Уравнение скорости при равноускоренном движении график

Равноускоренное движение: формулы, примеры

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение — это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение — частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.

Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g → , которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.

Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y — равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.

Формулы для равноускоренного движения

Формула для скорости при равноускоренном движении:

Здесь v 0 — начальная скорость тела, a = c o n s t — ускорение.

Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v ( t ) имеет вид прямой линии.

​​​​​​​

Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.

a = v — v 0 t = B C A C

Чем больше угол β , тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.

Для первого графика: v 0 = — 2 м с ; a = 0 , 5 м с 2 .

Для второго графика: v 0 = 3 м с ; a = — 1 3 м с 2 .

По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t . Как это сделать?

Выделим на графике малый отрезок времени ∆ t . Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆ t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆ t . Тогда, перемещение ∆ s за время ∆ t будет равно ∆ s = v ∆ t .

Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆ t . Перемещение s за время t равно площади трапеции O D E F .

s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + ( v — v 0 ) 2 t .

Мы знаем, что v — v 0 = a t , поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:

s = v 0 t + a t 2 2

Для того, чтобы найти координату тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени выражает закон равноускоренного движения.

Закон равноускоренного движения

y = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .

Еще одна распространенная задача кинематики, которая возникает при анализе равноускоренного движения — нахождение координаты при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.

Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:

s = v 2 — v 0 2 2 a .

По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:

v = v 0 2 + 2 a s .

При v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s

Величины v , v 0 , a , y 0 , s , входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Скорость прямолинейного равноускоренного движения. График скорости

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Этот видеоурок посвящен теме «Скорость прямолинейного равноускоренного движения. График скорости». В ходе занятия учащиеся должны будут вспомнить такую физическую величину, как ускорение. Затем они узнают, как определить скорости прямолинейного равноускоренного движения. После учитель расскажет, как правильно строить график скорости.

Равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение

п.1. Равноускоренное движение

Если тело начинает двигаться из состояния покоя, оно набирает скорость не мгновенно, а в течение некоторого времени. Аналогично происходит при торможении: тело останавливается не сразу, а теряя скорость постепенно.

Примеры равноускоренного движения:

• скатывание велосипеда с горки, скатывание санок с горки;
• старт и торможение автомобиля, автобуса, трамвая, поезда;
• падение на землю камня, ракеты, метеорита.

Это интересно
Время разгона от 0 до 100 км/ч – одна из основных характеристик современных автомобилей.

Марка автомобиля		Время разгона, с
Nissan GTR Nismo		2,9
BMW M5 F90		2,8
Porsche 918 Spyder		2,6

п.2. Ускорение

В системе СИ (см. §2 данного справочника) скорость измеряется в метрах в секунду, а время – в секундах. Поэтому:

При описании прямолинейного движения мы переходим от векторов к проекциям на ось ОХ (см. §8 данного справочника).

п.3. Уравнение скорости и график скорости при равноускоренном прямолинейном движении

Для проекции скорости на ось ОХ в произвольный момент времени можем записать: $$ v_x(t)=v_<0x>+a_x t $$ Сравним полученное уравнение с уравнением прямой \(y(x)=kx+b \) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).
В уравнении скорости роль углового коэффициента \(k\) играет проекция ускорения \(a_x\), а роль свободного члена \(b\) – начальная скорость \(v_<0x>\).

Пример построения графика скорости
1-й участок пути. Пусть автомобиль начал движение из состояния покоя с ускорением 4 м/с 2 . Направим ось ОХ в направлении ускорения и получим уравнение скорости: $$ v_<0x>=0,\ \ a_x=4\frac<\text<м>>,\ \ v_x(t)=0+4t=4t $$ Через 5 с скорость автомобиля станет равной \(v_x(5)=4\cdot 5=20\) м/с.
2-й участок пути. Пусть автомобиль, набрав эту скорость, проехал с ней без ускорения в течение 10 с. На этом участке уравнение скорости: $$ a_=0,\ \ v_x(t)=20\frac<\text<м>>,\ \ 5\ c\leq t\lt 15\ c $$ Скорость не меняется, автомобиль движется прямолинейно равномерно.
3-й участок пути. Наконец, на последнем участке пути, автомобиль тормозил с ускорением 5 м/с 2 до полной остановки. Тогда уравнение скорости на этом участке: $$ v_<0x>=20\frac<\text<м>>,\ \ a_x=5\frac<\text<м>>,\ \ v_x(t)=20-5t $$ Проекция ускорения при торможении отрицательна. Скорость станет равна 0 через 4 с после начала торможения, автомобиль остановится.

Опишем полностью движение на всех участках: $$ v_x(t)= \begin 4t,\ \ 0\leq t\lt 5\\ 20,\ \ 5\leq t\lt 15\\ 20-5t,\ \ 15\leq t\leq 19 \end $$ И построим график:

Участок AB соответствует разгону автомобиля от 0 до 20 м/с, участок BC — равномерному движению со скоростью 20 м/с, участок CD — торможению от 20 м/с до 0.

п.4. Определение пути и перемещения по графику скорости

В §10 данного справочника мы рассматривали неравномерное прямолинейное движение, которое можно разбить на отдельные равномерные участки. Для такого движения путь равен сумме модулей площадей участков, определенных по графику скорости. А перемещение также равно сумме площадей, но уже с учетом знака.
Этот подход можно расширить на любое прямолинейное движение.

Пример определения пути и перемещения по графику скорости
Для построенного выше графика скорости автомобиля получаем следующие участки:
1) ΔABE, его площадь равна $$ s_1=\frac12 AE\cdot BE=\frac12\cdot 5\cdot 20=50\ (м) $$ 2) прямоугольник EBCF, его площадь равна $$ s_2=EF\cdot BE=10\ cdot 20=200\ (м) $$ 3) ΔCFD, его площадь равна $$ s_2=\frac12 FD\cdot GF=\frac12\cdot 4\cdot20=40\ (м) $$ Весь пройденный путь: $$ s=s_1+s_2+s_3=50+200+40=290\ (м) $$ Скорость автомобиля все время оставалась положительной (направление движения не менялось), поэтому величина перемещения равна пройденному пути: $$ \triangle x=s=290\ (м) $$

п.5. Задачи

Задача 1. За 1 мин автобус увеличил скорость с 28,8 км/ч до 72 км/ч. Найдите его ускорение, постройте график зависимости скорости от времени.

Направим ось ОХ по направлению движения автобуса. Автобус направления движения не меняет, и проекции ускорения и скорости все время положительны и по величине равны значениям величин: $$ a_x=a,\ \ v_x=v $$ Поэтому ускорение равно: $$ a=\frac$$ Получаем: $$ a=\frac<20-8><60>=0,2\ \left(\frac<м>\right) $$ Уравнение зависимости скорости от времени: \begin v(t)=v_0+at\\ v(t)=8+0,2t \end График:

Ответ: 0,2 м/с 2

Задача 2. Поезд двигался прямолинейно равномерно со скоростью 18 км/ч, а в процессе торможения – равноускоренно и остановился через 10 с. Найдите модуль ускорения. Постройте график зависимости скорости от ускорения, найдите пройденный поездом путь за все время торможения.

Дано:
\(v_0=18\ км/ч=5\ м/с\)
\(v=0\)
\(t=10\ с\)
__________________
\(a,\ s-?\)
Направим ось ОХ по направлению скорости \(v_0\). Тогда проекция ускорения: $$ a_x=\frac,\ \ a_x=\frac<0-5><10>=-0,5\ (м/с^2) $$ Проекция при торможении отрицательна.
Величина (модуль) ускорения: $$ a=|a_x|=0,5\ м/c^2 $$ Зависимость скорости от времени: \begin v(t)=v_0+a_x t\\ v(t)=5-0,5t \end График:

Пройденный путь равен площади треугольника ΔABC: $$ s=\frac12 AC\cdot BC=\frac12\cdot 5\cdot 10=25\ (м) $$ Ответ: 0,5 м/с 2 ; 25 м

Задача 3*. С каким ускорением двигался автомобиль, если его скорость выросла с 36 км/ч до 72 км/ч на пути длиной 600 м? Постройте график зависимости скорости от времени, найдите время движения и путь с помощью графика, проверьте полученное значение пути.

Дано:
\(v_0=36\ км/ч=10\ м/с\)
\(v=72\ км/ч=20\ м/с\)
\(s=600\ м\)
__________________
\(a-?,\ t-?\)
Ускорение равно: \(a=\frac\). Откуда время равно: \(t=\frac\)
Средняя скорость на всем пути: \(v_=\frac<2>\)
Весь путь: $$ s=v_t=\frac<2>\cdot\frac=\frac <2a>$$ Значит, ускорение равно: $$ a=\frac <2s>$$ Подставляем: $$ a=\frac<20^2-10^2><2\cdot 600>=0,25\ \left(\frac<м>\right) $$ Уравнение зависимости скорости от времени: \begin v(t)=v_0+at\\ v(t)=10+0,25t \end График:

Скорость достигает значения \(v=20\ м/с\) в момент времени \(t=40\ с\).
Значит, время движения 40 с.

Путь по графику скорости равен площади четырехугольника ABCD. \begin S_=S_+S_=\frac12 AE\cdot EB+AE\cdot AD=\frac12\cdot 40\cdot 10+40\cdot 10=200+400=600\ (м)\\ s=600\ м \end Найденное значение пути совпадает с условием задачи. Все параметры движения найдены верно.
Ответ: 0,25 м/с 2 ; 40 c