые состояния в классическом пределе ( ) практически сливаются друг с другом и образуют спектр, близкий к непрерывному .

Некоторые примеры

Рассмотрим различные варианты движения частицы, меняя её массу и область локализации.

1. Макроскопическая частица в макроскопических масштабах: m = 1г, L = 1см. Для неё

Такую величину измерить невозможно. Оценим номер уровня при скорости движения V = 1 см/ с . Кинетическая энергия

m V 2 составляет около 1 эрг. Отсюда, согласно (3.4),

Энергетическая щель (3.7) между соседними уровнями составляет

Она также слишком мала, чтобы её можно было обнаружить. Таким образом, макроскопическая частица находится на очень высоком квантовом уровне, а расстояние между соседними уровнями настолько мало, что квантовых свойств мы наблюдать не будем. Поэтому энергетический спектр является практически непрерывным, в соответствии с (3.7).

2. Электрон в макроскопических масштабах длин: m

1 см. Его энергетический спектр почти совпадает с (3.8).

3. Электрон в атоме: L

10 –8 см. В этом случае квант энергии по порядку величины равен

оказывается вполне сравнимым с оценкой энергии основного состояния атома (1.2.5).

Итак, дискретность энергетического спектра заметна только для микроскопических частиц в микроскопических масштабах. Энергия макроскопических частиц на любых масштабах, а также микрочастиц в макроскопических масштабах имеет спектр, практически неотличимый от непрерывного .

9.4 Потенциальный порог

Согласно классической механике, частица, налетая на потенциальный порог, проскакивает его, если её энергия достаточно велика. В противном случае она отражается от барьера.

В квантовой механике ситуация сложнее. На рис.9.4.1 график потенциальной энергии U ( x ) изображён синей линией. Функция U ( x ) обращается в нуль в области отрицательных значений аргумента и равна постоянной величине U₀ для x &#8805 0:

В точке x = 0 потенциальная энергия терпит разрыв. Энергия налетающей частицы E помечена зелёным цветом. В этом разделе мы будем считать, что энергия частицы меньше потенциального барьера:

В классической механике такое неравенство означает отражение частицы. Переходим к решению уравнения Шредингера. Для отрицательных значений аргумента оно записывается как

а в области x ≥ 0 имеет вид

Решение этих уравнений должно удовлетворять следующим условиям:

Условие (4.5a) означает ограниченность волновой функции. Оно вытекает из того, что вероятность | y | 2 обнаружить частицу в той или иной точке пространства должна быть конечной величиной. Требование непрерывности волновой функции (4.5b) отражает отсутствие процессов рождения и аннигиляции частиц. Непрерывность первой производной является следствием ограниченности потенциала. Для вывода (4.5c) уединим вторую производную в левой части уравнения Шредингера (6):

Если все величины в правой части ограничены:

то из (4.6) следует ограниченность второй производной волновой функции. Отсюда, в свою очередь, вытекает непрерывность . В предыдущем разделе потенциал на краях интервала 0 ≤ x L обращался в бесконечность (рис. 9.3.1). Именно там первая производная терпит разрывы, приводящие к изломам волновой функции в точках 0 и L.

Приступим к решению задачи. Введём волновые числа

с которыми уравнения (4.3) и (4.4) преобразуются в

Первое уравнение имеет осциллирующие решения, аналогичные (3.1). Но сейчас нам удобнее перейти к их экспоненциальному представлению с мнимой единицей:

Решение второго уравнения — линейная комбинация убывающей и растущей экспонент:

Граничные условия (4.5) дают три уравнения:

С их помощью константы A и B могут быть выражены через C:

Мы ввели обозначения

Таким образом, в области x

Оно представляет сложение двух волн равной амплитуды. Первое слагаемое описывает падающую волну, второе — отражённую, их сумма — стоячую волну.

Перейдём к области x > 0, запрещённой для движения классической частицы. Константу C удобно выразить через параметры a и j :

Решением здесь является экспоненциально затухающая функция

На расстоянии x₀ = 1/k₂ она убывает в e раз. Соответственно, вероятность обнаружить частицу на расстоянии x₀ от порога равна |Ψ₂| 2 ≈ 0.1. Рис. 9.4.2 иллюстрирует полученное решение. Потенциальный барьер помечен синим цветом. Слева от границы барьера осциллирующая часть волновой функции Ψ₁ изображена зелёной кривой, а красная линия справа обозначает экспоненциально затухающую функцию Ψ₂ . Пунктиром показана касательная к волновой функции в

начале координат. Она пересекает горизонтальную ось в точке x = x ₀.

Формула (4.9) показывает, что квантовая частица может проникать сквозь потенциальный барьер даже в том случае, когда её энергия E меньше его высоты U₀. В пределе классической физики величина x₀ стремится к нулю вместе с постоянной Планка:

Чем больше энергия E частицы, тем дальше проникает она в классически запрещённую область движения. Если мы будем увеличивать энергию E, приближая её к U₀, то, согласно (4.10), величина x₀ неограниченно растёт. Это соответствует классическим представлениям о том, что частица с энергией E ≥ U₀ должна беспрепятственно проходить потенциальный барьер. Схематически

зависимость x₀ от E представлена на рис. 9.4.3.

Попробуем обнаружить частицу в окрестности точки x₀, например, «подсветив» её фотоном. Частица будет локализована в пространстве с точностью

Согласно соотношению неопределённостей Гайзенберга , мы сообщим ей импульс

то есть, частица приобретает дополнительную энергию

позволяющую преодолеть потенциальный барьер. Таким образом, «подсвеченную» частицу можно обнаружить в области, недоступной для классического движения; но её энергия окажется выше пороговой.

Уравнение шредингера в потенциальном ящике

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса _x, _y, _z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

где – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).

Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

или

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():

−(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ().

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)

Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений E_n

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E_n соответствует волновая функция ψ_n(x), которая с учетом условия нормировки

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψ_n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

n = 1, 2, …

Одномерный гармонический осциллятор:

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

где радиальная функция R_nl(r) и угловая функция Y_lm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2 Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.16)

Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y_lm(θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R_nl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R_nl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r₀ = ћ 2 /m_ee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L_z являются решением уравнений

2 Y_lm(θ,φ) = L 2 Y_lm(θ,φ) и _zY_lm(θ,φ) = L_zY_lm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L_z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y_lm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

2 = ћ 2 s(s + 1)

(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s_zћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число s_z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s_z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s_z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

= + .

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция на выделенную ось J_z также принимает дискретные значения:

Число значений проекции J_z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l_z и s_z, то j_z также определена однозначно: j_z = l_z + s_z.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

n	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1).
L, l	Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
m	Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, s	Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
sz	Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или π	Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
I	Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

• Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
• Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
• Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
• Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

• Кулоновский потенциал U = Q/r,
• Прямоугольная потенциальная яма
• Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
• Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

где U₀, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j_z, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ —). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d_5/2?

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>_n = |1, 1 /₂: 3 /₂>, |l,s:j>_p = |1, 1 /₂: 3 /₂>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>₁ = |1, 1 /₂: 3 /₂> и |l,s:j>₂ = |1, 1 /₂: 3 /₂>?

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента j_z. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; j_z = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; j_z = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию J_z. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона электронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /₂L, x = 2 /₃L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /₃L, 2 /₃L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?
Ответ: L_z = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?

Уравнение Шредингера (общие свойства)

№1 Стационарное уравнение Шредингера имеет вид . Это уравнение записано для….

Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид

, где потенциальная энергия микрочастицы. Для одномерного случая . Кроме того, внутри потенциального ящика , а вне ящика частица находиться не может, т.к. его стенки бесконечно высоки. Поэтому данное уравнение Шредингера записано для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками.

Линейного гармонического осциллятора

ü Частицы в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками

Частицы в трехмерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками

Электрона в атоме водорода

Установите соответствия между квантовомеханическими задачами и уравнениями Шредингера для них.

Общий вид стационарного уравнения Шредингера имеет вид:

потенциальная энергия частицы,

оператор Лапласа. Для одновременного случая

.Выражение для потенциальной энергии гармонического осциллятора ,т.е частицы совершающей одномерное движение под действием квазиупругой силы имеет вид U= .

Значение потенциальной энергии электрона в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками U=0.Электрон в водородоподобном атоме обладаем потенциальной энергией Для атома водородаZ=1 .

Таким образом, для электрона в одномерном потенциальном ящике ур-ие Шредингера имеет вид:

С помощью волновой функции ,являющейся решением уравнения Шредингера ,можно определить….

Варианты ответа: (Укажите не менее двух вариантов ответа)

Средние значения физических величин ,характеризующих частицу

Вероятность того,что частица находится в определенной области пространства

Величина имеет смысл плотности вероятности(вероятности,отнесенной к единице объема),т.е определяет вероятность пребывания частицы в соответствующем месте пространства.Тогда вероятность W обнаружения частицы в определенной области пространства равна

Уравнение Шредингера (конкретные ситуации)

№1Собственные функции электрона в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками имеют вид где ширина ящика, квантовое число, имеющее смысл номера энергетического уровня. Если число узлов функции на отрезке и , то равно…

Число узлов , т.е. число точек, в которых волновая функция на отрезке обращается в нуль, связано с номером энергетического уровня соотношением . Тогда , и по условию это отношение равно 1,5. Решая полученное уравнение относительно , получаем, что

Ядерные реакции.

№1В ядерной реакции буквой обозначена частица …

Из законов сохранения массового числа и зарядового числа следует, что заряд частицы равен нулю, а массовое число равно 1. Следовательно, буквой обозначен нейтрон.

На графике в полулогарифмическом масштабе показана зависимость изменения числа радиоактивных ядер изотопа от времени.Постоянная радиоактивного распада в равна …(ответ округлите до целых)

Число радиоактивных ядер изменяется со временем по закону -начальное число ядер, -постоянная радиоактивного распада.Прологарифмировав это выражение,получим

ln .Следовательно, =0,07

Законы сохранения в ядерных реакциях.

Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения …

Во всех фундаментальных взаимодействиях выполняются законы сохранения: энергии, импульса, момента импульса (спина) и всех зарядов (электрического , барионного и лептонного ). Эти законы сохранения не только ограничивают последствия различных взаимодействий, но определяют также все возможности этих последствий. Для выбора правильного ответа надо проверить, каким законом сохранения запрещена и какими разрешена приведенная реакция взаимопревращения элементарных частиц. Согласно закону сохранения лептонного заряда в замкнутой системе при любых процессах, разность между числом лептонов и антилептонов сохраняется. Условились считать для лептонов: . лептонный заряд а для антилептонов: . лептонный заряд . Для всех остальных элементарных частиц лептонные заряды принимаются равными нулю. Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения лептонного заряда , т.к.

ü Лептонного заряда

Спинового момента импульса

Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения…

Во всех фундаментальных взаимодействиях выполняются законы сохранения: энергии,импульса,момента импульса(спина)и всех зарядов(электрического Q,барионного B и лептонного L).Эти законы сохранения не только ограничивают последствия различных взаимодействий,но определяют также все возможности этих последствий. Согласно закону сохранения барионного заряда B,для всех процессов с участием барионов и антибарионов суммарный барионный зарад сохраняется. Барионам (нуклонам n,p и гиперонам)приписывается барионный заряд

B=-1,а всем остальным частицам барионный заряд-B=0.Реакция не может идти из-за нарушения закона барионного заряда B,т.к (+1)+(+1)

Варианты ответа: ,лептонного заряда,спинового момента импульса,электрического заряда.

Законом сохранения электрического заряда запрещены реакции…

Варианты ответа(не менее 2):

При взаимодействии элементарных частиц и их превращении в другие возможны только такие процессы,в которых выполняются законы сохранения,в частности закон сохранения электрического заряда:суммарный электрический заряд частиц,вступающих в реакцию,равен суммарному электрическому заряду частиц,полученных в результате реакции.Электрический заряд Q в единицах элементарного заряда равен:у нейтрона (n) Q=0,протона (P) Q=+1, электрона ( )Q=-1,позитрона ( ) Q=+1,электронного нейтрино и антинейтрино ( Q=0, антипротона ( Q=-1, мюонного нейтрино ( )Q=0, мюона ( ) Q=-1.Закон сохранения электрического заряда не выполняется в реакциях:

№1Известно четыре вида фундаментальных взаимодействий. В одном из них участниками являются все заряженные частицы, обладающие магнитным моментом, переносчиками –фотона. Этот вид взаимодействия характеризуется сравнительной интенсивностью , радиус его действия равен …

Все перечисленные характеристики соответствуют электромагнитному взаимодействию. Его радиус действия равен бесконечности.

ü