Уравнение содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции называется

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Формулы по теме: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Основная цель решения любого тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

Простейшие тригонометрические уравнения

Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:

sin x = 0, x = πk, k – любое целое число;

sin x = 1, x = π/2 + 2πk, k – любое целое число;

sin x = -1, x = -π/2 + 2πk, k – любое целое число;

sin x = a, |a| >1, здесь нет решений;

sin x = a, |a| π n, n – любое число .

cos x = 0, x = π/2 + πk, k – любое и целое;

cos x = 1, x = 2πk, k – любое целое число;

cos x = -1, x = π + 2πk, k – любое целое число;

cos x = a, |a|>1, здесь нет решений;

cos x = a, |a| π k, k – любое число .

tg x = 0, x = πk, k – любое целое число;

tg x = a, x = atctg a + πk, k – любое целое число.

ctg x = 0, x = π/2 + πk, k – любое целое число;

ctg x = a, x = arccot a + πk, k – любое целое число.

Шаг 3. Найти неизвестную переменную.

2 cos (3x – π/4) = -√2

3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n принадлежит Z;

3x – π/4 = ± 3π/4 + 2πn, n принадлежит Z.

3x = ± 3π/4 + π/4 + 2πn, n принадлежит Z;

x = ± 3π/12 + π/12 + 2πn/3, n принадлежит Z;

2x = ± π/3 + 2πn, n принадлежит Z;

x = ± π/6 + πn, n принадлежит Z.

Ответ: x = ± π/6 + πn, n принадлежит Z.

Методы решения тригонометрических уравнений:

Метод замены переменной и подстановки.

Пример. 2 cos² (x +π/6) – 3 sin (π/3 – x) + 1 = 0

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

2 cos² (x + π /6) – 3 cos (x + π /6) + 1 = 0.

Делаем замену: cos (x + π/6) = y, тогда 2y² — 3y + 1 = 0,

Находим корни: y1 = 1, y2 = ½, откуда следуют два случая:

cos (x + π /6) = 1, 2) cos (x + π /6) = ½.

x + π /6 = 2 π k, x + π /6 = ± arccos (1/2) + 2 π n

x1 = — π/6 + 2πk x2 = ± π/3 – π/6 + 2πn

2.Разложение на множители

Этот метод рассмотрим на примере

Пример. Решить уравнение sin x + cos x = 1.

Решение. Перенесем все члены туравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0

Преобразуем и разложим на множители выражения в левой части уравнения:

sin x – 2 sin² ( x/2) = 0,

2 sin (x/2) • cos (x/2) – 2 sin² (x/2) = 0,

2 sin (x/2) • [cos(x/2) – sin(x/2)] = 0,

sin (x/2) = 0, 2) cos (x/2) – sin (x/2) = 0,

x/2 = π k, tg (x/2) = 1,

x1 = 2 π k. x/2 = arctg1 + π n,

А так же есть и другие методы решения тригонометрической функции.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 584 361 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 36. Решение тригонометрических уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

24.11.2020
178
0

24.11.2020
268
3

24.11.2020
142
3

24.11.2020
158
1

24.11.2020
660
9

24.11.2020
156
6

24.11.2020
90
0

24.11.2020
429
3

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

24.11.2020 499
DOCX 19.9 кбайт
17 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Данилова Любовь Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 7 лет и 3 месяца
Подписчики: 30
Всего просмотров: 144634
Всего материалов: 238

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Виды тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения.
- Уравнение sin x = a
Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней. Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1) n arcsin a + πn, n ∈ Z. Частные случаи: 1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z. 2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ Z. 3. sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.
Уравнение cos x = a
Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет корней. Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + πn, n ∈ Z. Частные случаи: 1. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ Z. 2. cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z. 3. cos x = -1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z.
Уравнение tg x = a
Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arctg a + πn, n ∈ Z.
Уравнение ctg x = a
Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arcctg a + πn, n ∈ Z.
Разложение на множители.
Иррациональные тригонометрические уравнения.
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения.
Введение дополнительного угла
Этот способ используется для уравнений вида a · sin x + b · cos x = с.

источники:
http://infourok.ru/formuly-po-teme-reshenie-trigonometricheskih-uravnenij-4606886.html
http://edu.glavsprav.ru/info/trigonometricheskie-uravneniya/