Уравнение следствие 8 класс никольский

Конспект урока по алгебре для 8 класса (С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) «Биквадратные уравнения)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект открытого урока по алгебре в 8-м классе на тему «Биквадратные уравнения

· образовательная: дать определение биквадратного уравнения, научиться решать биквадратные уравнения, исследовать от чего зависит количество корней биквадратного уравнения;

· воспитательная: формировать умение работать в парах, выслушивать мнение товарища, доказывать свою точку зрения;

· развивающая: развивать навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма урока: урок-исследование.

Оборудование: учебник «Алгебра, 8» С. М. Никольского, компьютер.

Приложение: презентация «Биквадратное уравнение и его корни», для создания которой использована программа PowerPoint из пакета программ Microsoft Office.

1. Организационный момент. Слайд 1.

2. Актуализация знаний. Слайд 2, 3, 4.

3. Открытие детьми темы урока. Слайд 5, 6.

4. Постановка детьми целей урока. Слайд 7.

5. Пример решения биквадратного уравнения. Слайд 8.

6. Работа в парах – исследование. Слайд 9.

7. Итоги исследования. Слайд 10.

8. Итог урока. Слайд 11.

9. Задание на дом. Слайд 12.

1. Организационный момент.

Начало урока — организационный момент, готовность, приветствие.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь. Представится.

-Начинаем урок алгебры. Сегодня вы будете исследователями! Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н. Толстого. Слайд 1.

2. Актуализация знаний.

Обратите внимание на уравнение: 13х 2 + 1х + 2021 = 0.

— Назовите вид данного уравнения.

— Назовите коэффициенты данного уравнения (13.1.2021)

— О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата занятия) Слайд 2.

— Повторим формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Для этого продолжите предложения или ответьте на вопросы письменно в тетради. Далее выйдет желающий представитель с каждого ряда оформит на доске, получившиеся ответы. Слайд 3.

Проверка у доски.

— Решите устно квадратные уравнения, они нам пригодятся далее при решении. Как называются эти уравнения? Слайд 4.

+ Неполные квадратные уравнения.

+ 1) нет корней;
2) x=3 и x= -3;
3) x=0 и x= -5;
4) x=2 и x= -2;
5) нет корней;
6) x=√5 и x= -√5.

3. Открытие темы урока.

— Для того чтобы узнать тему урока, давайте разгадаем что же у нас тут зашифровано? Слайд 5.

+ Приставка «Би» обозначает два, т.е. «дважды квадратное».

— Как вы думаете, к какому математическому понятию относится это определение?

+ Оно относится к слову «уравнение».

— Совершенно верно! Теперь вы можете сказать, какова тема нашего сегодняшнего урока.

+ Тема урока «Решение биквадратных уравнений». Слайд 6.

4. Постановка целей урока.

— Каковы для вас цели урока?

+ Мы должны узнать, какое уравнение называется биквадратным.

— Хорошо. Но ведь, как и любое уравнение, оно должно иметь корни. Значит, чему ещё вы должны научиться?

+ Как найти его корни.

+ Биквадратным называется уравнение вида ах 4 + вх 2 + с = 0 , где а ≠ 0.

— Существенно ли замечание, что а ≠ 0?

+ Да, т.к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным).

— Хорошо. Приведите пример биквадратного уравнения.

+ Например, 10х 4 + 5х 2 + 3 = 0 (Дети приводят примеры биквадратных уравнений).

5. Пример решения биквадратного уравнения.

— Давайте разберем способ решения биквадратного уравнения х 4 + 3х 2 – 28= 0.

Пусть х 2 = у, у≥ 0 – замена переменной, тогда х4 = у2

Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:

Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

;

;

Возвращаюсь к прежней переменной, для этого подставим вместо переменной у полученные числа:

Ответ: .

— Алгоритм решения биквадратного уравнения следующий:

10. Ввести замену переменной: пусть х 2 = t;

11. Составить квадратное уравнение с новой переменной: at 2 + bt + c=0 ;

12. Решить новое квадратное уравнение;

13. Вернуться к замене переменной;

14. Решить получившиеся квадратные уравнения;

15. Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения;

16. Записать ответ.

6. Работа в парах – исследование (совместное выполнение заданий на решение биквадратных уравнений).

— Сейчас вам необходимо поработать в парах и исследовать: сколько корней может иметь биквадратное уравнение. Возьмите карточку №1, котороя лежит у вас на столе. Алгоритм работы задан на карточках. Внимательно прочитайте и следуйте по алгоритму.

— По окончанию данного этапа работы, вам необходимо образовать новую пару. Для этого ученик, сидящий за II вариантом должен пересесть на одно место назад, так как показано на схеме слайда, а последний ученик пройдет за первую парту. Слайд 9.

— Тем ребятам, кому не хватило пары и тем, кто сидит на последней (нечетной) парте, необходимо выполнить индивидуальное задание.

— После того как произошла смена напарников, организуйте работу в новых парах в соответствии с инструкцией на Карточке №2.

7. Итоги исследования .

— Сейчас мы сделаем выводы о том, от чего зависит количество корней биквадратного уравнения.

+ Фронтальный опрос по заполнению таблицы.

Сопоставления результатов предположениям, выдвинутым в ходе работы над первым биквадратным уравнением (Карточка №1)

-Итоги исследования мы поместим в таблицу.

— Посмотрите и прокомментируйте. Слайд 10. — заполнение таблицы

8. Итог урока.

-Сегодня на уроке вы самостоятельно разобрались с биквадратными уравнениями. И мы должны подвести итог.

— Каждая группа получает набор бумаги, вырезанной в форме ладошки. Задача группы – написать о том:

17. Какие у вас были затруднения на уроке?

18. Нашли ли вы выход из затруднения?

19. Остались ли у вас затруднения после окончания урока?

20. Что понравилось на уроке?

21. Что не понравилось на уроке? Слайд 11.

+После заполнения все ступни вывешиваются на доску и прочитываются.

9. Задание на дом.

Выполнить № 299- на “5” — а-к

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 304 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

5.2. Биквадратное уравнение

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 12.01.2021
• 106
• 0

• 12.01.2021
• 207
• 1

• 12.01.2021
• 119
• 1

• 12.01.2021
• 123
• 4

• 12.01.2021
• 284
• 10

• 12.01.2021
• 699
• 42

• 12.01.2021
• 566
• 19

• 12.01.2021
• 110
• 4

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.01.2021 454
• DOCX 482.1 кбайт
• 37 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Cидорова Cветлана Геннадиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 560
• Всего материалов: 1

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Уравнения следствия. Другие преобразования, приводящие к уравнению следствию

Данную презентацию можно использовать при проведении урока алгебры и начала анализа в 11 классе при изучении темы «Уравнения — следствия» по УМК авторов С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин

Просмотр содержимого документа
«Уравнения следствия. Другие преобразования, приводящие к уравнению следствию»

• Какие уравнения называют уравнениями-следствиями?
• Что называют переходом к уравнению-следствию
• Какие преобразования приводят к уравнению-следствию?

Заменить уравнение равносильным

Преобразования, приводящие к уравнению-следствию

Влияние на корни уравнения

Возведение уравнения в ЧЕТНУЮ степень

f(x)=g(x) ( f(x) ) n =(g(x)) n

Может привести к появлению посторонних корней

Потенцирование логарифмических уравнений, т.е. замена:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g (x)

Может привести к появлению посторонних корней

Освобождение уравнения от знаменателей:

Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел x i , для которых или

Замена разности f(x)-f(x) нулем, т.е. приведение подобных членов

Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел, для каждого из которых функция f(x) не определена.

Если при решении данного уравнения совершен переход к уравнению-следствию, то необходимо проверить, все ли корни уравнения –следствия являются корнями исходного уравнения.

Проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.

• Выполнить № 8.24 (б,г), стр. 236
• № 8.25(б,г)
• 8.28 (б,г)
• 8.29 (б,г)

Конспект урока на тему «Уравнения-следствия»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

«БЕЛОГОРСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

Профессия 35.01.13 Тракторист-машинист сельскохозяйственного производства

Разработчик: Игнатьева Наталья Львовна, преподаватель

г. Белогорск – 2018 г.

Тема урока: « Уравнения-следствия: возведение уравнения в четную степень »

Тип урока : Урок изучения нового материала.

Вид урока: комбинированный

формирование у студентов целостного представления о методах решения иррациональных уравнений.

р азвитие умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации (слайд 2).

ввести понятие равносильности уравнений, рассмотреть теоремы равносильности, примеры равносильных переходов при решении уравнений;

закрепить умение применять основные теоремы равносильности при решении уравнений;

способствовать расширению знаний по изучаемой теме;

развитие логического мышления, познавательного интереса;

формирование математической речи, умения анализировать и сравнивать, делать выводы;

развитие приемов умственной деятельности, умения искать рациональный способ решения поставленной задачи;

повышение информационной культуры студентов, интереса к предмету;

развитие потребности к самообразованию, умение вырабатывать собственную позицию (обосновывать свой решения, свой результат);

обучение эстетическому оформлению записи в тетради и на доске,

воспитание ответственности, самостоятельности, умения работать в коллективе;

обучение умению выступать перед аудиторией и выслушивать других;

повышать уровень учебной мотивации с использованием компьютерных технологий;

воспитание уважения друг к другу, коллективизма, взаимопомощи и ответственности за общую работу.

— умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; выстраивать аргументацию, приводить примеры и контр-примеры;

— креативность мышления, активность при решении математических задач;

— умение контролировать процесс и результат учебной деятельности;

— формирование первоначальных представлений об идеях и о методах математики;

— умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации;

-умение понимать и использовать математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

— умение видеть различные стратегии решения задач;

— умение определить значение идеи, методов и результатов алгебры для построения модели реальных процессов и ситуаций;

-усвоение учащимися решение неравенств с одной переменной, применяя теоремы о равносильности и используя решения ключевых задач.

План первого урока (слайд 3)

Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень.

Практикум по решению уравнений.

План второго урока

Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения».

Оборудование: учебники; тетради для работ; проектор и экран .

I. Актуализация знаний

Цель: повторить понятия, необходимые для успешного освоения темы урока.

– Какие два уравнения называются равносильными?

– Какие преобразования уравнения называют равносильными?

– Данное уравнение заменить равносильным с пояснением применённого преобразования: (слайд 4)

а) х + 2х +1; б) 5 = 5; в) 12х = -3; г) х = 32; д) = -4.

– Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения?

– Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения? Как называются эти корни?

– Какие преобразования уравнения приводят к уравнениям-следствиям?

– Что называется арифметическим квадратным корнем?

Остановимся сегодня более подробно на преобразовании «Возведение уравнения в чётную степень».

II. Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень

Объяснение преподавателя при активном участии студентов:

Пусть 2m (m N) – фиксированное чётное натуральное число. Тогда следствием уравнения f(x) = g(x) является уравнение (f(x)) = (g(x)) .

Очень часто это утверждение применяется при решении иррациональных уравнений.

Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, называется иррациональным.

При решении иррациональных уравнений используют следующие методы: (слайд 5)

Переход к равносильной системе:
а) = или
Из двух систем решают ту, которая проще.
б) = а, а R
если а ≥ 0, то = а f(x) = а ;
если а = g(x)

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Метод введения новых переменных.

Методы 2 и 3 требуют обязательной проверки.

ОДЗ не всегда помогает устранить посторонние корни.

Вывод: при решении иррациональных уравнений важно пройти три этапа: технический, анализ решения, проверка ( слайд 6).

III. Практикум по решению уравнений

а) х + 1 =

После обсуждения способа решения уравнения возведением в квадрат, решить переходом к равносильной системе.

Вывод : решение простейших уравнений с целыми корнями можно провести любым знакомым методом.

б) = х – 2

Решая методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, учащиеся получают корни х = 0, х = 3 — , х = 3 + , проверить которые подстановкой сложно и трудоёмко. (Слайд 7). Переход к равносильной системе

позволяет быстро избавиться от посторонних корней. Условию х ≥ 2 удовлетворяет только х .

Ответ: 3 +

Вывод : иррациональные корни проверять лучше переходом к равносильной системе.

в) = х – 3

В процессе решения этого уравнения получаем два корня: 1 и 4. Оба корня удовлетворяют левой части уравнения, но при х = 1 нарушается определение арифметического квадратного корня. ОДЗ уравнения не помогает устранить посторонние корни. Переход к равносильной системе даёт правильный ответ.

Вывод: хорошее знание и понимание всех условий определения арифметического квадратного корня помогает перейти к выполнению равносильных преобразований.

г) — 4 =

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

х + 13 — 8 + 16 = 3 + 2х — х , уединив радикал в правую часть, получаем

26 – х + х = 8 . Применение дальнейших действий по возведению в квадрат обеих частей уравнения, приведёт к уравнению 4-й степени. Переход к ОДЗ уравнения даёт хороший результат:

найдём ОДЗ уравнения:

х = 3.

Проверка: — 4 = , 0 = 0 верно.

Вывод: иногда возможно провести решение с помощью определения ОДЗ уравнения , но обязательно сделать проверку.

д) =

Решение: ОДЗ уравнения: -2 – х ≥ 0 х ≤ -2.

При х ≤ -2, ≥ 0.

Следовательно, левая часть уравнения отрицательна, а правая – неотрицательна; поэтому исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Вывод: сделав правильные рассуждения по ограничению в условии уравнения, можно без труда найти корни уравнения, или установить, что их нет.

е) + = 7

На примере решения этого уравнения показать двукратное возведение уравнения в квадрат, объяснить смысл фразы «уединение радикалов» и необходимость проверки найденных корней.

ж) 4 — 5 = 8;

з) + = 1.

Решение этих уравнения провести методом замены переменной до момента возвращения к исходной переменной. Закончить решение предложить тем, кто раньше справится с заданиями следующего этапа.

Как решать простейшие иррациональные уравнения?

Что необходимо помнить при возведении уравнения в чётную степень? ( могут появиться посторонние корни)

Как лучше проверять иррациональные корни? ( с помощью ОДЗ и условий совпадения знаков обеих частей уравнения)

Для чего необходимо уметь анализировать математические ситуации при решении иррациональных уравнений? ( Для правильного и быстрого выбора способа решения уравнения).

IV. Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения»

Группа разбивается на подгруппы (по 2-3 человека) по уровням подготовленности, каждая подгруппа выбирает себе вариант с заданием, обсуждает и решает выбранные задания. По мере необходимости обращается к преподавателю за консультацией. После выполнения всех заданий своего варианта и проверки ответов преподавателем, участники группы индивидуально заканчивают решение уравнений ж) и з) предыдущего этапа урока. Для 4 и 5 вариантов (после проверки ответов и решения преподавателем) на доске записаны дополнительные задания, которые выполняются индивидуально.

Все индивидуальные решения в конце уроков сдаются преподавателю на проверку.

а) = 6;
б) = 2 ;
в) = 2 – х;
г) (х + 1) (5 – х) ( + 2) = 4.

а) = 4;
б) = 2 ;
в) = 1 – х;
г) (х + 1) (5 – х) ( + 2) = 4.

а) = 3;
б) = 4х;
в) — = 1;
г) + = + 3.

1. Решите уравнение:

а) = 4;
б) = 3 – 2х;

2. Решить систему уравнений:

1. Решите уравнение:

а) = ;
б) = 3 – 2х;

2. Решить систему уравнений:

Решить относительно х уравнение: · = а;

Решить уравнение: + = 4 – х.

Какие трудности испытывали при выполнении заданий? Что необходимо для устранения этих трудностей?

VI. Домашнее задание

Повторить теорию решения иррациональных уравнений, прочитать пункт 8.2 в учебнике (обратить внимание на пример 3).

Решить № 8.8 (а, в), № 8.9 (а, в), № 8.10 (а).

Никольский С.М., Потапов М.К., Н.Н. Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа , учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений, М.: Просвещение, 2014.

Краткое описание документа:

Данная методическая разработка содержит материалы по теории и практике решения иррациональных уравнений. Она может быть использована на уроках алгебры в школах для учеников 11 класса и студентов 2 курса СПО. В качестве проверки знаний в конце урока предлагается дифференцированная самостоятельная работа по группам, использующая карточки с разноуровненными заданиями.