Уравнение содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции

Уравнение содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Уравнение содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции

Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида
sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a ∈ R).

Уравнение cos x = a.

Принцип:

arccos a = x.

Следовательно, cos x = a.

Условия: модуль а не больше 1; x не меньше 0, но не больше π

Формулы:

x = ± arccos a + 2πk, где k – любое целое число

arccos (-a) = π – arccos a, где 0 ≤ a ≤ 1

Пример 1 : Решим уравнение

Применим первую формулу:

Сначала находим значение арккосинуса:

√3 π
arccos —— = —
2 6

Осталось подставить этот число в нашу формулу:

Пример 2 : Решим уравнение

Сначала применим первую формулу из таблицы:

Теперь с помощью второго уравнения вычислим значение арккосинуса:

√3 √3 π π π 6π π 5π
arccos (– ——) = π – arcos —— = π – — = — – — = — – — = ——
2 2 6 1 6 6 6 6

Применяя формулу для —а, обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный.

Осталось подставить значение арккосинуса и решить пример:

Уравнение sin x = a.

Принцип:

arcsin a = x,

следовательно sin x = a.

Условия: модуль а не больше 1; x в отрезке [-π/2; π/2]

Формулы.

(1 из 3)

x = arcsin a + 2πk

x = π – arcsin a + 2πk

Эти две формулы можно объединить в одну:
x = (–1) n arcsin a + πn

(k – любое целое число; n – любое целое число; | a | ≤ 1)

Значение четного n: n = 2k

Значение нечетного n: n = 2k + 1

Если n – четное число, то получается первая формула.

Если n – нечетное число, то получается вторая формула.

√3
Пример 1 : Решить уравнение sin x = ——
2

Применяем первые две формулы:

√3
2) x = π – arcsin —— + 2πk
2

Находим значение арксинуса:

√3 π
arcsin —— = —
2 3

Осталось подставить это значение в наши формулы:

π 2π
2) x = π – — + 2πk = —— + 2πk
3 3

Пример 2 : Решим это же уравнение с помощью общей формулы.

Пояснение : если n будет четное число, то решение примет вид № 1; если n будет нечетным числом – то вид №2.

(2 из 3)
Для трех случаев есть и более простые решения:

Если sin x = 0, то x = πk

Если sin x = 1, то x = π/2 + 2πk

Если sin x = –1, то x = –π/2 + 2πk

Пример 1 : Вычислим arcsin 0.

Пусть arcsin 0 = x.

Тогда sin x = 0, при этом x ∈ [–π/2; π/2].

Синус 0 тоже равен 0. Значит:

Пример 2 : Вычислим arcsin 1.

Пусть arcsin 1 = x.

Число 1 на оси ординат имеет имя π/2. Значит:

(3 из 3)

arcsin (–a) = –arcsin a

Пример : Решить уравнение

√3
2) x = π – arcsin (– ——) + 2πk
2

Находим значение арксинуса:

√3 √3 π
arcsin (– ——) = – arcsin (——) = – —
2 2 3

Подставляем это значение arcsin в обе формулы:

π
1) x = – — + 2πk
3
π π 4π
2) x = π – (– —) + 2πk = π + — + 2πk = —— + 2πk
3 3 3

Уравнение tg x = a.

Принцип:

arctg a = x,

следовательно tg x = a.

Условие: x больше –π/2, но меньше π/2

(–π/2
Пример 1 : Вычислить arctg 1.

Пусть arctg 1 = x.

Тогда tg x = 1, при этом x ∈ (–π/2; π/2)

π π
x = — при этом — ∈ (–π/2; π/2)
4 4

π
Ответ : arctg 1 = —
4

Пример 2 : Решить уравнение tg x = –√3.

arctg (–√3) = –arctg √3 = –π/3.

Уравнение ctg x = a.

Принцип:

arcctg a = x,

следовательно ctg x = a.

Условие: x больше 0, но меньше π

(0 Пример 1 : Вычислить arcctg √3.

Ответ : arcctg √3 = π/6

Пример 2 : Вычислить arcctg (–1).

Применяя формулу (2), обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный. В нашем примере –1 меняется на 1:

arcctg (–1) = π – arcctg 1 = π – π/4 = 3π/4.

Доклад: Как решать тригонометрические уравнения?

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Как решать тригонометрические уравнения?

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим .

Прежде чем перейти к разбору конкретных тригонометрических уравнений, вспомним основные формулы тригонометрии.

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1 . Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0 , преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x ,

cos 4 x · ( cos 2 x – cos 4 x ) = 0 ,

cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0 ,

1). cos 4 x = 0 , 2). sin 3 x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а ) перенести все его члены в левую часть;

б ) вынести все общие множители за скобки;

в ) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;

д ) решить полученное алгебраическое уравнение.

П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = -1, y ₂ = -3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Преобразование произведения в сумму.

Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4 x – cos 8 x = cos 4 x ,

x = p / 16 + p k / 8 .

5. Универсальная подстановка.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .

Таким образом, решение даёт только первый случай.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 534 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 36. Решение тригонометрических уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 24.11.2020
• 162
• 4

• 24.11.2020
• 495
• 4

• 24.11.2020
• 99
• 0

• 24.11.2020
• 249
• 12

• 24.11.2020
• 129
• 3

• 24.11.2020
• 1280
• 22

• 24.11.2020
• 291
• 4

• 24.11.2020
• 502
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.11.2020 176
• DOCX 171.9 кбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Данилова Любовь Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 30
• Всего просмотров: 145206
• Всего материалов: 238

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Школы смогут вносить данные в портфолио школьника в «МЭШ»

Время чтения: 2 минуты

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.