Уравнение sin 2x ln x 0

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Методические указания

Министерство образования И НАУКИ Российской Федерации

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ В ЭКОНОМИКЕ

к выполнению лабораторного практикума

по дисциплине «Вычислительные методы»

Часть 1. Численное решение нелинейных уравнений

Махачкала, 2004 г.

Методические указания к выполнению лабораторного практикума по дисциплине «Вычислительные методы». Часть 1 — Численное решение нелинейных уравнений. Махачкала, ДГТУ, 2004,

Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения специальностей 351401 — «Прикладная информатика в экономике» и 351403 — «Прикладная информатика в юриспруденции».

Часть 1 методических указаний содержит краткие теоретические сведения о численных методах решения нелинейных уравнений, блок-схемы алгоритмов, методические примеры, индивидуальные задания к выполнению лабораторных работ.

Составители: зав. кафедрой ИСЭ, д. э.н., проф. ;

ст. преп. кафедры ИСЭ, к. ф.-м. н.

научно-исследовательского и технологического

института при Правительстве Республики,

, зав. кафедрой высшей

математики ДГТУ, профессор

Печатается по решению Совета Дагестанского технического университета

от «______»______________2004 г.

Внедрение ЭВМ во все сферы человеческой деятельности требует от специалистов разного профиля овладения навыками использования ВТ. Органической частью фундаментальной подготовки студентов является изучение таких направлений применения ЭВМ, как основы вычислительной техники и программирования, численные методы решения инженерных и экономических задач, методы оптимизации и оптимального управления и т. д.

Данные методические указания посвящены вопросам практического использования вычислительных методов.

Вычислительные методы и алгоритмы разрабатывают и исследуют, как правило, высококвалифицированные специалисты-математики. Что касается подавляющей части студентов, то для них главной задачей является понимание основных идей методов, особенностей и областей их применения.

В данной работе в кратком виде приводятся основные необходимые сведения о вычислительных методах решения прикладных задач. Для рассматриваемых методов приводятся основные теоретические сведения, методические примеры, блок-схемы алгоритмов, а также индивидуальные задания.

В нумерации формул первая цифра соответствует номеру лабораторной работы, а вторая – порядковому номеру формулы в лабораторной работе.

Решение задач ориентировано на использование ПЭВМ. Указания являются полезными при выполнении лабораторных работ по курсам:

— прогнозирование социально-экономических процессов в Дагестане;

— имитационное моделирование экономических процессов;

— статистика правонарушений и экономические преступления в РД;

— анализ и прогнозирование правонарушений;

Структура отчета по лабораторной работе

1. Постановка задачи.

2. Теоретические сведения о методе решения задачи.

3. Блок-схема алгоритма решения задачи.

4. Текст программы.

5. Результаты и их анализ.

Отчет по лабораторной работе студент пишет от руки в ученической тетради и защищает его перед преподавателем.

Лабораторная работа №1

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

методом половинного деления

В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде:

(1.1.)

где функция определена и непрерывна на конечном или беско­нечном интервале .

Всякое число , обращающее функцию в нуль, т. е. такое, при котором , называется корнем уравнения (1.1). Число x называется корнем k-й кратности, если при вместе с функцией равны нулю ее производные до (k-1)-го порядка вклю­чительно:

Однократный корень называется простым.

Два уравнения F(x) и G(x) называются равносильными (экви­валентными), если всякое решение каждого из них является реше­нием и для другого, т. е. множества решений этих уравнений сов­падают.

Нелинейные уравнения с одним неизвестным подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Уравнение (1.1) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Путем алгебраических преоб­разований из всякого, алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме:

где ,,…, —коэффициенты уравнения, а — неизвестное. Показатель п называют степенью алгебраического уравнения.

Известно, что всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один корень вещественный или комплексный.

При приведении алгебраического уравнения (1.1) к канони­ческой форме будем иметь те же корни, что и для исходного урав­нения. Однако при этом могут появиться некоторые лишние корни. Например, уравнение

может быть приведено к канонической форме:

.

Если функция F(x) не является алгебраической — показательной, логарифмической, тригонометрической, то уравнение (1.1) называется трансцендентным. Примерами трансцендентных урав­нений являются:

В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений можно свести к решению алгебраических уравнений.

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решается путем аналитических преобразо­ваний (точными методами), на практике их решают только числен­ными методами. Решить такое уравнение — это значит: установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней с за­данной точностью. Задача численного нахождения действитель­ных и комплексных корней уравнения (1.1) обычно состоит из двух этапов: отделение корней, т. е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится одно значение корня, и уточнение корней, т. е. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности.

В дальнейшем будем рассматривать численные методы нахож­дения действительных корней уравнения (1.1). Наиболее распро­страненными на практике численными методами решения урав­нения (1.1) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (Ньютона), комбинированный метод, метод итераций. Применение того или иного, численного метода для реше­ния уравнения (1.1) зависит от числа корней, задания исходного приближения и поведения функции F(x).

Остановимся подробно на наиболее часто используемых на ЭВМ методе половинного деления

1.2. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ

Первый этап численного решения уравнения (1.1) состоит в отделении корней, т. е. в установлении «тесных» проме­жутков, содержащих только один корень. Отделение корней во многих случаях можно произвести графически. Принимая во вни­мание, что действительные корни уравнения (1.1)—это точки пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс, достаточно построить график F(x) и отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1.1) равносильным ему уравнением

(1.2)

В этом случае строятся графики функций f1(x) и f2(x), а потом на оси Ох отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

ПримерДля графического отделения корней уравнения sin2х – lnx = 0 выгодно отдельно построить графики функций sin2x и ln (х) (рис. 1).

Из графика следует, что уравнение имеет корень, принадле­жащий отрезку [1; 1,5|.

В сомнительных случаях графическое отделение корней необ­ходимо подкрепить вычислениями. При этом полезно использовать следующие очевидные положения:

1) если непрерывная на отрезке [а; b] функция F(x) принимает на его концах значения разных знаков (т. е. F(a)∙F(b) 0, так что отрезком отделения корней можно считать [1,3; 1,5].

Для отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ.

Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем можно считать, что все интересующие нас корни находятся на отрезке [A; B], в котором функция F(x) определена, непрерывна и F(A)∙F(B) -10

при x 1. Тогда вместо функции у = φ(х) рассмот­рим функцию х = g(у), обратную для φ(х). Будем теперь решать урав­нение у = g(у) (или, в старых обозначениях, х = g(х)). По свойству производных обратных функций теперь на отрезке [а; b] будет иметь место:

,

так что для уравнения х=g(х), равносильного исходному, условие (3) теоремы 2.1 оказывается выполненным.

Для ручных вычислении (с помощью калькулятора) корня по методу итераций может ис­пользоваться расчетная таблица, содержащая обычную поопера­ционную запись формулы φ(х) (табл. 2.1). Полученное в результате одного «прохода» вычислений в правом столбце очередное прибли­жение корня сразу же переносится в следующую строку столбца хп и процесс повторяется.

Пример 2.1. Уточнить с помощью калькулятора корень урав­нения sin2x — lnx = 0 на отрезке [1,3;1,5] методом итераций с точностью до 10-4.

Исходное уравнение можно привести к итерационному виду несколькими способами, например:

Исследуем возможность применения к полученным представле­ниям метода итераций.

1. В первом случае φ(х) = ехр (sin2х). Функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [1,3; 1,5|, однако второе условие теоремы 1.1 не выполняется: с помощью калькулятора получаем f(1,3)= 1,674478, т. е. уже в левом конце отрезка значение функции выходит за пределы отрезка.

2. Рассмотрим второе представление. Уравнение, равносильное исходному на отрезке [1,3; 1,5], получается при

Здесь φ(х) =(π – arcsin lnx)/2. Замечаем, что для всех х отрезка [1,3; 1,5], будет , следовательно, функция f(х) монотонно убывает на этом отрезке.

Вычислим ее значение в концах отрезка [1,3; 1,5]:

Так как полученные значения входят в отрезок [1,3; 1,5], а функ­ция φ(x) монотонна, то отсюда следует, что второе условие теоре­мы 2.1 выполняется.

Для проверки третьего условия исследуем модуль производ­ной функции φ(x) на отрезке [1,3; 1,5]:

.

Найдем производную функции

.

Заметим, что φ1′(х) на отрезке [1,3; 1,5] всюду отрицательна. Это значит, что φ1(х) = |f‘(x)| на этом отрезке убывает и достигает мак­симума на левом конце: | φ'(1,3)| =0,3846153.

Таким образом, условие (3) теоремы 2.1 будет выполнено, если принять q = 0,39. Уточнение корня уравнения (2.13) с нулевым значением x0 =1,4 на калькуляторе приведено в таблице 2.2.

Используя оценочную формулу (2.11) и принимая во внимание исходные значения ε = 10-4 и (q = 0,39, уже для третьего прибли­жения имеем: х3 — x2

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac <2>\) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac <2>— 4 \text\frac <2>+1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac <2>= y \) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0