Тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения?
Тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.
Если проще: это уравнения, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри синусов , косинусов , тангенсов и котангенсов .
Как решать тригонометрические уравнения:
Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:
где \(t\) – выражение с иксом, \(a\) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности ( тригонометрического круга ) или специальных формул:
\(\sin x=a\) \(⇔\) \( \left[ \begin
если \(a∈[-1;1]\)
Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: \(sinx=a\) , \(cosx=a\) , \(tgx=a\) и \(ctgx=a\) .
Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(\sinx=-\)\(\frac<1><2>\).
Решение:
Ответ: \(x=\) \(\frac<π><4>\) \(+πk\), \(k∈Z\).
Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(\cos(3x+\frac<π><4>)=0\).
Решение:
Ответ: \(x=\) \(\frac<π><12>\) \(+\) \(\frac<2πk><3>\) \(x=-\) \(\frac<π><4>\) \(+\) \(\frac<2πk><3>\) , \(k∈Z\).
Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы , и особые методы решений уравнений:
— Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ).
— Метод разложения на множители .
— Метод вспомогательных аргументов.
Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения
Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\)
Решение:
Ответ: \(x=±\) \(\frac<π><3>\) \(+2πk\), \(k∈Z\).
Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:
Пример(ЕГЭ). Решите тригонометрическое уравнение \(\frac<2\cos^2x-\sin<2x>>
$α$ | $0$ | $<π>/<6>$ | $<π>/<4>$ | $<π>/<3>$ | $<π>/<2>$ | $π$ |
$sinα$ | $0$ | $<1>/<2>$ | $<√2>/<2>$ | $<√3>/<2>$ | $1$ | $0$ |
$cosα$ | $1$ | $<√3>/<2>$ | $<√2>/<2>$ | $<1>/<2>$ | $0$ | $-1$ |
$tgα$ | $0$ | $<√3>/<3>$ | $1$ | $√3$ | $-$ | $0$ |
$ctgα$ | $-$ | $√3$ | $1$ | $<√3>/<3>$ | $0$ | $-$ |
- Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
- Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($π/2$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Преобразовать $сos (90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos (90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Вычислить $cos 840°$
У косинуса период повторения $2π$ или $360°$, мы можем из угла вычитать количество градусов кратное периоду.
$cos 840°=cos(720°+120°)=cos 120°$
По формуле приведения представим $120°$ как $90°+30°$
$cos(90°+30°) = -sin30= — 0.5$
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс, нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Тригонометрические тождества
3. $sin^ <2>α+cos^ <2>α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ — это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус.
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.
Арккосинус
Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.
$arcos(-a) = π-arccosa$, где $0≤а≤1$
Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение
$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$
$cos t = 0, t = <π>/<2>+πk;k∈Z$
$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$
Найдите наименьший положительный корень уравнения сos $<2πx>/<3>=-<√3>/<2>$
Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на $<2π>/<3>$
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо к целые значения
Нам подходит $1.25$ – это и есть результат
Арксинус
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-<π>/<2>;<π>/<2>]$, синус которого равен $а$.
$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$
Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:
1. $t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$
$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$
Арктангенс
$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-<π>/<2>;<π>/<2>]$, тангенс которого равен $а.$
$arctg(-a)= — arctg a$
Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$
Уравнение содержащее переменную под знаком тригонометрических
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод.
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению.
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
5. Введение вспомогательного угла.
где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
6. Преобразование произведения в сумму.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/triginometricheskie_uravneniya
http://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij