Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических неравенств.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое неравенство. Программа для решения тригонометрического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое неравенство
Решить неравенство
Немного теории.
Тригонометрические неравенства
Неравенства вида \( \sin x > a \) и \( \sin x
Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x > a \).
1) При \(-1 1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb
3) При \(а = 1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \frac<\pi> <2>+ 2\pi k, \; k \in \mathbb
4) При \(а \leqslant -1 \) неравенство не имеет решений.
Неравенства вида \( \cos x > a \) и \( \cos x
Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x > a \).
1) При \(-1 1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb
3) При \(a \leqslant -1\) неравенство не имеет решений.
4) При \(a = 1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( 2\pi k, \; k \in \mathbb
Неравенства вида \( tg \;x > a \) и \( tg \;x
Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb
$$ x \in \left(arctg \;a + \pi k; \;\; \frac<\pi> <2>+ \pi k \right), \; k \in \mathbb
Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x
Неравенства вида \( ctg \;x > a \) и \( ctg \;x
Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb
$$ x \in ( \pi k; \;\; arcctg \;a + \pi k ), \; k \in \mathbb
Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x
Решение тригонометрических неравенств
ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( \sin x > \frac<1> <2>\).
Так как \( -1 \frac<1> <2>\).
Так как \( -1 1 \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(\frac<\pi> <4>+ \pi k; \;\; \frac<\pi> <2>+ \pi k\right), \; k \in \mathbb
ПРИМЕР 6. Решим неравенство \( tg \;x \frac<\sqrt<3>> <3>\).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( \pi k; \;\; \frac<\pi> <3>+ \pi k \right), \; k \in \mathbb
ПРИМЕР 8. Решим неравенство \( ctg \;x
Уравнение синус больше или равно
Дано неравенство:
$$\sin <\left (x \right )>\geq a$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin <\left (x \right )>= a$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin <\left (x \right )>= a$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname
$$x = 2 \pi n — \operatorname
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname
$$x = 2 \pi n — \operatorname
, где n — любое целое число
$$x_ <1>= 2 \pi n + \operatorname
$$x_ <2>= 2 \pi n — \operatorname
$$x_ <1>= 2 \pi n + \operatorname
$$x_ <2>= 2 \pi n — \operatorname
Данные корни
$$x_ <1>= 2 \pi n + \operatorname
$$x_ <2>= 2 \pi n — \operatorname
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_ <0>\leq x_<1>$$
Возьмём например точку
$$x_ <0>= x_ <1>— \frac<1><10>$$
=
$$2 \pi n + \operatorname
=
$$2 \pi n + \operatorname
подставляем в выражение
$$\sin <\left (x \right )>\geq a$$
$$\sin<\left (2 \pi n + \operatorname
Тогда
$$x \leq 2 \pi n + \operatorname
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 2 \pi n + \operatorname
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Простейшие тригонометрические неравенства
п.1. Решение неравенств с синусом
Алгоритм решения неравенства \(sinx\gt a\)
Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой \(a\). Провести горизонталь \(y=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.
Шаг 2. Решить уравнение \(sinx=a\). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.
Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((arcsina+2\pi k;\ \pi-arcsin a+2\pi k)\)
$$ sin x\gt \frac12 $$ 1. Проводим горизонталь \(y=\frac12\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение \(sinx=\frac12\) \begin 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \((\frac\pi6;\ \frac<5\pi><6>)\). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: \(\left(\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac<5\pi><6>+2\pi k\right)\) |
Алгоритм решения неравенства \(sinx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).
Алгоритм решения неравенства \(sinx\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью \(y=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).
Наконец, в неравенстве \(sinx\leq a\) всё будет то же, что и в \(sinx\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).
$$ sin x\leq -\frac<\sqrt<2>> <2>$$ 1. Проводим горизонталь \(y=-\frac<\sqrt<2>><2>\), отмечаем точки пересечения (закрашенные, т.к. неравенство нестрогое). 2. Решаем уравнение \(sinx=-\frac<\sqrt<2>><2>\) \begin 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: \(\left[-\frac<3\pi><4>;-\frac<\pi><4>\right]\). Добавляем к концам отрезка полный период. Ответ: \(\left[-\frac<3\pi><4>+2\pi k;-\frac<\pi><4>+2\pi k\right]\) |
п.2. Решение неравенств с косинусом
Алгоритм решения неравенства \(cosx\gt a\)
Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой \(a\). Провести вертикаль \(x=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.
Шаг 2. Решить уравнение \(cosx=a\). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.
Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((-arccosa+2\pi k;\ arccosa+2\pi k)\)
$$ cosx\gt \frac<\sqrt<3>> <2>$$ 1. Проводим вертикаль \(x=\frac<\sqrt<3>><2>\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение \(cosx=\frac<\sqrt<3>><2>\) \begin 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi6\right)\). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac<\pi><6>+2\pi k\right)\) |
Алгоритм решения неравенства \(cosx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).
Алгоритм решения неравенства \(cosx\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали \(x=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.
Наконец, в неравенстве \(cosx\leq a\) всё будет то же, что и в \(cosx\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).
п.3. Решение неравенств с тангенсом
Алгоритм решения неравенства \(tgx\gt a\)
Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой \(a\). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.
Шаг 2. Решить уравнение \(tgx=a\). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.
Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до \(\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow +\infty\)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \(\left(arctga+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)\)
$$ tg x\gt -\frac<1><\sqrt<3>> $$ 1. На оси тангенсов отмечаем точку \(-\frac<1><\sqrt<3>>\). Проводим луч из начала координат через эту точку. 2. Решаем уравнение \(tgx=-\frac<1><\sqrt<3>>\) \begin 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi2\right)\). Добавляем к концам интервала период для тангенса. Строго говоря, на числовой окружности длиной \(2\pi\) получим две дуги для тангенса с периодом \(\pi\). Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+\pi k;\ \frac<\pi><2>+\pi k\right)\) |
Алгоритм решения неравенства \(tgx\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки \(-\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow -\infty\)) до найденного арктангенса.
Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки \(\pm\frac\pi2\) (\(tgx\rightarrow \pm\infty\)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.
п.4. Решение неравенств с котангенсом
Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).
В неравенствах вида \(ctgx\gt a\) пределу \(ctgx\rightarrow +\infty\) соответствует угол 0.
В неравенствах вида \(ctgx\lt a\) пределу \(ctgx\rightarrow -\infty\) соответствует угол \(\pi\).
п.5. Примеры
Пример 1. Решите неравенства:
a) \(sinx\leq \frac<\sqrt<2>><2>\) $$ x\in\left[-\frac<5\pi><4>+2\pi k;\ \frac<\pi><4>+2\pi k\right] $$ | б) \(cosx\lt -\frac<1><2>\) $$ x\in\left(\frac<2\pi><3>+2\pi k;\ \frac<4\pi><3>+2\pi k\right) $$ |
в) \(sinx\gt -\frac<\sqrt<3>><2>\) $$ x\in\left(-\frac<\pi><3>+2\pi k;\ \frac<4\pi><3>+2\pi k\right] $$ | г) \(tgx\geq 1\) $$ x\in\left.\left(-\frac<\pi><2>+\pi k;\ \frac<\pi><4>+\pi k\right.\right] $$ |
Пример 2*. Решите неравенства:
a) \(cosx\gt -1\) Справа от вертикали \(x=-1\) расположена вся числовая окружность, кроме точки \(\pi\). |
Ответ: \(x\ne \pi+2\pi k\)
\(4\cdot \frac<1+cosx><2>\leq 3\)
\(2+2cosx\leq 3\)
\(cosx\leq\frac12\)
Ответ: \(\left[\frac\pi3+2\pi k;\ \frac<5\pi><3>+2\pi k\right]\)
в) \(-\sqrt<3>\lt tgx\leq 5\)
\(-arctg\sqrt<3>+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
\(-\frac\pi3+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
Ответ: \(\left.\left(-\frac<\pi><3>+\pi k;\ arctg5+\pi k\right.\right]\)
г) \(tg\left(x-\frac\pi4\right)\gt\sqrt<3>\)
\(arctg\sqrt<3>+\pi k\lt x-\frac\pi4\lt\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac\pi4+\frac\pi3+\pi k\lt x\lt\frac\pi4+\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac<7\pi><12>+\pi k\lt x\lt\frac<3\pi><4>+\pi k\)
Ответ: \(\left(\frac<7\pi><12>+\pi k;\ \frac<3\pi><4>+\pi k\right)\)
http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/neravenstva/expr/984ca8598572281c73b598e3bc72aa15/
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/prostejshie-trigonometricheskie-neravenstva/