Калькулятор дробей
Онлайн калькулятор дробей позволяет производить простейшие арифметические операции с дробями: сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Чтобы произвести вычисления, заполните поля соответствующие числителям и знаменателям двух дробей. Если дробь имеет вид «смешанной дроби», то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если у дроби нет целой части, т.е. дробь имеет вид «простой дроби», то оставьте данное поле пустым. Затем нажмите кнопку «Вычислить».
Вид дроби: простые дроби смешанные дроби
Дробь 1 | Дробь 2 | Результат | |
Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
---|---|
Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:
- подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
- умножить на это число каждый член уравнения.
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.
Что еще важно учитывать при решении
- если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
- делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
Универсальный алгоритм решения
Определить область допустимых значений.
Найти общий знаменатель.
Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
Решить полученное уравнение.
Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
Записать ответ, который прошел проверку.
Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.
- Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Решим обычное уравнение.
Пример 2. Найти корень уравнения
- Область допустимых значений: х ≠ −2.
- Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Переведем новый множитель в числитель..
Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
- Найти общий знаменатель:
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:
Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:
Решим полученное квадратное уравнение:
Получили два возможных корня:
Если x = −3, то знаменатель равен нулю:
Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.
Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры
Данная статья начинает изучение действий с алгебраическими дробями: рассмотрим подробно такие действия как сложение и вычитание алгебраических дробей. Разберем схему сложения и вычитания алгебраических дробей как с одинаковыми знаменателями, так и с разными. Изучим, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как произвести их вычитание. На конкретных примерах поясним каждый шаг поиска решения задач.
Действия сложения и вычитания при одинаковых знаменателях
Схема сложения обыкновенных дробей применима и для алгебраических. Мы знаем, что при сложении или вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть их числители, а знаменатель остается исходным.
К примеру: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 и 5 11 — 4 11 = 5 — 4 11 = 1 11 .
Соответственно аналогичным образом записывается правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:
Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители исходных дробей, а знаменатель записать без изменений.
Данное правило дает возможность сделать вывод, что результат сложения или вычитания алгебраических дробей — новая алгебраическая дробь (в частном случае: многочлен, одночлен или число).
Укажем пример применения сформулированного правила.
Заданы алгебраические дроби: x 2 + 2 · x · y — 5 x 2 · y — 2 и 3 — x · y x 2 · y — 2 . Необходимо осуществить их сложение.
Решение
Исходные дроби содержат одинаковые знаменатели. Согласно правилу, выполним сложение числителей заданных дробей, а знаменатель оставим неизменным.
Сложив многочлены, являющиеся числителями исходных дробей, получим: x 2 + 2 · x · y − 5 + 3 − x · y = x 2 + ( 2 · x · y − x · y ) − 5 + 3 = x 2 + x · y − 2 .
Тогда искомая сумма будет записана как: x 2 + x · y — 2 x 2 · y — 2 .
В практике, как во многих случаях, решение приводится цепочкой равенств, наглядно показывающей все этапы решения:
x 2 + 2 · x · y — 5 x 2 · y — 2 + 3 — x · y x 2 · y — 2 = x 2 + 2 · x · y — 5 + 3 — x · y x 2 · y — 2 = x 2 + x · y — 2 x 2 · y — 2
Ответ: x 2 + 2 · x · y — 5 x 2 · y — 2 + 3 — x · y x 2 · y — 2 = x 2 + x · y — 2 x 2 · y — 2 .
Результатом сложения или вычитания может стать сократимая дробь, в этом случае оптимально ее сократить.
Необходимо вычесть из алгебраической дроби x x 2 — 4 · y 2 дробь 2 · y x 2 — 4 · y 2 .
Решение
Знаменатели исходных дробей равны. Произведем действия с числителями, а именно: вычтем из числителя первой дроби числитель второй, после чего запишем результат, оставляя знаменатель неизменным:
x x 2 — 4 · y 2 — 2 · y x 2 — 4 · y 2 = x — 2 · y x 2 — 4 · y 2
Мы видим, что полученная дробь – сократимая. Осуществим ее сокращение, преобразовав знаменатель при помощи формулы разности квадратов:
x — 2 · y x 2 — 4 · y 2 = x — 2 · y ( x — 2 · y ) · ( x + 2 · y ) = 1 x + 2 · y
Ответ: x x 2 — 4 · y 2 — 2 · y x 2 — 4 · y 2 = 1 x + 2 · y .
По такому же принципу складываются или вычитаются три и более алгебраических дробей при одинаковых знаменателях. К примеру:
1 x 5 + 2 · x 3 — 1 + 3 · x — x 4 x 5 + 2 · x 3 — 1 — x 2 x 5 + 2 · x 3 — 1 — 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 — 1 = 1 + 3 · x — x 4 — x 2 — 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 — 1
Действия сложения и вычитания при разных знаменателях
Вновь обратимся к схеме действий с обыкновенными дробями: чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
К примеру, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 или 1 2 — 3 7 = 7 14 — 6 14 = 1 14 .
Так же по аналогии сформулируем правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:
Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями, необходимо:
- исходные дроби привести к общему знаменателю;
- выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Очевидно, что ключевым здесь будет навык приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Разберем подробнее.
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо осуществить тождественное преобразование заданных дробей, в результате которого знаменатели исходных дробей становятся одинаковыми. Здесь оптимально действовать по следующему алгоритму приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:
- сначала определяем общий знаменатель алгебраических дробей;
- затем находим дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели исходных дробей;
- последним действием числители и знаменатели заданных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.
Пример 3
Заданы алгебраические дроби: a + 2 2 · a 3 — 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 — 6 · a и a + 1 4 · a 5 — 16 · a 3 . Необходимо привести их к общему знаменателю.
Решение
Действуем по указанному выше алгоритму. Определим общий знаменатель исходных дробей. С этой целью разложим знаменатели заданных дробей на множители: 2 · a 3 − 4 · a 2 = 2 · a 2 · ( a − 2 ) , 3 · a 2 − 6 · a = 3 · a · ( a − 2 ) и 4 · a 5 − 16 · a 3 = 4 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) . Отсюда можем записать общий знаменатель: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) .
Теперь нам предстоит найти дополнительные множители. Разделим, согласно алгоритму, найденный общий знаменатель на знаменатели исходных дробей:
- для первой дроби: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) : ( 2 · a 2 · ( a − 2 ) ) = 6 · a · ( a + 2 ) ;
- для второй дроби: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) : ( 3 · a · ( a − 2 ) ) = 4 · a 2 · ( a + 2 );
- для третьей дроби: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) : ( 4 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) ) = 3 .
Следующий шаг — умножение числителей и знаменателей заданных дробей на найденные дополнительные множители:
a + 2 2 · a 3 — 4 · a 2 = ( a + 2 ) · 6 · a · ( a + 2 ) ( 2 · a 3 — 4 · a 2 ) · 6 · a · ( a + 2 ) = 6 · a · ( a + 2 ) 2 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) a + 3 3 · a 2 — 6 · a = ( a + 3 ) · 4 · a 2 · ( a + 2 ) 3 · a 2 — 6 · a · 4 · a 2 · ( a + 2 ) = 4 · a 2 · ( a + 3 ) · ( a + 2 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) a + 1 4 · a 5 — 16 · a 3 = ( a + 1 ) · 3 ( 4 · a 5 — 16 · a 3 ) · 3 = 3 · ( a + 1 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 )
Ответ: a + 2 2 · a 3 — 4 · a 2 = 6 · a · ( a + 2 ) 2 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) ; a + 3 3 · a 2 — 6 · a = 4 · a 2 · ( a + 3 ) · ( a + 2 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) ; a + 1 4 · a 5 — 16 · a 3 = 3 · ( a + 1 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) .
Так, мы привели исходные дроби к общему знаменателю. В случае необходимости далее можно преобразовать полученный результат в вид алгебраических дробей, осуществив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.
Уточним также такой момент: найденный общий знаменатель оптимально оставлять в виде произведения на случай необходимости сократить конечную дробь.
Мы рассмотрели подробно схему приведения исходных алгебраических дробей к общему знаменателю, теперь можем приступить к разбору примеров на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Заданы алгебраические дроби: 1 — 2 · x x 2 + x и 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 . Необходимо осуществить действие их сложения.
Решение
Исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому первым действием приведем их к общему знаменателю. Раскладываем знаменатели на множители: x 2 + x = x · ( x + 1 ) , а x 2 + 3 · x + 2 = ( x + 1 ) · ( x + 2 ) , т.к. корни квадратного трехчлена x 2 + 3 · x + 2 это числа: — 1 и — 2 . Определяем общий знаменатель: x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) , тогда дополнительные множители будут: x + 2 и – x для первой и второй дробей соответственно.
Таким образом: 1 — 2 · x x 2 + x = 1 — 2 · x x · ( x + 1 ) = ( 1 — 2 · x ) · ( x + 2 ) x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = x + 2 — 2 · x 2 — 4 · x x · ( x + 1 ) · x + 2 = 2 — 2 · x 2 — 3 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) и 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 2 · x + 5 ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · x + 5 · x ( x + 1 ) · ( x + 2 ) · x = 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 )
Теперь сложим дроби, которые мы привели к общему знаменателю:
2 — 2 · x 2 — 3 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = = 2 — 2 · x 2 — 3 · x + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · 2 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 )
Полученную дробь возможно сократить на общий множитель x + 1 :
2 + 2 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · ( x + 1 ) x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 x · ( x + 2 )
И, напоследок, полученный результат запишем в виде алгебраической дроби, заменив произведение в знаменателе многочленом:
2 x · ( x + 2 ) = 2 x 2 + 2 · x
Запишем ход решения кратко в виде цепочки равенств:
1 — 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 1 — 2 · x x · ( x + 1 ) + 2 · x + 5 ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = = 1 — 2 · x · ( x + 2 ) x · x + 1 · x + 2 + 2 · x + 5 · x ( x + 1 ) · ( x + 2 ) · x = 2 — 2 · x 2 — 3 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = = 2 — 2 · x 2 — 3 · x + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · x + 1 x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 x · ( x + 2 ) = 2 x 2 + 2 · x
Ответ: 1 — 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 2 x 2 + 2 · x
Обратите внимание еще на такую деталь: перед тем, как алгебраические дроби сложить или вычесть, при наличии возможности их желательно преобразовать с целью упрощения.
Необходимо осуществить вычитание дробей: 2 1 1 3 · x — 2 21 и 3 · x — 1 1 7 — 2 · x .
Решение
Преобразуем исходные алгебраические дроби для упрощения дальнейшего решения. Вынесем за скобки числовые коэффициенты переменных в знаменателе:
2 1 1 3 · x — 2 21 = 2 4 3 · x — 2 21 = 2 4 3 · x — 1 14 и 3 · x — 1 1 7 — 2 · x = 3 · x — 1 — 2 · x — 1 14
Данное преобразование однозначно дало нам пользу: мы явно видим наличие общего множителя.
Избавимся вообще от числовых коэффициентов в знаменателях. Для этого используем основное свойство алгебраических дробей: числитель и знаменатель первой дроби умножим на 3 4 , а второй на — 1 2 , тогда получим:
2 4 3 · x — 1 14 = 3 4 · 2 3 4 · 4 3 · x — 1 14 = 3 2 x — 1 14 и 3 · x — 1 — 2 · x — 1 14 = — 1 2 · 3 · x — 1 — 1 2 · — 2 · x — 1 14 = — 3 2 · x + 1 2 x — 1 14 .
Совершим действие, которое нам позволит избавиться от дробных коэффициентов: умножим полученные дроби на 14 :
3 2 x — 1 14 = 14 · 3 2 14 · x — 1 14 = 21 14 · x — 1 и — 3 2 · x + 1 2 x — 1 14 = 14 · — 3 2 · x + 1 2 x — 1 14 = — 21 · x + 7 14 · x — 1 .
Наконец, выполним требуемое в условии задачи действие – вычитание:
2 1 1 3 · x — 2 21 — 3 · x — 1 1 7 — 2 · x = 21 14 · x — 1 — — 21 · x + 7 14 · x — 1 = 21 — — 21 · x + 7 14 · x — 1 = 21 · x + 14 14 · x — 1
Ответ: 2 1 1 3 · x — 2 21 — 3 · x — 1 1 7 — 2 · x = 21 · x + 14 14 · x — 1 .
Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена
Данное действие сводится также к сложению или вычитанию алгебраических дробей: необходимо представить исходный многочлен как дробь со знаменателем 1 .
Необходимо произвести сложение многочлена x 2 − 3 с алгебраической дробью 3 · x x + 2 .
Решение
Запишем многочлен как алгебраическую дробь со знаменателем 1 : x 2 — 3 1
Теперь можем выполнить сложение по правилу сложения дробей с разными знаменателями:
x 2 — 3 + 3 · x x + 2 = x 2 — 3 1 + 3 · x x + 2 = x 2 — 3 · ( x + 2 ) 1 · x + 2 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 — 3 · x — 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 — 3 · x — 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 — 6 x + 2
Ответ: x 2 — 3 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 — 6 x + 2 .
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-uravnenij-s-drobyami
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/slozhenie-i-vychitanie-algebraicheskih-drobej/