Уравнение скорости в полярной системе координат

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

• Рассмотрим движение точек на плоскости. В этом случае движение может быть задано в полярных координатах. Для этого возьмите точку O на плоскости в качестве полюса и нарисуйте от нее полярную ось, например, ось быка (рис. 22). Если радиус-вектор r и полярный угол = f2 (t) — (23). Полярный угол считается положительным, если он простирается от полярной оси против часовой стрелки до радиус-вектора. Радиус-вектор как расстояние от точки О до точки М принимает только положительные значения.

Уравнение (23) называется уравнением движения для полярных точек. Это также параметрические точечные траекторные уравнения. Исключение параметра-времени t из (23) дает орбитальное уравнение в полярных координатах. F (r, r = rr °, gr = gfr °. Для проекции скорости на ось, положительное направление которой совпадает с направлением единичного вектора r ° и jr с (24), vr = r, gr = gf. (26) Их называют лучевой и боковой скоростями соответственно. В зависимости от знака производной мицелия лучевая и боковая скорости являются как положительными, так и отрицательными. Используйте (24), чтобы определить ускорение точки в полярных координатах. У нас есть a = dv / dl = (d / d /) (rr 0 + gfr °).

Потенциальная энергия N материальной точки в мыслимой точке силового поля M осуществляется силой поля, действующей на материальную точку при перемещении из точки M в начальную точку Mo, т. Людмила Фирмаль

Проведите дифференциацию и получите a = rf ° + r + r fr 0 + r fr 0 + r f. Для производной по времени единичного вектора p ° dp0 / d ^ = φ (-r0), Вектор p ° вращается с той же угловой скоростью φ, что и вектор r °, поэтому единичным вектором, на который направлен вектор dp ° / dt, является вектор (-r °). Ускоряя производную единичного вектора и подставляя ее в уравнение, объединяющее члены, получаем в = (r-rf2) r ° + (rf + 2rf) p °. (27) Получены точечные ускорения разложения на радиальные ар и боковые ап компоненты. a = a, + ap, ar = (r-rf2) r °, ar = (rf + 2rf) p °. Для проекции ускорений на оси Or и Op получаем a, = r-rp2, ap = rp + 2rp. (28).

Ускорение ar называется радиальным, поперечным направлением. Боковое ускорение также может быть выражено в следующем формате: Эта формула для бокового ускорения широко используется при рассмотрении движения планет и искусственных спутников Земли. Рисунок 23 Равные производные по Поскольку радиальная и боковая составляющие ускорения перпендикулярны друг другу, Для фиксированных координатных осей Ox, Oy и Oz формула ax = dvx / dt, ay = dvy / dt, a2 = dv: / dt. Для подвижных осей Or и Op, как видно из (26) и (28), a и ap не являются временами от vr и vp. Особый случай.

• В этих уравнениях φ — угловая скорость вращения радиус-вектора, а φ — его угловое ускорение. Пример 1. Движение точки — это уравнение r = / (l + COSOH), φ = ШГ, Где я и со постоянные значения. Определить скорость и ускорение точки в полярных координатах траектории уравнения, времени t и момента Решения. Из уравнения движения уберите следующее уравнение для орбиты в полярных координатах: r = f (1 + C0 $ f). Это кардиоидное уравнение (рис. 24).

Проекции скорости и ускорения на полярную ось определяются уравнениями (26) и (28). У нас есть: Мы получаем «, = / = — / Eosin South. 1> = Гф = / ш (1 + COSO) /), t> = + = к ^ 2 (1 + 008 J = ^ 39» 6,2 м / с Прогноз ускорения всегда определяется по формуле а = -2 м / с2; ау = -6 м / с2; а =. > / ai + a * = s / 40×6,3 м / с2, ускорение геля n -2coszsinz + 36-2sin2 (i Ускорение при 2 ^ / 16 cos2 / + 36 sin2 2 / — ^ / 3 / 5® — 0,3 м / с. Далее для r = n / 6 с Скорость предопределена Боковая скорость при =, л / 6 с — по формуле х = 4sin / | Координаты движущейся точки при t = n / 6 на / 6 / 6м. y = 3cos2r | / 6 = 1,5 м. Отметьте положение движущейся точки на траектории в соответствии с координатами, выберите масштаб и нарисуйте векторы скорости и ускорения из проекции на ось.

Таким образом, принцип возможного смещения не является в действительности активной силой, и помимо сил реакции идеального соотношения, для которых задача не определена, определяются все силы энергосистемы. Людмила Фирмаль

Для радиальной составляющей скорости в рассматривается направление, противоположное единичному вектору r °. Это потому, что v был найден со знаком минус. Только числовое значение определяется для боковой составляющей скорости. Из рисунка 25 видно, что направление вектора противоположно направлению единичного вектора p ° (направление p ° получается поворотом вектора r ° на 90 ° против часовой стрелки). Следовательно, в рассматриваемом случае вы должны использовать знак минус для vp, то есть c, = -b, 2 м / с.

Для проверки правильности определения vp вы можете использовать следующую формулу «F. Нормальное ускорение всегда направлено внутрь вогнутой поверхности дорожки. Оказывается, что направление тангенциального ускорения а определяется а и направлено вдоль вектора скорости. В результате точка в определенной точке ускоряется. Определить радиус кривизны орбиты в момент времени t = 1/6 с. Все необходимые для этого количества уже доступны. получить = — = 39/5 «7,8

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности в полярных координатах

Кинематическое уравнение движения с постоянным ускорением

r = r0 + v0 t + at2/2, где v₀ скорость объекта в момент t₀

Уравнение для скорости тела при движении с постоянным ускорением

Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности в полярных координатах

Кинематическое уравнение гармонических колебаний вдоль оси X
х = А Cos (ω t + φ₀)

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением

Средняя скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден:

Мгновенной скоростью называется предел отношения перемещения к интервалу времени, в течение которого это перемещение произошло, если интервал времени стремится к нулю.

V_мгн=lim(t->0) ΔS/Δt

2. Ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение:

или

Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

3. Вращательное движение тела вокруг неподвижной направленной оси — движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой хх, называемой осью вращения. Угловое перемещение — векторная величина, характеризующая изменение угловой координаты в процессе её движения. Угловая скорость — векторная величина, характеризующая быстроту вращения материальной точки. Вектор направлен вдоль оси вращения таким образом, чтобы, смотря с его конца, вращение казалось происходящим против часовой стрелки. Угловая скорость (ед. измерения — радиан в секунду рад/с) равна первой производной от угла-поворота радиуса-вектора по времени. Формула угловой скорости: w=df/dt. Угловое ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени. Формула угловой скорости: Единица углового ускорения — рад в секунду в квадрате.

4. Работа переменной силы А=Fs; Графически A=Интеграл(a, b)F(s)dx. Потенциальная энергия силы тяжести W_п=mgh. Работа сила тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком. Т.е., если потенциальная энергия увеличивается (тело поднимается), то сила тяжести совершает отрицательную работу и наоборот. A=-mgh

5. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F, s, υ и a как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A = Fs. При равноускоренном движении перемещение s выражается формулой

Отсюда следует, что

Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости).

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:

6. Механическая система (система материальных точек) — это совокупность конечного числа материальных точек, выделенных для рассмотрения.

Внутренние силы — это силы, с которыми точки системы действуют друг на друга.

Внешние силы — это силы, источники которых лежат вне системы, т.е. это силы, действующие со стороны тел, не принадлежащих системе. Центр инерции, геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе.

Центр масс механической системы движется как материальная точка с массой равной массе всей системы, под действием всех приложенных к точкам системы внешних сил.

7. Импульс (Количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

.

Обозначим скорости тел массами m₁ и m₂ до взаимодействия через и , а после взаимодействия — через и .

По третьему закону Ньютона силы, действующие на тела при их взаимодействии, равны по модулю и противоположны по направлению; поэтому их можно обозначить и .

Для изменений импульсов тел при их взаимодействии на основании равенства (16.2) можно записать

,

,

где t — время взаимодействия тел. Из этих выражений получаем

. (16.3)

Таким образом, векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.

8. (ИСО) — система отсчёта, в которой справедлив первый закон Ньютона

1 закон Ньютона: В инерциальной системе отсчета тело, на которое не действуют другие тела, или, когда действие всех сил скомпенсировано, движется равномерно и прямолинейно или покоится.

2 закон Ньютона: Ускорение тела пропорционально результирующей силе, дейсвующей на тело, и обратно пропорционально массе тела а=F/m

3 закон Ньютона: Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. F12=-F21

9. Консервативные — такие силы, РАБОТА которых не зависит от траектории, а определяются только начальным и конечным положением материальной точки. Силы, не обладающие только что названным свойством, называют неконсервативными. Для того чтобы узнать, консервативна сила либо нет, надо вычислить ее работу. Потенциальная энергия может быть введена только для поля консервативных сил.Так как их работа не зависит от траектории, а только от начального и конечного положений материальной точки, то эту работу можно записать в виде разности двух чисел: одно — Wn1 — будет зависеть от начального положения тела, второе — Wn2 — от конечного положения тела. Wn1 — потенциальная энергия тела в положении 1; Wn2 — в положении 2.

10. Сила упругости пропорциональна деформации: Fх упр= -kx, где Fxупр — проекция силы упругости на ось х; k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), (На всякий случай, знак минус ука­зывает, что F_{x упр} направлена в сторону, противоположную деформации х.По третьему закону Ньютона, дефор­мирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направле­на, т. е. F_x=-F_{x упр}=kx)

Элементарная работа dA, совершаемая силой F_xпри бесконечно малой деформации dx, равна dA = F_x dx = kxdx, а полная работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела П=kx 2 /2.

11. Момент силы — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. (ниже хз что за чушь)

Если под действием приложенной силы твердое тело может совершать вращение вокруг некоторой точки, то для того, чтобы охарактеризовать вращательный эффект силы вводится понятие – момент силы относительно точки (или центра).Моментом силы относительно точки (рисунок 1.1) называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы. Mo(F) = r ⊗ F . Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки. Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также дает меру этого действия

|Mo(F)| = F⋅r⋅sinα = F⋅h,. (. F — с вектором.) где h – плечо силы (кратчайшее расстояние от точки O – центра момента – до линии действия силы). Если сила проходит через точку, то ее момент относительно этой точки равен нулю.Момент силы относительно точки не меняется от переноса силы вдоль линии ее действия. Если силы расположены в одной плоскости, то используется понятие алгебраического момента силы.

12. Связь вектора момента силы и момента импульса

Продифференцируем (10) по времени:

Т.к. полюс неподвижен, то первое слагаемое равно нулю (т.к. первая производная перемещения по времени равна скорости). Тогда коллинеарны, а произведение коллинеарных векторов равно нулю.

Поэтому

Согласно II закону Ньютона ,

значит (15) будет иметь вид:

или

Выражение (17) устанавливает связь между и .

связь между и

— производная вектора момента импульса по времени относительно неподвижного полюса равна вектору момента силы, действующей на эту м.т. относительно того же полюса

13. (тоже хз что за чушь) , векторное произведение. Mz — момент силы Ft относительно оси вращения z. При повороте тела на малый угол вокруг оси Z совершается работа

14. Закон сохранения механической энергии

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии:

Или Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

15. Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением ее радиус-вектора и импульса:

где — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчета начала отсчёта, — импульс частицы. В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L:

Поскольку уравнение вращательного движения можно представить в виде:

Окончательно будем иметь:

Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется:

ΔL = 0, если M = 0.

Закон сохранения момента импульса: = ( + )ω

17. Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси a («осевой момент инерции») — физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где: — масса i-й точки, — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Уравнение скорости в полярной системе координат

В основе предлагаемой работы лежит опыт семинарских занятий по курсам общей физики и астрономии для студентов астрономического отделения физического факуль­тета МГУ.

При изучении механики материальной точки, в особенности её разделов, связанных с движением по криволинейной траектории, часто оказываются полезными астрономиче­ские приложения. В условиях поверхности Земли набор естественных траекторий прак­тически сводится к параболе. В космосе, наоборот, представлены многие типы криволи­нейного движения: вращение по окружности, а также эллиптические, параболические и гиперболические траектории разной степени вытянутости. К тому же формы орбит кос­мических объектов не ограничиваются одними коническими сечениями. Например, об­ращение звёзд вокруг центра галактики во многих случаях не описываются законами Кеплера, а в процессе сжатия вращающихся газовых туманностей имеет место посте­пенное приближение к центру по спирали. Параллельно с физическим содержанием за­дачи уместно привести и первые сведения о математическом аппарате плоских кривых линий.

Другим аспектом является соотношение между прямыми и обратными задачами. Для лабораторных условий типична прямая постановка: требуется вычислить параметры траектории тела, зная действующие на него силы. В астрономии как наблюдательной науке важен и обратный подход, когда по известному движению выясняют характер взаимодействия. Часть предлагаемого материала даёт студентам первое представление об обратных задачах. С методической точки зрения решение обратной задачи, как правило, проще и нагляднее. Поэтому имеет смысл показать одну и ту же задачу дважды: сначала в разделе «кинематика» как обратную, и затем, после приобретения студентами опыта, в разделе «динамика» выполнить решение более сложной прямой задачи. Перейдём к изложению материала, предварительно договорившись о некоторых обозначениях. Координаты точки, движущейся в плоскости, как обычно, равны x и y , время — t , а для параметров движения оставляем буквы a , b , k , w , j . Векторы представляем прямыми жирными символами: r – радиус вектор частицы, v – её скорость, w – ускорение. Точка над символом описывает дифференцирование по времени.

I Определение траектории, скорости и ускорения точки из закона движения в декартовых координатах.

Во всех задачах этого раздела требуется определить форму траектории, найти векторы скорости и ускорения, а также восстановить динамический закон движения.

Задача 1 . Точка движется в плоскости. Её координаты x и y зависят от времени t как

( SEQ ф \* MERGEFORMAT 1 )

( SEQ ф \* MERGEFORMAT 2 )

где a , b , ω и φ — параметры.

Если a либо b равны нулю, то имеет место прямолинейное движение вдоль той или иной координатной оси. Оно происходит внутри отрезка длиной 2 a , либо 2 b , центр которого расположен в начале координат. Предположим, что оба этих параметра отличны от нуля. Разделим первое уравнение на a , второе — на b и раскроем косинус суммы:

, ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 3 )

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 4 )

Исключим время t из уравнений движения. Сначала рассмотрим два особых случая. При получается эллипса, ориентированный параллельно осям:

,

а значению соответствует уравнение отрезка прямой .

В случае, когда оба этих параметра отличны от нуля, с помощью ( 3 ) выразим и через x / a и подставим результат в ( 4 ). После несложных преобразований получим уравнение эллипса, ориентация которого определяется величиной φ:

.

Роль параметра φ ясна из Рис. 1 . Теперь определим кинематические характеристики траектории и попытаемся выяснить направление действующей силы. На Рис. 1 единичные векторы i и j , направлены вдоль координатных осей. Напишем выражение для радиус-вектора точки, с координатами ( 1 ) и ( 2 ):

.

Векторы скорости и ускорения получаются последовательным дифференцированием r :

,

.

Из последних двух формул вытекает связь между ускорением и радиус-вектором:

. ( 5 )

Мы получили хорошо известное уравнение пространственного осциллятора. Частица массы m движется под действием центральной притягивающей силы, по абсолютной величине равной mω 2 r .

Пространственный осциллятор является важным методическим инструментом в атомной физике и оптике — двух активно используемых в астрофизике разделах общей физики. Знакомство с ним на семинарах по механике облегчает в дальнейшем освоение темы поляризованного излучения, а также анализ эффектов Зеемана и Штарка.

Задача 2 Точка движется по закону

с параметрами a , b и k . Случай k =0 здесь не представляет интереса. Равенство нулю a или b означает прямолинейное перемещение вдоль одной из координатных осей. Если они оба отличны от нуля, то траектория является отрезком гиперболы y = ab / x .

Не теряя общности, мы можем считать a и b положительными [1] . Они равны координатам точки в начальный момент времени:

,

которая в дальнейшем будет двигаться вправо. Вычислим вектор скорости

,

его абсолютную величину

и вектор ускорения

.

Тело отталкивает центральная сила mk 2 r .

Задача 3 . Точка движется в плоскости :

, ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 6 )

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 7 )

Вычтем квадраты уравнений, делённых на a и b соответственно:

.

Получилась гипербола, как и на Рис. 2 , но оси координат повёрнуты на 45 ° . Её график приведён на Рис. 3 . Дифференцируя ( 6 ) и ( 7 ) по времени, получим вектор скорости

.

Легко убедиться, что и здесь на тело действует отталкивающая сила F = mk 2 r . Итак, одна и та же сила может обуславливать внешне различающиеся типы движения. На частном примере мы увидели проявление важного принципа: динамический закон является более общей характеристикой движения, чем кинематические параметры.

Задача 4 . Заряженная частица совершает пространственное движение в однородном и постоянном магнитном поле:

с постоянными параметрами R , v_{z ,} w . Складывая квадраты первых двух уравнений, получаем винтовую линию

с шагом . Винтовая линия изображена на Рис. 4 . Из закона движения вытекают следующие выражения для вектора скорости

и квадрата его модуля , а также аналогичных величин для ускорения

.

II . Движение в полярных координатах.

Задача 5 . Точка A движется в плоскости ( x, y), причём закон её движения задан в полярных координатах: r = r ( t ) , φ = φ ( t ) .

Определить скорость и ускорение точки.

Проведём дополнителные координатные оси ζ и η вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему как показано на Рис. 5 . Обозначим посредством e_ζ и e _η “новые” единичные векторы вдоль осей ζ и η соответственно. Компонента любого вектора вдоль оси ξ называется радиальной, а вдоль оси η — трансверсальной. Если точка движется не по прямой линии, то векторы e_ζ и e _η со временем меняют своё направление. Этим они отличаются от постоянных ортов i и j . Связь между двумя базисами даётся известной формулой вращения системы координат:

.

Дифференцируя первую строчку по времени и сравнивая результат со второй строкой, приходим к следующему выражению для :

.

Радиус-вектор, по построению, коллинеарен e _{ζ :}:

.

При вычислении вектора скорости в полярных координатах необходимо учитывать изменение направления орта :

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 8 )

Проекция называется азимутальной, а проекция — трансверсальной скоростью. Аналогичным образом вычисляется вектор ускорения:

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 9 )

Описание движения во вращающейся системе отсчёта приобретает новые аспекты. В последней формуле и имеют тот же смысл, что и в декартовой системе. Член с описывает центростремительное ускорение точки, неподвижной относительно вращающейся системы отсчёта, а слагаемое — кориолисово ускорение.

Задача 6 . Исходя из первого и второго законов Кеплера, определить ускорение планеты.

Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Угол j отсчитываем от направления перигелия. Уравнение эллипса с эксцентриситетом e и параметром p в полярных координатах имеет вид:

, ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 10 )

Второй закон Кеплера утверждает постоянство секторной скорости. Введём константу

( SEQ ф \* MERGEFORMAT 11 )

Перепишем формулу ( 9 ) Задача 5 в виде

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 12 )

Легко видеть, что трансверсальная компонента вектора ускорения равна нулю. Ускорение направлено вдоль радиус–вектора Вычислим проекцию вектора w на ось ξ:

( SEQ ф \* MERGEFORMAT 13 )

Вводим новую переменную u =1 / r и воспользуемся формулой Бинэ:

, ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 14 )

где введено обозначение = du / d φ . Для вычисления правой части достаточно знать функцию r ( φ ). Для вывода формулы Бинэ выразим скорость изменения r через :

.

Воспользовавшись определениями и K , перепишем последнее уравнение в форме:

, ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 15 )

а дифференцируя его по времени с учётом ( 11 ) получаем

. ( 16 )

Подставляя в ( 13 ) полученные выражения для и , приходим к ( 14 ). Теперь с помощью формулы Бинэ получаем окончательное выражение для w _ξ :

.

Итак, со стороны Солнца на планету действует притягивающая сила .

Задача 7 . Планета движется по эллипсу с эксцентриситетом ε. Зная её скорость v ₁ в перигелии, определить скорость v ₂ в афелии.

В этих двух точках орбиты ( и только в них ) скорость и радиус–вектор взаимно ортогональны. Следовательно, здесь модуль скорости v равен её трансверсальной компоненте: . Точке перигелия , согласно ( 10 ), соответствует значение φ равное нулю, а в точке афелия φ = π. Из постоянства секторной скорости вытекает равенство

.

Воспользовавшись ( 10 ), приходим к окончательному результату:

.

Задача 8 . Показать, что квадрат скорости планеты равен

,

где a — длина большой полуоси. Из формулы ( 8 ) Задача 5 следует

. ( 17 )

Вычислив по формуле ( 15 ) Задача 6 , получаем

.

Здесь также учтено .Уравнение траектории ( 10 ) позволяет выразить sin 2 φ через r :

.

Подставив это значение в предыдущую формулу с учётом соотношения , приходим к искомому результату.

Задача 9 . Частица движется к притягивающему центру по плоской траектории

, ( 18 )

где r и φ — известные функции времени. В начальный момент времени угол φ равен нулю, а скорость тела направлена перпендикулярно радиус‑вектору и по абсолютной величине равна v ₀. Полагаем, что сохраняется постоянной секторная скорость, то есть справедлива формула ( 11 ). Определить зависимость скорости от расстояния r до притягивающего центра, а также трансверсальную и радиальную компоненты ускорения.

Из начальных условий определим значение константы K =2 av ₀. Согласно ( 12 ), трансверсальное ускорение равно нулю вследствие постоянства секторной скорости. Таким образом, притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. Радиальную компоненту вычислим двумя способами. Сначала выполним прямые расчёты по формуле ( 13 ) Задача 6 . Из ( 15 ) и ( 16 ) следуют выражения для и :

.

Теперь с помощью ( 18 ) выражаем cosφ и sin 2 φ через a и r :

.

.

Теперь воспользуемся формулой Бинэ ( 14 ) и уравнением траектории ( 18 ):

Подставляя в ( 14 ) полученное выражение для , после простых преобразований приходим к тому же выражению для ускорения:

.

Связь между модулями скорости и радиус‑вектора проще всего вычислить с помощью формулы ( 17 ):

.

Задача 10 . Точка движется в плоскости по закону

с параметрами r ₀ и a . Определить траекторию, скорость и обе компоненты ускорения.

Исключив время t , получим изображённую на Рис. 6 гиперболическую спираль

Рис. 6 Падение на центр

. По формуле ( 17 ) вычисляем модуль скорости:

.

Начальный наклон траектории на Рис. 6 определяется соотношением между двумя компонентами скорости. По формуле ( 8 ) легко найти, что для начального момента времени: . Траектория направлена противоположно оси абсцисс и наклонена к ней под углом 45˚. В рассматриваемой задаче величина секторной скорости постоянна:

.

Следовательно, трансверсальное ускорение равно нулю; т.е. притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. По формуле ( 13 ) определим радиальное ускорение

.

Таким образом, частица падает на притягивающий центр под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния.

III Проекция ускорения на естественные оси.

Естественными осями при изучении криволинейного движения на плоскости принято считать касательную и нормаль к траектории. Тангенциальная и нормальная компоненты векторов часто позволяют полнее раскрыть физический смысл рассматриваемого движения. Вводимые ниже понятия напоминают те, которыми мы пользовались в полярной системе координат, но они не зависят от выбора системы отсчёта.

Задача 11 . Движение точки в плоскости описывается в декартовых координатах как x = x ( t ), y = y ( t ). Определить проекции скорости и ускорения на естественные оси, а также радиус кривизны траектории.

Рис. 7 . Касательная и нормаль

Направим координатные оси τ и n вдоль касательной и нормали к траектории, как показано на Рис. 7 . Обозначим e_τ и e _n единичные векторы вдоль соответствующих осей. Вектор e_τ направлен вдоль скорости:

.

Формула позволяет получить удобное выражение для тангенциального ускорения. Продифференцировав её по времени, получим

.

Так как длина вектора не меняется, то направлен ортогонально к . Отсюда

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 19 )

Вектор нормали e _n ищем в виде

,

где подлежащие определению проекции a и b удовлетворяют условиям нормировки

.

Из двух решений этой системы уравнений мы выбираем такое, при котором вектор нормали направлен в сторону вогнутости траектории, как на Рис. 7 :

.

Проекция ускорения на касательную w _τ равна скалярному произведению

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 20 )

Аналогично вычисляем w _n :

. ( 21 )

Перейдём к вычислению радиуса кривизны ρ траектории в данной точке. Он задаётся условием

,

где ds — смещение вдоль траектории, соответствующее изменению угла d φ . Обе эти величины на Рис. 8 считаем бесконечно малыми. Следовательно, можно пренебречь изменением абсолютной величины скорости на отрезке ds и воспользоваться известной формулой для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности:

.

Подставляя сюда ( 21 ), приходим к

.

Радиус кривизны бесконечно велик в случае прямолинейной траектории.

Задача 12 . Точка описывает эллипс

.

Определить нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, а также радиус кривизны траектории в точках A и B Рис. 9 .

Рассматриваемое движение является частным случаем Задача 1 . Подставив ( 5 ) в ( 20 ), приходим к

.

Аналогичным путём получаем формулы для нормального ускорения

и для радиуса кривизны

.

Подставляя в них зависимость x и y от времени, получаем для точки A :

.

Задача 13 . Частица движется в плоскости по траектории r = a cosφ . В начальный момент времени φ=0, а скорость направлена перпендикулярно радиус‑вектору. Секторная скорость постоянна и равна K / 2. Определить связь между модулями v и r , а также компоненты ускорения: тангенциальную, нормальную, радиальную и трансверсальную.

При постоянном K величина v однозначно выражается уравнением траектории:

.

Здесь мы воспользовались обозначениями Задача 6 и формулой ( 15 ). Подставляя

,

приходим к следующему выражению для v 2 :

,

.

Рис. 10 . Компоненты вектора ускорения.

В интервале углов траектория представляет собой окружность радиусом a /2 с центром в точке x = a /2, y =0. На Рис. 10 показаны все четыре компоненты вектора ускорения.. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории. Воспользуемся формулой ( 19 ) Задача 11 :

. При известных значениях скорости и радиуса кривизны нормальное ускорение рассчитываем по формуле

.

Трансверсальное ускорение равно нулю. Вычисление радиальной компоненты можно упростить следующим образом. Нам известны компоненты вектора в разложении по и . Из Рис. 10 видно, что они равны cosφ и sin φ соответственно. Компонента w _ξ равна скалярному произведению векторов w и e_ξ : .Подставляя сюда полученные выше выражения для w _n и w _τ , получаем .Тело движется под действием притягивающей силы, величина которой обратно пропорциональна r 5 .

[1] Знаки a и b определяют квадрант, в котором находится гипербола.