Уравнение собственных значений матрицы имеет вид

Основные понятия о собственных значениях матриц

Большое число научно-технических задач, а также некоторые исследования в области вычислительной математики требуют нахождения собственных значений и собственных векторов матриц. Введем некоторые определения, необходимые для изложения материала данного раздела.

Рассмотрим, квадратную матрицу n-го порядка

(3.1)

Вектор x = <x1, x2,…,xn> называется собственным векторомматрицы А, соответствующим собственному значениюλ, если он удовлетворяет системе уравнений

Поскольку при умножении собственного вектора на скаляр он остается собственным вектором той же матрицы, его можно нормировать. В частности, каждую координату собственного вектора можно разделить на максимальную из них или на длину вектора; в последнем случае получится единичный собственный вектор.

Характеристической матрицейСданной матрицы Аназывается матрица вида

(3.3)

где Е — единичная матрица. Легко видеть, что систему (3.2) можно записать в виде

Если перейти к координатной форме записи вектора х, то с учетом (3.1) систему (3.4) можно записать в виде

(3.5)

Система (3.4) или (3.5) является однородной системой п линейных уравнений с п неизвестными. Она имеет ненулевые решения лишь тогда, когда ее определитель равен нулю: det C=0, причем решение не единственно.

Определитель характеристическойматрицы С является характеристический многочлен n-й степени относительно λ:

(3.6)

Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.

Для нахождения собственных векторов матрицы требуется решить систему линейных алгебраических уравнений, решение которой не единственно. Из линейной алгебры известно, что в этом случае структура общего решения системы имеет следующий вид: одно или несколько неизвестных, называемых свободными, могут принимать любые значения, а остальные неизвестные выражаются через свободные. Число свободных неизвестных равно числу уравнений системы, являющихся следствием остальных уравнений. На практике, если свободное неизвестное одно (что часто и бывает), его полагают равным некоторому числу, например единице. После этого остальные неизвестные (компоненты вектора) находят однозначно из подсистемы линейно независимых уравнений, в которой отброшено уравнение, являющееся следствием остальных. Эта процедура не влияет на результат решения задачи, поскольку, как уже отмечалось, собственные векторы находят с точностью до постоянного множителя.

Пример. Вычислить собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Составим характеристический многочлен

Найдем корни этого многочлена второй степени:

Чтобы найти собственные векторы x1, х2, соответствующие собственным значениям λ1, λ2, составим системы уравнений типа (3.4), (3.5) для каждого из них.

При λ1 = 2 получим

или в координатной форме

Замечаем, что уравнения линейно зависимы. Поэтому оставляем лишь одно из них.

Из первого уравнения следует, что х2 = -х1.Неизвестное х1можно считать свободным, полагаем х1= 1. Тогда х2 = -1, и собственный вектор, соответствующий собственному значению λ1=2, имеет вид x1 = <1, -1>или x1= e1– е2, где е1, е2 – единичные орты выбранной базисной системы.

Аналогично находим второй собственный вектор, соответствующий собственному значению λ2 = 5. Опуская комментарии, получаем

Вектор x1 нормирован; нормируем также вектор х2, разделив его компоненты на наибольшую из них. Получим х2 = 0.5e1 + e2. Можно также привести векторы к единичной длине, разделив их компоненты на значения модулей векторов. В этом случае

Мы рассмотрели простейший пример вычисления собственных значений и собственных векторов для матрицы второго порядка. Нетрудно также провести подобное решение задачи для матрицы третьего порядка и для некоторых весьма специальных случаев.

В общем случае, особенно для матриц высокого порядка, задача о нахождении их собственных значений и собственных векторов, называемая полной проблемой собственных значений, значительно более сложная.

На первый взгляд может показаться, что вопрос сводится к вычислению корней многочлена (3.6). Однако здесь задача осложнена тем, что среди собственных значений часто встречаются кратные. И, кроме того, для произвольной матрицы непросто вычислить сами коэффициенты характеристического многочлена.

Отметим некоторые свойства собственных значений для частных типов исходной матрицы.

1. Все собственные значения симметрической матрицы действительны.

2. Если собственные значения матрицы действительны и различны, то соответствующие им собственные векторы ортогональны и образуют базис рассматриваемого пространства. Следовательно, любой вектор в данном пространстве можно выразить через совокупность линейно независимых собственных векторов.

3. Если две матрицы А и В подобны, т.е. они связаны соотношением

(3.7)

то их собственные значения совпадают (здесь Р – некоторая матрица). Преобразованиеподобия (3.7) можно использовать для упрощения исходной матрицы, а задачу о вычислении ее собственных значений свести к аналогичной задаче для более простой матрицы. Очевидно, самым лучшим упрощением матрицы (3.1) было бы приведение ее к треугольному виду

Тогда матрица (3.3) также имела бы треугольный вид. Как известно, определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, поэтому характеристический многочлен (3.6) в этом случае имеет вид

Собственные значения матрицы, равные корням этого многочлена, можно получить сразу:

Таким образом, собственные значения треугольной матрицы равны ее диагональным элементам. То же самое, естественно, относится и к диагональной матрице, которая является частным случаем треугольной.

Некоторые типы матриц удается привести к треугольному виду с помощью преобразования подобия. В частности, симметрическую матрицу можно привести к диагональному виду. На практике часто используется приведение симметрической матрицы к трехдиагональному виду. Процедура вычисления собственных значений для полученной матрицы значи­тельно упрощается по сравнению с задачей для исходной матрицы.

Существует ряд методов, основанных на использовании преобразования подобия, позволяющего привести исходную матрицу к более простой структуре. Мы рассмотрим ниже один из них – метод вращений.

Уравнение собственных значений матрицы имеет вид

Найдем такие вектора (называются собственными векторами) v
и такие числа — значения (называются собственными значениями) l
матрицы A, для v, l и A выполняется:
A*v = l*v.

Также вычисляется кратность собственных значений и находит характеристическое уравнение матрицы.

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: