Уравнение слуцкого в дифференциальной форме

Теоретический материал: Уравнение Слуцкого

Теоретический материал: Уравнение Слуцкого

Для описания декомпозиции изменения маршаллианского спроса в аналитической форме часто используется т. н. уравнение (или тождество) Слуцкого.

Чтобы упростить наши выкладки, будем считать, что:

— потребителю доступны два блага (1 и 2),

— его первоначальный оптимальный набор:

— доход потребителя – I, цена первого блага – p1, цена второго блага фиксирована и равна единице

–> чтобы упростить запись, мы не записываем цену второго блага в числе аргументов, т. к. она все равно не будет меняться

Тогда уравнение Слуцкого в простейшей форме можно записать так:

(1)

ЗАМЕТИМ, что это действительно тождество: вы можете привести подобные слагаемые в правой и левой частях уравнения, и убедиться, что оно выполняется для любых параметров p1, p1’, I и I’!

Если обозначить каждую из разностей в фигурных скобках как соответствующую Δ (как это делает, например, Хэл Вэриан), уравнение (1) примет вид:

(2)

Уравнение Слуцкого часто представляют в виде отношений изменений. Разделим обе части уравнения (2) на Δp1:

(3)

Теперь давайте преобразуем последнее слагаемое в правой части уравнения (3). При декомпозиции по Слуцкому, компенсация должна позволить потребителю при новых ценах приобрести свой первоначальный набор, то есть:

Подставив это в знаменатель последнего слагаемого уравнения (3), получим:

(4)

Рассматривая бесконечно малые изменения p1 и I, мы могли бы записать это уравнение в первых производных.

Вначале, рассмотрим левую часть уравнения (4):

(5)

Теперь рассмотрим первое слагаемое в правой части уравнения (4):

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! В отличие от выражения (5), данный предел уже нельзя рассматривать как частную производную функции маршаллианского спроса по p1, т. к. одновременно c p1 меняется I! [1]

Выход состоит в следующем: введем функцию , которая будет показывать, сколько товара 1 потребитель приобретет при цене p1 и компенсированном по Слуцкому доходе I’ (заметим, что тогда I’ полностью задается уравнением –
поэтому-то мы и не указываем его в числе аргументов !).

(6)

è Будем называть функцию функцией компенсированного (по Слуцкому) спроса на товар 1.

ЗАМЕЧАНИЕ 1: При декомпозиции по Хиксу, мы используем аналогичный прием: вводим функцию компенсированного (по Хиксу) спроса на товар 1: .

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Поскольку в курсах продвинутого уровня практически всегда используется именно декомпозиция по Хиксу, функцию компенсированного спроса часто обозначают как “h”, и называют «хиксианским спросом» (“hicksian demand”) – в противовес обычному («маршаллианскому»).

Наконец, рассмотрим второе слагаемое в правой части уравнения (4):

(7)

Имея уравнения (4), (5), (6) и (7), мы можем записать уравнение Слуцкого в дифференциальной форме:

(8)

ЗАМЕТИМ: между уравнениями (4) и (8) возникает некоторая натяжка: в то время как в уравнении (4) знак перед вторым слагаемым в правой части положителен, в уравнении (8) он отрицателен.

Формально, никакого противоречия здесь нет. ОДНАКО, чтобы СТАНДАРТИЗИРОВАТЬ запись уравнения Слуцкого, при записи уравнения Слуцкого в дискретной форме (уравнение (4)) экономисты рассматривают эффект дохода с обратным знаком:

Δx1I = = – Δx1N.

Если в уравнении (4) заменить Δx1N на Δx1I, мы получим канонический вид уравнения Слуцкого в дискретной форме:

(9)

Убедительно прошу вас придерживаться именно его, т. к. это профессиональный стандарт.

Задача 1. (из прошлого семинара)

Функция полезности потребителя задана формулой , а бюджетное ограничение формулой .

а) Найдите функцию спроса и функцию компенсированного спроса потребителя.

б) Найдите разложение величины на эффекты замещения и дохода.

Задача 2. (из прошлого семинара)

Товары и считаются абсолютно взаимодополняющими, и потребитель потреблял их в соотношении две единицы на одну единицу . Первоначально они стоили 1 и 8 рублей соответственно. Доход потребителя равен 560 руб. Цена на не изменилась, а на повысилась до 14 руб. Найдите изменение спроса на товар в силу эффектов замещения и дохода.

Студентка, любящая шоколад, может тратить 10 долларов в день. Этот доход она расходует на шоколад и другие товары. Переменная обозначает количество унций шоколада, которое она покупает в день, переменная обозначает количество покупаемых единиц композитного товара ценой в 1 доллар. Функция полезности студентки . В начале декабря шоколад стоил 0,5 доллара за унцию, но к Рождеству подешевел и стал стоить всего 0,2 доллара. Найдите изменение потребления шоколада в силу эффекта замещения и эффекта дохода, вызванное его удешевлением.

[1] А это противоречит определению частной производной функции многих переменных.

Глава 8 — УРАВНЕНИЕ СЛУЦКОГО

Экономистов часто интересуют изменения поведения потребителя в ответ на изменения экономической среды. В настоящей главе мы рассмотрим, как реагирует выбор товара потребителем на изменение цены товара. Естественно было бы полагать, что с ростом цены на товар спрос на него упадет. Однако, как мы видели в гл. 6, можно построить такие примеры, в которых оптимальный спрос на товар уменьшается при падении его цены. Товар, обладающий этим свойством, называют товаром Гиффена.

Товары Гиффена весьма специфичны и представляют в первую очередь теоретический интерес, однако встречаются и другие ситуации, в которых изменения цен могут иметь «ненормальные» следствия, на поверку оказывающиеся не столь уж неразумными.

Например, обычно мы считаем, что если люди будут получать более высокую заработную плату, они станут работать больше. Но что, если бы ваша зарплата подскочила с 10$ в час до 1000$ в час? Неужели вы в самом деле захотели бы работать больше? Разве вы не могли бы предпочесть работать меньше часов и использовать заработанные деньги на то, чтобы заняться чем-то другим? Что, если бы ваша зарплата составляла 1 000 000$ в час? Разве вы не стали бы работать меньше?

Возьмем другой пример: подумайте, что произойдет с вашим спросом на яблоки при росте их цены. Возможно, вы станете покупать меньше яблок. Но что можно сказать о семье, выращивающей яблоки на продажу? Если цена яблок возрастет, доход этой семьи может подскочить так сильно, что ее члены смогут позволить себе потреблять больше своих собственных яблок. Для потребителей, являющихся членами этой семьи, рост цены яблок мог бы вполне привести к увеличению потребления яблок.

Что происходит в подобных случаях? Как объяснить тот факт, что изменения цены могут оказывать такие неоднозначные воздействия на спрос? В этой и следующей главах мы попытаемся класссифицировать эти воздействия.

8.1. Эффект замещения

При изменении цены товара имеет место два рода эффектов: изменяются пропорция, в которой вы можете обменять один товар на другой, и общая покупательная способность вашего дохода. Если, например, товар 1 становится дешевле, это означает, что вам придется отказаться от меньшего количества товара 2, чтобы купить товар 1. Изменение цены товара 1 изменило пропорцию, в которой рынок позволяет вам «заместить» товар 2 товаром 1. Предлагаемые потребителю рынком условия выбора между двумя товарами изменились.

В то же время удешевление товара 1 означает, что на свой денежный доход вы можете купить больше товара 1. Покупательная способность вашего денежного дохода возросла; хотя количество долларов у вас остается тем же самым, количество товара, которое можно на них купить, увеличилось.

Первый эффект — изменение спроса вследствие изменения пропорции обмена между двумя товарами — называют эффектом замещения. Второй эффект — изменение спроса вследствие повышения покупательной способности — называют эффектом дохода. Это лишь приблизительные определения двух указанных эффектов. Чтобы дать им более точное определение, нам придется рассмотреть оба эффекта более детально.

Способ, которым мы это сделаем, состоит в разложении эффекта цены на два этапа: сначала мы допустим, что изменяются относительные цены, и скорректируем денежный доход таким образом, чтобы покупательная способность оставалась постоянной, а затем позволим меняться покупательной способности, сохраняя при этом относительные цены постоянными.

Лучше всего это можно объяснить с помощью рис. 8.1. На нем изображена ситуация снижения цены товара 1. Это означает, что бюджетная линия поворачивается вокруг точки пересечения с вертикальной осью m/p₂ и становится более пологой. Указанное движение бюджетной линии можно разбить на два шага: сначала поверните бюджетную линию вокруг исходного набора спроса, а затем сдвиньте полученную при этом повороте бюджетную линию наружу к новому набору спроса.

Эта операция «поворот-сдвиг» позволяет удобным образом разложить изменение спроса на две части. Первый шаг — поворот — есть движение, при котором изменяется наклон бюджетной линии, в то время как соответствующая ей покупательная способность остается постоянной, второй же шаг есть движение, при котором наклон не меняется, а покупательная способность изменяется. Это разложение — всего лишь гипотетическое построение, потребитель просто наблюдает изменение цены и в ответ на него выбирает новый товарный набор. Однако, исследуя изменение выбора потребителя, полезно представлять себе, что бюджетная линия занимает новое положение в два этапа — сначала поворот, а затем сдвиг.

Поворот и сдвиг . При изменении цены товара 1 и при неизменном доходе бюджетная линия поворачивается вокруг вертикальной оси. Будем считать, что это изменение происходит в два этапа: сначала мы поворачиваем бюджетную линию вокруг точки исходного выбора, а затем сдвигаем эту линию к новому набору спроса.

Каков экономический смысл бюджетных линий, полученных в результате поворота и сдвига? Сначала рассмотрим линию, полученную в результате поворота. Мы имеем бюджетную линию с тем же наклоном и, следовательно, теми же относительными ценами, что и у конечной бюджетной линии. Однако денежный доход, связанный с данной бюджетной линией, отличен от того, который характеризует конечную бюджетную линию, поскольку данная бюджетная линия имеет другую точку пересечения с вертикальной осью. Поскольку исходный потребительский набор (x₁, x₂ ) лежит на бюджетной линии, полученной в результате поворота исходной бюджетной линии, этот потребительский набор является доступным. Покупательная способность потребителя осталась постоянной в том смысле, что исходный товарный набор при новой бюджетной линии, полученной поворотом из исходной, остается доступным.

Подсчитаем, насколько сильно надо изменить денежный доход, чтобы старый набор оставался доступным. Пусть m ‘ — сумма денежного дохода, при которой исходный потребительский набор станет доступным; это сумма денежного дохода, ассоциируемая с бюджетной линией, полученной в результате поворота. Поскольку набор (x₁, x₂ ) доступен и при (p₁, p₂, m ), и при (, p₂, m ‘ ), получаем

m ‘ = x ₁ + p₂x₂; m = p₁x₁ + p₂x₂.

Вычитание второго уравнения из первого дает

m ‘ — m = x₁[ — p₁] .

Из данного уравнения следует, что изменение денежного дохода, необходимое для того чтобы сделать старый набор доступным по новым ценам, равно первоначальной величине потребления товара 1, умноженной на изменение цены.

Если считать, что Dp ₁ = — p ₁ представляет изменение цены товара 1, а Dm = m ‘ — m представляет изменение дохода, необходимое для того, чтобы сделать старый набор доступным, то получаем

Обратите внимание на то, что изменение дохода и изменение цены всегда однонаправлены: если цена растет, приходится увеличивать доход, чтобы прежний набор оставался доступным.

Рассмотрим конкретные числовые примеры. Пусть потребитель поначалу потребляет 20 леденцов на палочке в неделю и пусть леденцы на палочке стоят 50 центов штука. Насколько должен измениться доход, чтобы при росте цены леденцов на 10 центов, т.е. Dp ₁ = 0,60 — 0,50 = 0,10, старый потребительский набор по-прежнему был доступен?

Мы можем применить приведенную выше формулу. Если бы доход потребителя был выше на 2,00 $, он как раз мог бы потреблять то же самое количество леденцов, а именно 20. Алгебраически получаем:

Теперь у нас есть формула для бюджетной линии, полученной поворотом из исходной: это не что иное, как бюджетная линия при новой цене товара 1 и доходе, изменившемся на Dm . Обратите внимание, что при снижении цены товара 1 изменение дохода будет отрицательным. Когда цена снижается, покупательная способность потребителя растет, поэтому приходится уменьшать доход потребителя, чтобы сохранить его покупательную способность на прежнем уровне. Аналогично, когда цена растет, покупательная способность падает, поэтому изменение дохода, необходимое для сохранения прежней покупательной способности, должно быть величиной положительной.

Хотя набор (x₁, x₂ ) все еще доступен, обычно при переходе к бюджетной линии, полученной поворотом, он уже не является оптимальным. На рис.8.2 мы обозначили оптимальный набор, лежащий на бюджетной линии, полученной из исходной ее поворотом, через Y. Этот товарный набор становится оптимальным, когда мы изменяем цену, а затем корректируем денежный доход таким образом, чтобы просто сохранить доступность старого товарного набора. Движение от X к Y известно как эффект замещения. Этот эффект показывает, каким образом потребитель «замещает» один товар другим при изменении цены, но при сохранении постоянной покупательной способности.

Эффект замещения и эффект дохода . Поворот исходной бюджетной линии дает эффект замещения, а ее сдвиг — эффект дохода.

Говоря более строго, эффект замещения есть изменение спроса на товар 1 при изменении цены товара 1 до и одновременном изменении денежного дохода до m ‘ :

= x₁(, m ‘ ) — x₁(p₁, m) .

Для определения эффекта замещения следует воспользоваться функцией спроса данного потребителя, чтобы исчислить его оптимальный выбор при ( , m ‘ ) и (p₁, m ). Изменение спроса на товар 1 может быть большим или маленьким в зависимости от формы кривых безразличия данного потребителя. Однако, зная функцию спроса, нетрудно просто подставить в нее соответствующие числа, чтобы подсчитать эффект замещения. (Конечно, спрос на товар 1 вполне может зависеть и от цены товара 2; но в проделываемом нами упражнении цена товара 2 принята постоянной, поэтому мы не стали включать ее в функцию спроса, чтобы не делать запись громоздкой.)

Эффект замещения иногда называют изменением компенсированного спроса. Идея состоит в том, что потребителю компенсируют повышение цены таким увеличением его дохода, которое позволяет ему купить старый потребительский набор. Разумеется, если цена снижается, то «компенсация» заключается в том, что у него отбирают часть денежного дохода. Из соображений последовательности будем обычно придерживаться термина «замещение», но терминология, построенная на понятии «компенсация», также широко используется.

ПРИМЕР: Расчет эффекта замещения

Пусть функция спроса данного потребителя на молоко имеет вид

x ₁ = 10 + .

Первоначально доход потребителя составляет 120$ в неделю, а цена молока — 3$ за кварту. Следовательно, спрос потребителя на молоко составляет 10 + 120/(10 * 3) = 14 кварт в неделю.

Предположим теперь, что цена молока падает до 2$ за кварту. Тогда спрос потребителя при этой новой цене составит 10 + 120/(10 * 2) = 16 кварт молока в неделю. Общее изменение спроса равно +2 квартам в неделю.

Чтобы подсчитать эффект замещения, следует вначале подсчитать, насколько должен был бы измениться доход, чтобы при цене молока в 2$ за кварту первоначальное потребление молока стало доступным. Применим формулу (8.1):

Таким образом, уровень дохода, необходимый для того, чтобы сохранить покупательную способность неизменной, есть = 120 — 14 = 106 . Чему равна величина спроса потребителя на молоко при новой цене 2$ за кварту и при указанном уровне дохода? Просто подставим соответствующие числа в функцию спроса и получим

x ₁ (, m ‘ ) — x₁(2,106) = 10 + = 15,3 .

Следовательно, эффект замещения есть

= x₁(2,106) — x₁(3,120) = 15,3 — 14 = 1,3 .

8.2. Эффект дохода

Обратимся теперь к рассмотрению второго этапа приспособления спроса к изменению цены — сдвигу бюджетной линии. Ему также нетрудно дать экономическое истолкование. Нам известно, что параллельный сдвиг бюджетной линии происходит тогда, когда доход меняется, а относительные цены остаются постоянными. Поэтому второй этап приспособления спроса к изменению цены называют эффектом дохода. Мы просто изменяем доход потребителя с m ‘ на m, сохраняя цены постоянными на уровне (, p₂ ). Вследствие этого изменения мы попадаем на рис.8.2 из точки (y₁, y₂ ) в точку (z₁, z₂ ). Это последнее движение естественно именовать эффектом дохода, поскольку мы изменяем только доход, сохраняя цены фиксированными на новом уровне.

Говоря более строго, эффект дохода, D есть изменение спроса на товар 1 при изменении дохода с m ‘ до m и сохранении цены товара 1 постоянной на уровне :

= x₁( , m) — x₁( , m ‘ ) .

Эффект дохода уже был рассмотрен нами раньше, в § 6.1. Там мы увидели, что эффект дохода может действовать двояким образом: он ведет либо к повышению, либо к понижению спроса на товар 1 в зависимости от того, о каком товаре идет речь — нормальном или низшей категории.

При снижении цены необходимо уменьшать доход, чтобы сохранить покупательную способность постоянной. Если товар — нормальный, то такое уменьшение дохода приведет к сокращению спроса. Если товар является товаром низшей категории, уменьшение дохода приведет к увеличению спроса.

ПРИМЕР: Расчет эффекта дохода

Как мы видели в примере, приведенном ранее в этой главе,

x ₁ (, m) = x₁(2,120) = 16,

x ₁ (, m ‘ ) = x₁(2,106) = 15,3.

Таким образом, эффект дохода в данной задаче составляет

= x₁(2,120) — x₁(2,106) = 16 — 15,3 = 0,7.

Поскольку молоко для рассматриваемого потребителя является нормальным товаром, спрос на молоко с ростом дохода возрастает.

8.3. Знак эффекта замещения

Выше мы видели, что эффект дохода может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, является ли рассматриваемый товар нормальным товаром или товаром низшей категории. А что можно сказать в этой связи об эффекте замещения? Если, как показано на рис.8.2, цена товара падает, то изменение спроса на товар в результате действия эффекта замещения должно быть неотрицательным. Иными словами, если p₁ > p₂ , то должно соблюдаться x₁(, m ‘ ) ≥ x₁(p₁, m) , так что .

Доказать это можно следующим образом. На рис.8.2 рассмотрим те точки, лежащие на бюджетной линии, полученной поворотом из исходной, в которых потребление товара 1 меньше, чем в наборе X. Все эти наборы при старых ценах (p₁, p₂ ) были доступны, но не были куплены. Вместо них был куплен набор X. Если потребитель всегда выбирает лучший набор из числа доступных, то набор X должен предпочитаться всем наборам, лежащим на той части бюджетной линии, полученной поворотом из исходной, которая находится внутри первоначального бюджетного множества.

Это означает, что оптимальный набор, лежащий на бюджетной линии, полученной поворотом из исходной, не должен быть одним из наборов, лежащих под исходной бюджетной линией. Этот оптимальный набор должен быть либо набором X, либо каким-то набором в точке справа от X. Но сказанное означает, что в точке нового оптимального выбора потребление товара 1 должно быть по меньшей мере таким же, как и в точке первоначального выбора, что мы как раз и хотели показать. В случае, иллюстрируемом рис. 8.2 оптимальным набором, лежащим на бюджетной линии, полученной поворотом из исходной, является набор Y, безусловно, означающий потребление большего количества товара 1, чем в точке первоначального потребления X.

Эффект замещения всегда действует в сторону, противоположную движению цены. Мы говорим, что эффект замещения отрицателен, поскольку изменение спроса, вызываемое эффектом замещения, противоположно изменению цены: если цена на данный товар растет, спрос на него вследствие действия эффекта замещения уменьшается.

8.4. Общее изменение спроса

Общее изменение спроса Dx₁ есть изменение спроса, вызываемое изменением цены при сохранении дохода постоянным:

D x ₁ = x₁(, m) — x₁(p₁, m) .

Как мы видели выше, это изменение можно подразделить на два изменения: эффект замещения и эффект дохода. Или, пользуясь принятыми выше обозначениями,

,

x ₁ (, m) — x₁(p₁, m) = [x₁(, m ‘ ) — x₁(p₁, m) ] + [x₁(, m) — x₁(, m ‘ ) ] .

Если выразить смысл данного уравнения словами, то оно говорит о том, что общее изменение спроса равно сумме эффекта замещения и эффекта дохода. Это уравнение называется тождеством Слуцкого . Обратите внимание на то, что это тождество: оно соблюдается для всех значений p ₁ , , m и m ‘ . Первый и четвертый члены в правой части взаимно уничтожаются, так что правая часть тождественно равна левой части.

Суть тождества Слуцкого состоит не в том, что оно представляет собой алгебраическое тождество — это математическая тривиальность. Суть данного тождества заключается в интерпретации двух членов в правой части: эффекта замещения и эффекта дохода. В частности, мы можем применить то, что нам уже известно о знаках эффектов дохода и замещения, чтобы определить знак общего эффекта.

В то время как эффект замещения должен быть всегда отрицателен — противоположен направлению изменения цены, эффект дохода может действовать в обоих направлениях. Следовательно, общий эффект может быть положительным или отрицательным. Однако, в случае нормального товара эффект замещения и эффект дохода действуют в одном и том же направлении. Рост цены означает, что спрос сократится вследствие действия эффекта замещения. Рост цены подобен сокращению дохода, которое в случае нормального товара означает сокращение спроса. Оба эффекта усиливают друг друга. В принятых нами обозначениях изменение спроса вследcтвие роста цены нормального товара означает:

(знаки «минус» под каждым членом указывают, что каждый член этого выражения отрицателен).

Обратите особое внимание на знак эффекта дохода. Поскольку мы рассматриваем ситуацию роста цены, это подразумевает снижение покупательной способности, что для нормального товара означает сокращение спроса.

С другой стороны, если мы рассматриваем товар низшей категории, может случиться так, что эффект дохода перевесит эффект замещения, так что общее изменение спроса, связанное с изменением цены, в действительности окажется положительным. В этом случае мы имели бы

.

Если бы второй член в правой части тождества — эффект дохода — был достаточно велик, общее изменение спроса могло бы быть положительным. Это означало бы, что рост цены может иметь результатом увеличение спроса. Это — «ненормальный» случай товара Гиффена, описанный нами ранее: рост цены столь сильно сокращает покупательную способность потребителя, что последний увеличивает спрос на товар низшей категории.

Но тождество Слуцкого показывает, что такого рода «ненормальный» эффект может иметь место лишь для товаров низшей категории: если товар нормальный, то эффекты дохода и замещения друг друга усиливают, так что общее изменение спроса всегда происходит в «правильном» направлении.

Таким образом, товар Гиффена должен быть товаром низшей категории. Но товар низшей категории не обязательно является товаром Гиффена: для этого эффект дохода должен не только иметь «неправильный» знак, он должен еще быть достаточно велик, чтобы перевесить «правильный» знак эффекта замещения. Вот почему мы так редко наблюдаем товары Гиффена в реальной жизни: они должны были бы быть товарами не просто низшей , а очень низшей категории.

Сказанное графически иллюстрируется рис. 8.3. Здесь показана обычная операция «поворот—сдвиг», используемая для нахождения эффекта замещения и эффекта дохода. В обоих случаях товар 1 является товаром низшей категории и поэтому эффект дохода отрицателен. На рис.8.3A эффект дохода достаточно велик, чтобы перевесить эффект замещения, тем самым произведя на свет товар Гиффена. На рис.8.3B эффект дохода меньше, и поэтому спрос на товар 1 реагирует на изменение его цены обычным образом.

A Случай товара Гиффена B Случай товара низшей категории,

не являющегося товаром Гиффена

Товары низшей категории . На рис.A показан товар настолько низкой категории, что он является товаром Гиффена. На рис.B показан тоже товар низшей категории, но в данном случае эффект дохода не настолько велик, чтобы породить товар Гиффена.

8.5. Отношения изменений

Как мы видели, эффекты дохода и замещения могут быть описаны графически, в виде сочетания поворотов и сдвигов бюджетной линии, или же алгебраически, с помощью тождества Слуцкого

,

говорящего просто о том, что общее изменение спроса есть сумма эффекта замещения и эффекта дохода. В данном случае тождество Слуцкого записано в виде абсолютных изменений, но более распространенной является его запись в форме отношений изменений.

Если выразить тождество Слуцкого в форме отношений изменений, удобным оказывается определить эффект дохода, взятый с обратным знаком через :

= x₁( , m ‘ ) — x₁( , m) = — .

Если принять данное определение, то тождество Слуцкого приобретает вид

— .

Поделив каждую сторону тождества на p₁ , получаем

—. (8.2)

Первый член правой части этого выражения показывает, насколько изменилась величина спроса при изменении цены и такой корректировке дохода, которая позволяет сохранить доступность старого набора, иными словами, показывает эффект замещения. Теперь поработаем со вторым членом правой части этого выражения. Поскольку в его числителе стоит изменение дохода, хорошо было бы получить изменение дохода и в знаменателе.

Вспомним, что изменение дохода m и изменение цены p₁ связаны формулой

m = x₁p₁ .

Выразив из нее p , находим

p₁ = .

Теперь подставим это выражение в последний член тождества (8.2) и получим окончательную формулу:

— .

Это уравнение Слуцкого в форме отношений изменений. Каждый его член можно трактовать следующим образом:

что показывает, насколько изменилась величина спроса при изменении цены и при сохранении дохода постоянным;

показывает, насколько изменилась величина спроса при изменении цены и при такой корректировке дохода, которая позволяет просто сохранить доступность прежнего набора, т.е. эффект замещения; и

x₁= x₁ (8.3)

показывает, насколько изменилась величина спроса при неизменных ценах и изменении дохода, т. е. эффект дохода.

Сам эффект дохода в свою очередь состоит из двух сомножителей: изменения величины спроса с изменением дохода и первоначального объема спроса. При изменении цены на D p ₁ изменение величины спроса за счет эффекта дохода будет

= x₁ D p ₁ .

Но последний член, x ₁ D p ₁ есть просто изменение дохода, необходимое для сохранения доступности прежнего набора, т.е. x ₁ D p ₁ = D m , так что изменение величины спроса за счет эффекта дохода сводится к

= D m ,

что и было записано ранее.

8.6. Закон спроса

В гл. 5 мы выразили некоторую озабоченность по поводу отсутствия у теории поведения потребителей конкретного содержания: оказалось, что спрос может и расти, и сокращаться и при росте цены, и при росте дохода. Но если теория не накладывает каких-то ограничений на наблюдаемое поведение, она не представляет большой ценности как теория. Модель, совместимая с любым поведением, лишена реального содержания.

Однако нам известно, что у теории поведения потребителей имеется свое содержание. Мы видели, что выбор, сделанный оптимизирующим полезность потребителем, должен удовлетворять сильной аксиоме выявленных предпочтений. Более того, мы видели, что любое изменение цены можно разложить на два изменения: эффект замещения, который всегда отрицателен — в смысле направленности, противоположной изменению цены, — и эффект дохода, знак которого зависит от того, является ли данный товар нормальным товаром или товаром низшей категории.

Хотя теория поведения потребителей не накладывает ограничений на то, как изменяется спрос при изменении цен или при изменении дохода, она накладывает ограничения на взаимодействие этих двух видов изменений спроса. В частности, речь идет о следующем.

Закон спроса . Если с ростом дохода спрос на товар увеличивается, то с ростом цены данного товара спрос на него должен уменьшаться.

Это следует непосредственно из уравнения Слуцкого: если при росте дохода спрос на товар растет, перед нами нормальный товар. А если мы имеем дело с нормальным товаром, то эффект замещения и эффект дохода друг друга усиливают и рост цены непременно приведет к сокращению спроса.

8.7. Примеры эффектов дохода и замещения

Теперь рассмотрим некоторые примеры изменений цен для конкретных видов предпочтений и разложим изменения спроса на эффекты дохода и замещения.

Начнем со случая совершенных комплементов. Разложение по Слуцкому показано на рис.8.4. При повороте бюджетной линии вокруг выбранной точки оптимальный набор, лежащий на новой бюджетной линии, совпадает со старым набором, а это означает, что эффект замещения равен нулю. Изменение спроса происходит исключительно за счет эффекта дохода.

Что можно сказать о случае совершенных субститутов, проиллюстрированном рис. 8.5? В этом случае когда мы делаем бюджетную линию круче, набор спроса перескакивает с вертикальной оси на горизонтальную. Параллельного сдвига не получается! Все изменение спроса происходит за счет эффекта замещения.

В качестве третьего примера рассмотрим случай квазилинейных предпочтений. Здесь ситуация несколько особая. Как мы уже видели, при квазилинейных предпочтениях изменение дохода не вызывает изменения спроса на товар 1. Это означает, что изменение спроса на товар 1 целиком объясняется эффектом замещения и что эффект дохода равен нулю, как показано на рис.8.6

Совершенные комплементы . Разложение по Слуцкому для случая совершенных комплементов.

ПРИМЕР: возврат налога

В 1974 г. Организация стран — экспортеров нефти (ОПЕК) ввела эмбарго на экспорт нефти в Соединенные Штаты. ОПЕК смогла на несколько недель прекратить отгрузки нефти в порты США. Чувствительность Соединенных Штатов к таким срывам очень обеспокоила Конгресс и президента, и стало предлагаться множество планов уменьшения зависимости Соединенных Штатов от иностранной нефти.

Один из таких планов предусматривал повышение налога на бензин. Увеличение стоимости бензина для потребителей заставило бы их сократить потребление бензина, а сокращение спроса на бензин в свою очередь сократило бы спрос на иностранную нефть.

Однако прямое повышение налога на бензин ударило бы потребителей по больному месту — по карману, и сам по себе подобный план был бы политически неосуществим. Поэтому было предложено возвратить потребителям доходы, собранные с них посредством данного налога, либо в форме прямых денежных выплат, либо посредством сокращения какого-то другого налога.

Совершенные субституты . Разложение по Слуцкому для случая совершенных субститутов.

Возражение, выдвинутое противниками данного предложения, сводилось к тому, что обратная выплата потребителям дохода, собранного посредством налога, не окажет воздействия на спрос, поскольку потребители могут просто использовать возвращенные им деньги для покупки дополнительного количества бензина. Что можно сказать по поводу этого плана с позиций экономического анализа?

Предположим для простоты, что в конце концов налог на бензин будет полностью переложен на потребителей бензина, так что цена бензина возрастет в точности на сумму указанного налога. (Вообще говоря, лишь часть налога будет переложена, но этот усложняющий рассуждения момент мы здесь проигнорируем). Допустим, что вследствие налога цена бензина повысится с p до p’ = p + t и что средний потребитель отреагирует на это уменьшением спроса на бензин с x до x’. Средний потребитель платит за бензин на t долларов больше и после введения налога потребляет x’ галлонов бензина, так что сумма дохода, собранная посредством данного налога со среднего потребителя, составит

Обратите внимание на то, что доход, собранный посредством данного налога, будет зависеть от того, сколько бензина потребитель потребит в конечном счете x’, а не от того, сколько бензина он потреблял первоначально x.

Квазилинейные предпочтения . В случае квазилинейных предпочтений общее изменение спроса вызвано только эффектом замещения.

Если обозначить через y расходы на все другие товары и установить цену y, равную 1, то исходное бюджетное ограничение будет иметь вид

а бюджетное ограничение при введении плана возврата налога — вид

В бюджетном ограничении (8.5) средний потребитель выбирает переменные в левой части равенства — потребление каждого товара, величины же, стоящие в правой части равенства, — доход потребителя и сумма возврата налога правительством — принимаются постоянными. Сумма возврата зависит от действий всех потребителей, а не от того, что делает средний потребитель. В этом случае данная сумма оказывается суммой налогов, собранных со среднего потребителя, но это происходит потому, что он средний, а не вследствие какой-либо причинной связи. Взаимно уничтожив tx’ в обеих частях уравнения (8.5), получим

Таким образом (x’, y’) — набор, который был доступен при исходном бюджетном ограничении и отвергнут в пользу набора (x, y). Следовательно, набор (x, y) должен предпочитаться набору (x’, y’): данный план ведет к понижению благосостояния потребителей. Возможно, поэтому план этот так и не был приведен в исполнение!

Равновесие для случая с возвратом налога изображено на рис.8.7. Налог удорожает товар 1, а возврат налога увеличивает денежный доход. Исходный набор становится недоступным, и благосостояние потребителя явно снижается. Выбор потребителя при осуществлении плана возврата налога включает потребление меньшего количества бензина и большего количества «всех других товаров».

Возврат налога . Обложение потребителя налогом с последующим возвратом ему суммы налоговых поступлений понижает благосостояние потребителя.

Что можно сказать о величине потребления бензина? Средний потребитель мог бы позволить себе потреблять бензин в прежнем количестве, но из-за введения налога бензин теперь подорожал. Вообще говоря, потребитель предпочел бы потреблять его меньше.

8.8. Другой эффект замещения

Эффектом замещения экономисты именуют изменение спроса, происходящее при изменении цены, но при сохранении постоянной покупательной способности потребителя, так что исходный потребительский набор остается ему доступен. По крайней мере это одно из имеющихся определений эффекта замещения. Существует и другое определение, которое также весьма полезно.

Определение, рассмотренное выше, называют эффектом замещения по Слуцкому. Определение же, которое мы рассмотрим в настоящем параграфе, называют эффектом замещения по Хиксу.

Предположим, что вместо поворота бюджетной линии вокруг исходного потребительского набора мы теперь, как показано на рис. 8.8, катим бюджетную линию по кривой безразличия, проходящей через исходный потребительский набор. Таким образом, потребитель получает новую бюджетную линию, которая соответствует тем же относительным ценам, что и конечная бюджетная линия, но иному доходу. Покупательной способности, которой обладает потребитель при данной бюджетной линии, уже недостаточно для покупки его исходного товарного набора, но достаточно для покупки набора, безразличного его исходному набору.

Эффект замещения по Хиксу . В данном случае мы поворачиваем бюджетную линию вокруг кривой безразличия, а не вокруг точки исходного выбора.

Таким образом, понятие эффекта замещения по Хиксу предполагает сохранение не прежней покупательной способности, а прежней полезности. В результате эффекта замещения по Слуцкому потребитель получает как раз столько денег, чтобы вернуться к старому уровню потребления, а в результате эффекта замещения по Хиксу потребитель получает как раз столько денег, чтобы вернуться на старую кривую безразличия. Несмотря на это различие в определениях, оказывается, что эффект замещения по Хиксу точно так же, как и эффект замещения по Слуцкому, должен быть отрицательным в смысле действия в направлении, противоположном изменению цены.

Доказательство этого вновь дается с позиций выявленных предпочтений. Пусть (x₁, x₂ ) — набор спроса при некоторых ценах (p₁, p₂ ), а (y₁, y₂) — набор спроса при некоторых других ценах (q₁, q₂ ). Допустим, что при данном доходе потребителю безразлично, какой из двух наборов покупать. Поскольку потребитель не делает различия между (x₁, x₂ ) и (y₁, y₂ ), ни один из указанных наборов не может выявлено предпочитаться другому.

Если применить определение выявленных предпочтений, это означает, что неверны два следующих неравенства:

.

Отсюда вытекает, что верны следующие неравенства:

.

Сложив эти неравенства и проведя преобразования, получаем

Это общее утверждение о том, как меняются величины спроса с изменением цен, если доход потребителя корректируется при этом таким образом, чтобы удержать данного потребителя на той же самой кривой безразличия. В конкретном интересующем нас случае мы изменяем только первую цену. Поэтому q₂ = p₂ , и у нас остается

Это неравенство говорит о том, что знак изменения величины спроса должен быть обратным знаку изменения цены, что и требовалось показать.

Общее изменение спроса по-прежнему равно сумме эффекта замещения и эффекта дохода, но только теперь речь идет об эффекте замещения по Хиксу. Поскольку эффект замещения по Хиксу тоже отрицателен, уравнение Слуцкого принимает в точности тот же вид, что и раньше, и имеет ту же самую интерпретацию. И определение эффекта замещения по Слуцкому, и определение эффекта замещения по Хиксу имеют свое место в экономической теории, и то, какое из двух определений полезнее, зависит от конкретно рассматриваемой проблемы. Можно показать, что для малых изменений цены оба эффекта замещения буквально идентичны.

8.9 Кривые компенсированного спроса

Мы рассмотрели, как количество спроса изменяется с изменением цены в трех различных ситуациях: при сохранении неизменного дохода (стандартный случай), при сохранении неизменной покупательной способности (эффект замещения по Слуцкому) и при сохранении неизменной полезности (эффект замещения по Хиксу). Можно вывести взаимосвязь между ценой и количеством спроса, зафиксировав значение любой из указанных трех переменных. В результате получим три разные кривые спроса: стандартную кривую спроса, кривую спроса Слуцкого и кривую спроса Хикса.

Проведенный в настоящей главе анализ показывает, что кривые спроса Слуцкого и Хикса всегда имеют отрицательный наклон. Более того, обычная кривая спроса также имеет отрицательный наклон для нормальных товаров. Однако анализ товара Гиффена показывает, что теоретически возможна ситуация, в которой обычная кривая спроса для товара низшей категории имеет положительный наклон.

Кривую спроса Хикса (подразумевающую постоянную полезность) иногда называют кривой компенсированного спроса. Этот термин возникает вполне естественным образом, если подумать о том, что хиксианская кривая спроса строится путем корректировки дохода по мере изменения цены, чтобы сохранить постоянной полезность, получаемую потребителем. Следовательно, потребителю «компенсируют» изменения цены, и его полезность в каждой точке хиксианской кривой спроса является одной и той же. Данная ситуация противоположна той, которая характерна для обычной кривой спроса. В случае последней благосостояние потребителя при более высоких ценах ниже, чем при более низких, поскольку его доход постоянен.

Кривая компенсированного спроса оказывается очень полезной при изучении продвинутых курсов экономической теории, особенно при анализе типа «затраты — выгоды». При анализе такого рода естественно ставить вопрос о размерах выплат, необходимых для компенсации потребителю последствий некоторых изменений в экономической политике. Величина таких выплат дает полезную оценку издержек, связанных с изменениями экономической политики. Однако фактический расчет кривых компенсированного спроса требует более сложного математического инструментария, чем используемый в настоящем учебнике.

1. Снижение цены товара оказывает двоякое воздействие на потребление. Изменение относительных цен побуждает потребителя стремиться потреблять больше более дешевого товара. Рост покупательной способ-ности вследствие снижения цены может увеличивать или уменьшать потребление в зависимости от того, является ли данный товар нормаль-ным товаром или же товаром низшей категории.

2. Изменение спроса, вызванное изменением относительных цен, называют эффектом замещения; изменение спроса, вызванное изменением поку-пательной способности, называют эффектом дохода.

3. Эффект замещения показывает, как меняется спрос, когда цены изме-няются, а покупательная способность постоянна в том смысле, что исходный набор остается доступным для потребителя. Чтобы сохранить без изменений реальную покупательную способность, приходится изме-нять денежный доход. Необходимое изменение денежного дохода задается выражением .

4. Уравнение Слуцкого гласит, что общее изменение спроса есть сумма эффекта замещения и эффекта дохода.

5. Закон спроса гласит, что кривые спроса для нормальных товаров должны иметь отрицательный наклон.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Допустим, что предпочтения являются вогнутыми. Будет ли тогда по-прежнему эффект замещения отрицательным?

2. Что произошло бы в случае введения налога на бензин, если бы возврат налога потребителям основывался не на конечном потреблении ими бензина x’, а на исходном x?

3. В случае, описанном в предыдущем вопросе, какую сумму стало бы выплачивать правительство потребителям — б ó льшую, чем получаемая им в виде налоговых поступлений, или меньшую?

4. Повысилось или понизилось бы в рассматриваемом случае благосостояние потребителей, если бы налог с последующим возвратом, основанным на исходном потреблении, был действительно введен?

Выведем уравнение Слуцкого, используя дифференциальное исчисление. Рассмотрим данное Слуцким определение эффекта замещения, предполагающее такую корректировку дохода, которая как раз позволяет потребителю купить исходный потребительский набор, обозначаемый нами теперь через ( ). Если цены равны (p₁, p₂ ), то фактический выбор потребителя при такой корректировке дохода будет зависеть от (p₁, p₂ ) и от ( ). Назовем эту взаимосвязь функцией спроса Слуцкого на товар 1 и запишем в виде (p₁, p₂,) .

Пусть первоначальный набор спроса есть ( ) по ценам ( ), а доход есть . Функция спроса Слуцкого показывает величину спроса потребителя при каких-то других ценах (p₁, p₂ ) и доходе, равном . Следовательно, функция спроса Слуцкого при (p₁, p₂,) есть не что иное, как обычная функция спроса при ценах (p₁, p₂ ) и доходе . То есть

(p₁, p₂,) * x₁(p₁, p₂,) .

Данное уравнение означает, что спрос по Слуцкому при ценах (p₁, p₂ ) есть то количество товара, на которое потребитель предъявил бы спрос, если бы у него имелся доход, достаточный для покупки исходного товарного набора ( ). Это и есть не что иное, как определение функции спроса Слуцкого.

Взяв производную указанного тождества по p₁ , получаем

=+ .

После преобразований получаем

=—.

Обратите внимание на то, что при данном исчислении мы применили цепное правило взятия производной.

Это уравнение Слуцкого в дифференциальной форме. Из него следует, что общий эффект изменения цены слагается из эффекта замещения (предполагающего корректировку дохода с целью сохранения доступности набора ( ) и эффекта дохода. Из текста данной главы мы знаем, что эффект замещения отрицателен и знак эффекта дохода зависит от того, является данный товар товаром низшей категории или нет. Как нетрудно увидеть, данная запись есть просто форма уравнения Слуцкого, рассмотренная в тексте, за исключением того, что мы заменили D знаками производной.

А что можно сказать в отношении эффекта замещения по Хиксу? Для него также можно составить уравнение Слуцкого. Пусть есть хиксианская функция спроса, показывающая величину спроса потребителя на товар 1 при ценах (p₁, p₂ ) и такой корректировке дохода, которая позволяет сохранить постоянный уровень полезности, равный исходному уровню . Оказывается, в данном случае уравнение Слуцкого принимает вид

=—.

Доказательство справедливости этого уравнения основано на том факте, что для бесконечно малых изменений цены

=.

Так, для изменений цены, учитываемых с помощью производных, эффекты замещения по Слуцкому и по Хиксу одинаковы. Доказательство этого положения не составляет слишком уж большого труда, но оно предполагает использование понятий, выходящих за рамки настоящей книги. Сравнительно простое доказательство приведено в книге Hal R.Varian, Microeconomic Analysis, 3rd ed. (New York: Norton, 1992).

ПРИМЕР. Возврат малого налога

Можно применить уравнение Слуцкого в дифференциальной форме для того, чтобы посмотреть, какова была бы реакция потребительского выбора на малые изменения налога в случае возврата сумм налоговых поступлений потребителям.

Как и раньше, предположим, что введение налога вызывает рост цены на величину, равную полной сумме налога. Пусть x — количество бензина, p — его исходная цена и t — сумма налога. Тогда изменение потребления будет задано выражением

.

Первый член в правой части этого выражения есть произведение изменения спроса, вызванного изменением цены, на величину изменения цены — что дает нам воздействие налога на цену. Второй член — произведение изменения спроса при изменении дохода на величину изменения дохода — доход возрастает на сумму налоговых поступлений, возвращаемую потребителю.

Теперь применим уравнение Слуцкого, выразив с его помощью первый член в правой части указанного выражения через эффекты замещения и дохода, вызванные самим изменением цены:

.

Эффекты дохода взаимно уничтожаются, и остается лишь эффект замещения в чистом виде. Введение малого налога с последующим возвратом налоговых поступлений оказывает на спрос такое же воздействие, как и введение изменения цены с соответствующей корректировкой дохода, позволяющей сохранить доступность старого потребительского набора — до тех пор, пока налог настолько мал, что справедливыми остаются взаимосвязи, выведенные для бесконечно малых приращений.

Курсовая работа: Эффект замены и эффект дохода по Хиксу и по Слуцкому. Уравнение Слуцкого

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ОБЩЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

На тему: «Эффект замены и эффект дохода по Хиксу и по Слуцкому. Уравнение Слуцкого.»

Гр. 2.2 Аминева Наиля

Научный руководитель: к.э.н., доцент Гималетдинова Э.Р.

Глава 1.Эффект замены и эффект дохода по Хиксу…………..5

1.1 Компенсированная кривая спроса по Хиксу………8

1.2 Эффект замены и эффект дохода для товаров Гиффена (по Хиксу).……………….……………………………..10

Глава 2. Эффект замены и эффект дохода по Слуцкому…….12

2.1 Компенсированная кривая спроса по Слуцкому……13

2.2 Различия в подходах Слуцкого и Хикса……………..14

2.4 Уравнение Слуцкого в коэффициентах эластичности………………………………………………………18

Глава 3. Действие эффекта замены и эффекта дохода (на примере влияния налога на бензин в США).……………………………19

Список использованной литературы.…………………………..23

Любому человеку хорошо известна ситуация изменения цены на какой-либо товар. Это происходит постоянно, по различным причинам. Изменение цены на товары прежде всего затрагивает благосостояние потребителя: когда цена на товар, который мы приобретаем повышается — благосостояние потребителя снижается, и наоборот. В своей курсовой работе я рассмотрела то, как поведёт себя рациональный потребитель[1] , в создавшейся ситуации (после снижения или повышения цены на товар). К примеру потратит ли он все высвободившиеся средства после снижения цены (возникает эффект дохода) на приобретение этого же товара или поведёт себя уже по-другому, т.е. возникнет эффект замены.

Теория эффекта дохода и эффекта замены актуальны сейчас как никогда. Ведь недавняя реформа по монетизации льгот, проведённая в России, есть не что иное как практическое применение теории эффекта дохода и эффекта замены. В третьей главе своей курсовой я обращаюсь к этой проблеме на примере США, где в начале 90ых годов была притворена в жизнь программа возврата налогов, причём достаточно успешно, главная цель — снижение потребления бензина была достигнута, а значит программу можно считать удавшейся. Здесь просматривается чёткая аналогия с реформой о монетизации льгот, используется тот же принцип — принцип возврата или компенсации.

Моя курсовая построена таким образом, что первые две главы дают полное теоретическое представление об эффекте замены и эффекте дохода с точек зрения двух учёных: Дж. Хикса и Е. Слуцкого. Третья глава полностью посвящена практическому применению теорий.

Целью моей курсовой является детальное рассмотрение эффекта замены и эффекта дохода, алгебраического вывода уравнения Слуцкого, и соотношение теории по этим вопросам с практикой, т.е. реальной жизнью, реальной политикой государства.

Сначала выясним что представляет собой эффект дохода и эффект замещения.

Снижение или рост цены какого-либо товара влияет на объем спроса через эффект замены и эффект дохода. «Эффект дохода возникает, поскольку изменение цены данного товара увеличивает (при снижении цены) или уменьшает (при повышении цены) реальный доход, или покупательную способность, потребителя. Эффект замены возникает в результате относительного изменения цен.»[2] Эффект замены вызывает рост потребления относительно подешевевшего товара, тогда как эффект дохода может стимулировать и увеличение, и сокращение потребления товара или быть нейтральным. Чтобы определить эффект замены, нужно выделить влияние эффекта дохода. Или, наоборот, чтобы определить эффект дохода, нужно выделить эффект замены.

Существуют два подхода к определению реального дохода, связанные с именами английского экономиста Дж. Хикса и русского математика и экономиста Е.Слуцкого.

1. Согласно Хиксу , разные уровни денежного дохода, обеспечивающие один и тот же уровень удовлетворения , т.е. позволяющие достигнуть одной и той же кривой безразличия, представляют одинаковый уровень реального дохода .

2. Согласно Слуцкому , лишь тот уровень денежного дохода, который достаточен для приобретения одного и того же набора или комбинации товаров, обеспечивает и неизменный уровень реального дохода .

Теория Хикса в большей мере соответствует основным положениям порядковой теории полезности, «тогда как подход Слуцкого имеет то преимущество, что позволяет дать количественное решение задачи на основе статистических материалов.»[3] Сначала мы рассмотрим версию, предложенную Хиксом, как более общую. Затем покажем особенности решения, предложенного Слуцким.

Глава 1. Эффект замены и эффект дохода по Хиксу

Общий эффект изменения цены распадается на эффект дохода и эффект замены по Хиксу так, как показано на рис. 1.

Первоначальная бюджетная линия KL соответствует денежному доходу I и ценам Рx и Рy. Ее касание с кривой безразличия U₁ U₁ определяет оптимум потребителя E₁ , которому соответствует объем потребления товара X в количестве Х₁ . В случае снижения цены X до Рxt и неизменном денежном доходе I бюджетная прямая займет положение KL₁ . Она касается более высокой кривой безразличия U₂ U₂ в точке E₂ , которой соответствует потребление товара X в объеме Х₂ . Таким образом, общий результат снижения цены товара X выражается в увеличении его потребления с Х₁ до Х₂ .

Попробуем теперь определить, каким должен был бы быть денежный доход потребителя, чтобы при изменившемся соотношении цен обеспечить ему прежний уровень удовлетворения. Для этого проведем вспомогательную бюджетную прямую К’L’, параллельную линии KL₁ (т.е. отражающую новое соотношение цен), так, чтобы она касалась кривой безразличия U₁ U₁ (т.е. обеспечивала бы прежний уровень удовлетворения). Отметим точку касания E₃ и соответствующий объем потребления товара Х3.

Следует заметить, что при переходе от первоначального к дополнительному (расчетному) оптимуму (от E1 к E3) реальный доход потребителя не меняется, он остается на прежней кривой безразличия U₁ U₁ . Значит, сдвиг от E1 к E3 и характеризует эффект замены товара Y относительно подешевевшим товаром X. Он равен разности Х3 — Х1. Следовательно, эффект дохода составит Х2 — Х3. Заметим также, что в результате действия эффекта дохода потребление обоих товаров в точке E2 выше, чем в точке E3.

Таким же образом мы можем разложить общий эффект в случае, когда цена товара X повышается (рис. 2). Здесь результатом повышения цены является перемещение оптимального положения потребителя на более низкую кривую безразличия U₁ U₁ . Общий эффект повышения цены товара X сводится к снижению его потребления с Х1 до Х2. При этом эффект замены составит Х1 — Х3, эффект дохода Х3 — Х2. Заметим, что в обоих случаях эффект замены характеризуется движением вдоль одной и той же кривой безразличия, а эффект дохода переходом с одной кривой на другую.

«Эффект замены всегда отрицательный. Снижение цены одного товара побуждает потребителя увеличивать его потребление, сокращая потребление другого товара (или группы товаров). Повышение цены побуждает его к замещению этого товара другими, относительно подешевевшими.»[4] Эффект дохода может быть:

–– отрицателен, как показано на рис. 1 и 2 для нормальных товаров,

–– положителен (в случае некачественного товара, когда кривая доход-потребление имеет отрицательный наклон) или

–– нейтрален (если кривая доход-потребление вертикальна).

В рассмотренных примерах эффект дохода усиливает действие эффекта замены, увеличивая потребление товара X при снижении его цены и сокращая потребление при повышении цены. Для некачественных товаров эффект дохода положителен, чем выше реальный доход, или покупательная способность, потребителя, тем в меньшей мере он будет склонен к приобретению такого товара. Однако для большинства некачественных товаров отрицательный эффект замены перекрывает положительный эффект дохода, так что общий результат изменения цены будет все же отрицательным. Так, на рис. 3 (на нем показаны лишь бюджетные линии KL и KL₁ и вспомогательная линия K’L’, точки их касания с опущенными на рисунке кривыми безразличия обозначены соответственно E1, E3) общий результат повышения цены товара X – (Х1 — Х2) разлагается на эффект замены Х1 — Х3 и эффект дохода Х3 — Х2, при этом (Х1 — Х3) > (Х3 — Х2). Поэтому, как правило, кривые спроса на такие товары имеют обычно отрицательный наклон, как и в случае нормальных товаров. Лишь если положительный эффект дохода перекрывает отрицательный эффект замены, закон спроса нарушается его объем изменяется в том же направлении, что и цена. Особый случай — товар Гиффена.

1.1 Компенсированная кривая спроса по Хиксу.

Существует 3 типа кривых спроса. Кривая первого типа (обыкновенная, или кривая спроса Маршалла), может быть построена на основе кривой цена-потребление, полученной в результате вращения бюджетной прямой вокруг точки К. Такая обыкновенная кривая спроса отражает совместное влияние на объем спроса и эффекта замены, и эффекта дохода.

Напротив, скомпенсированная кривая спроса отражает влияние на объем спроса лишь эффекта замены . Она может быть построена, исходя из предпосылки о том, что при повышении цены какого-либо товара или группы товаров реальный доход потребителей остается неизменным; это может быть достигнуто путем компенсации роста цен либо прямым увеличением номинальных доходов, либо увеличением располагаемого дохода за счет сокращения налогов, либо какими-то другими способами.

Чтобы построить скомпенсированную кривую спроса, нам необходимо элиминировать (выделить) влияние на спрос эффекта дохода. Обратимся к рис. 4. Верхняя его часть повторяет рис. 2, где рассматривалось разложение общего результата повышения цены нормального товара X на эффект замены и эффект дохода. Но бюджетная прямая К’L’ является здесь уже не вспомогательной (как на рис. 2), а действительной бюджетной прямой, поскольку потери потребителя из-за повышения цены X полностью компенсированы ему увеличением располагаемого дохода в сумме (I’ — I). Значит, в результате компенсированного повышения цены товара X потребитель переместится из точки E1 в точку E3, а не в точку E1, как это было в случае, представленном на рис. 2. В итоге его кривая цена-потребление после повышения цены X примет положение E»E» вместо ЕЕ, как это было бы в случае некомпенсированного роста цены.

В нижней части рис. 4 показано взаимное расположение обыкновенной (D0D0) и скомпенсированной (DkDk) кривых спроса для нормального товара (при определении эффекта дохода по Хиксу). Они построены на основе линий цена-потребление ЕЕ и Е’Е’. Как видим, при цене Рxi и отсутствии компенсаций спрос составил бы Х3, тогда как при скомпенсированном повышении цены — Х2.

Заметим, что при ценах выше первоначального уровня Рx линия DkDk лежит выше D0D0, а при ценах ниже Рx — ниже. Для некачественных товаров взаимное расположение кривых спроса окажется противоположным, поскольку для таких товаров кривая цена-потребление имеет отрицательный наклон (рис. 5).

1.2. Эффект замены и эффект дохода для товара Гиффена (по Хиксу).

«Теоретически для некоторых товаров эффект дохода может быть достаточно большим, чтобы вызвать рост спроса на товар. Такой товар мы называем това­ром Гиффена. На рис. 6 показаны величины эффектов дохода и замещения для такого товара.»[5] Первоначально потребитель находится в точке А, покупая относительно немного одежды и много продовольствия. Затем цена продук­тов питания снижается. Ее снижение высвобождает достаточную часть дохо­да, так что потребитель хочет приобрести больше одежды и меньше питания, что и отражает точка В. Вероятно, более прилично одетый индивидуум полу­чит больше приглашений на обед и сократит необходимость приготовления пищи дома.

Хотя товар Гиффена теоретически интересен, практически он встречается редко. Это товар с большой отрицательной величиной эффекта дохода. Но обычно эффект дохода невелик — на большинство отдельных товаров тратится лишь небольшая часть всего бюджета потребителя. Большие же эффекты дохода чаще бывают у нормальных, а не у неполноценных товаров (таких, как жильё, питание, перевозки и т.п. )

РИС. 6, Возрастающая кривая спроса — товар Гиффена. Если продукт второстепен­ный, а эффект дохода достаточно велик и превышает эффект замещения, то кривая спроса может сместиться влево. Первоначально потребитель выбирает точку А. После падения цены на продукты питания он переходите точку B и потребляет меньше провизии. Эффект дохода F₂ F₁ по величине больше эффекта замещения EF₂ , так что убывание цены продуктов питания Приводит к уменьшению спроса на них.

«В действительности потребление большинства товаров требует лишь небольшой части средств потребителя и эффект дохода обычно невелик. Даже если он отрицателен, его размеры недостаточны для того, чтобы перекрыть влияние эффекта замены.»[6] Поэтому появление товаров Гиффена маловероятно.

Глава 2. ЭФФЕКТ ЗАМЕНЫ И ЭФФЕКТ ДОХОДА ПО СЛУЦКОМУ

Подход Слуцкого к разложению общего результата изменения цены на эффект дохода и эффект замены отличается от подхода Хикса трактовкой реального дохода. Элиминирование эффекта дохода достигается определением такого его уровня, который обеспечил бы потребителю возможность приобрести после изменения цен тот же самый набор товаров, что и до изменения, а не сохранить прежний уровень удовлетворения, как это предполагается в модели Хикса.

Поэтому на рис. 7 вспомогательная бюджетная прямая K’L’, параллельная KL₁ , проводится не как касательная к прежней кривой безразличия U₂ U₂ , а строго через точку E1, соответствующую оптимальному набору товаров X и Y при прежнем соотношении цен. Очевидно, она окажется касательной к более высокой, чем U₂ U₂ кривой безразличия U3U3, что означает и возможность достигнуть (в случае полной компенсации потребителю падения его покупательной способности) более высокого уровня удовлетворения, чем при использовании модели Хикса. Таким образом, общий результат повышения цены товара X: (Х1 — Х2) разлагается на эффект замены (Х1 — Х3) и эффект дохода (Х3 — Х2). Заметим, что движение от E1 к E2 происходит не вдоль кривой безразличия, как на рис. 1 и 2, а вдоль вспомогательной бюджетной прямой K’L’

«Проанализировав два подхода, мы видим, что метод Хикса предполагает знание потребительских предпочтений, кривых безразличия, тогда как метод Слуцкого не требует этого, он базируется на наблюдаемых и регистрируемых фактах поведения потребителя на рынке.»[7]

2.1 Компенсированная кривая спроса по Слуцкому.

Эффект дохода, который должен быть элиминирован при компенсированном повышении цен, может быть определен не только методом Хикса как в Главе 1, но и методом Слуцкого. Следовательно, очищенная от влияния эффекта дохода компенсированная кривая спроса может быть двух типов — кривая спроса по Хиксу, которую мы только что рассмотрели, и кривая спроса по Слуцкому.

Для её построения можно использовать рис. 7. Отметим прежде всего, что две бюджетные линии KL и K’L’ можно рассматривать как полученные вращением одной из них вокруг точки E1. Подобных прямых, проходящих через E1, может быть сколь угодно много. И каждая из них будет удовлетворять требованию РxX + РyY = 1. При фиксированном значении I вращение бюджетной прямой вокруг E1 можно интерпретировать как сохранение неизменной покупательной способности денег. Точки касания всех таких, проходящих через E1, бюджетных прямых со всеми возможными кривыми безразличия позволят построить кривую цена-потребление, элиминирующую эффект дохода по Слуцкому, а на ее основе и соответствующую скомпенсированную кривую спроса на товар X с постоянным (по Слуцкому) реальным доходом.

Взаимное расположение кривых безразличия трех типов (обыкновенной, скомпенсированной по Хиксу и скомпенсированной по Слуцкому) для нормальных и некачественных товаров показано на рис. 8.

2.2 Различия в подходах Слуцкого и Хикса.

Рассмотрим различия в подходах Хикса и Слуцкого, совместив их на одном рисунке (рис. 9).

Здесь KL — бюджетная прямая при номинальном доходе I и ценах Рx и Рy, ее уравнение XРx+ YРy=I;

KL₁ — бюджетная прямая при том же номинальном доходе I и ценах Рx + dРx и Рy (причем dРx 2 . (Вспомним, что, когда цена меняется, а доход остается фиксированным, бюджетная ли­ния вращается вокруг точки начала координат.) При коэффициенте эластичности -0,5 потребление снизится на 25% — с 1200 до 900 галлонов, а выбор потребителя перемес­тится в максимизирующую полезность точку Е на кривом безразличия U1 (потому что при каждом 1% рост цены бензина спрос снижается на 0,5%).

«Предлагаемая программа, однако, частично нейтрализует этот эффект. Предположим, что налоговые поступления на человека равны примерно 450 долл. (900 галлонов х 50 цен­тов за галлон) и потребитель получает свои 450 долл. обратно. Как рост дохода повлияет на потребление бензина?»[13] Воздействие может быть показано на графике смещением бюджетной линии вверх на 450 долл. в позицию линии FJ, параллельной AD. Сколько бензина купит теперь наш потребитель? Эластичность спроса по доходу равна приблизительно 0,3. Так как 450 долл. представляют 5%-й рост дохо­да (450 долл. / 9000 долл. = 0,05). ожидаемый эффект от реализации предлагаемой

РИС. 10. Воздействие налога с возвратом. Налоги на бензин были введены, когда потре­битель, первоначально покупая 1200 галлонов бензина, выбирал точку C. После введения налога бюджетная линия переместилась из положения АВ в положение АО и максимизирующим полезность набором стал Е с потреблением бензина 900 галлонов. После введения программы возврата налогов потребление возросло примерно до 913.5 галлона и перешло и точку Н. Несмотря на введение этой программы, потребление бензина упало и соответственно снизился уровень удовлетворения потребностей.

программы приведет к росту потребления на 1,5% (0,3 х 5%) от 900 галлонов, или на 13,5 галлона. Новый максимизирующий полезность выбор соответствует точке H. Не­смотря на программу, предусматривающую возврат налоговых поступлений, введение налога снизит потребление бензина на 286.5 галлона — с 1200 до 913,3 галлона. Так как эластичность спроса на бензин по доходу относительно низка, в результате возврата на­логовых поступлений эффект замещения будет превосходить эффект дохода и програм­ма приведет к сокращению потребления в целом.

Рисунок 10 показывает также, что программа установления налога на бензин с последующим возвратом налоговых поступлений несколько ухудшает положение сред­него потребителя с невысоким уровнем благосостояния, так как H лежит ниже кривой безразличия U₂ . Зачем же вводить такую программу? Те, кто выступал за налоги на бензин считали, что таким образом США станут менее зависимыми от ОПЕК.

В заключении я подведу некоторые итоги проделанной мною работы по изучению одной из важнейших тем в разделе потребительского выбора.

Во-первых, при изменение цены на товар, на объём спроса будет влиять эффект дохода и эффект замены. Эффект дохода возникает, поскольку изменение цены данного товара увеличивает (при снижении цены) или уменьшает (при повышении цены) реальный доход, или покупательную способность, потребителя. Эффект замены возникает в результате относительного изменения цен. Благодаря эффекту замены возрастает объём потребления относительно подешевевшего товара Эффект дохода может и увеличивать, и сокращать потребление товара или быть нейтральным.

Во-вторых, существуют два различных подхода к этой проблеме, отличающиеся трактовкой реального дохода: подход Евгения Слуцкого и подход Дж. Хикса.

В-третьих, на основе теорий Хикса и Слуцкого могут быть построены скомпенсированные кривые спроса, которые отразят влияние эффекта замены на объём спроса на товар. Причём кривые спроса на товар будут иметь различный вид в зависимости от того с каким товаром мы имеем дело(качественный, некачественный, товар Гиффена).

В-четвёртых, Евгением Слуцким было выведено уравнение, которое разлагает общий эффект от изменения цены на эффект замены и эффект дохода. Это уравнение можно также записать в иной форме, в коэффициентах эластичности.

И наконец теория эффекта замены и эффекта дохода достаточно широко применяется на практике, принимая различные формы.

Список использованной литературы:

1. В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов. Микроэкономика: Учебник СПб.: «Экономическая школа». 1997. Том 1. 503с

2. Пиндайк Роберт С., Рубенфельд Дэниэл Л. Микроэкономика: Пер с англ.-М.: Дело,2000-808с

3. Емцов Р.Г., Лукин М.Ю. Микроэкономика: Учебник. 2-е издание- М.:МГУ им. М.В. Ломоносова. Издательство «Дело и сервис»,1999.

4. Курс экономической теории: Учебное пособие / Под ред. д.э.н. проф. А.В. Сидоровича, 2-е издание- М.:МГУ им. М.В. Ломоносова. Издательство «Дело и сервис»,2001.-832с

5. Экономика: учебник, 3-е издание / Под ред. д.э.н. проф. А.С. Булатова.- М.: Юристъ,2002.-896с

6. Микроэкономика / Под ред. Яковлевой Е.Б.- М.-СПб: «Поиск»,1998-358с

7. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход: учебник для ВУЗов/ Пер с англ, под ред. Н.А.Фроловой. М.: Юнити, 1997. 767с.

8. Алешина И.В. Поведение потребителей: учебное пособие для ВУЗов.- М.: Фаир-Пресс,2000.-384с.

9. Макконнелл К.Р., Брю С.Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика. В 2 т.: Пер. с англ. Т. 1.–М, 1996.

10. Курс экономической теории: Учеб. Под ред. М.Н. Чепурина.–Киров, 1997.

11. Основы экономической теории и практики рыночных реформ в России: Учеб. пособие. Под ред. М.М. Загорулько.–М.: 1997.

12. http://economicus.ru, электронные каталоги, галерея экономистов.

13. http://ek-lit.agava.ru/books.htm «Библиотека экономической и деловой литературы, читальня»

[1] То есть потребитель, максимизирующий полезность.

[2] В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов. Микроэкономика: Учебник СПб.: «Экономическая школа». 1997. Том 1. С128

[3] Курс экономической теории: Учебное пособие / Под ред. д.э.н. проф. А.В. Сидоровича, 2-е издание- М.:МГУ им. М.В. Ломоносова. Издательство «Дело и сервис»,2001.-113с

[4] В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов. Микроэкономика: Учебник СПб.: «Экономическая школа».1997. Том 1. С 130

[5] Пиндайк Роберт С., Рубенфельд Дэниэл Л. Микроэкономика: Пер с англ.-М.: Дело,2000-163с

[6] Пиндайк Роберт С., Рубенфельд Дэниэл Л. Микроэкономика: Пер с англ.-М.: Дело,2000- 164с.

[7] В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов. Микроэкономика: Учебник СПб.: «Экономическая школа». 1997. Том 1. с132

[8] В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов. Микроэкономика: Учебник СПб.: «Экономическая школа». 1997. Том 1. С 134

[9] В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов. Микроэкономика: Учебник СПб.: «Экономическая кола». 1997. Том 1. С 133

[10] Более подробно это рассмотрено на стр. 6

[11] Пиндайк Роберт С., Рубенфельд Дэниэл Л. Микроэкономика: Пер с англ.-М.: Дело,2000-171с

[12] Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход: учебник для ВУЗов/ Пер с англ, под ред. Н.А.Фроловой. М.: Юнити, 1997. 167с.

[13] Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход: учебник для ВУЗов/ Пер с англ, под ред. Н.А.Фроловой. М.: Юнити, 1997. 170-179с.