ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Изгиб прямоугольных пластинок. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки
Для расчета тонких пластинок с 
прямоугольной и трапециевидной формы более удобными оказываются декартовы координаты 
Результатом использования гипотез Кирхгоффа в задаче изгиба пластинок в декартовой системе координат является:
— дифференциальное уравнение изогнутой поверхности:
, где: w = w (x,у) — функция прогиба, а 
— цилиндрическая жесткость.
Уравнение это называют уравнением Софи Жермен, оно представляет собою дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка относительно функции w, зависящей от двух переменных (х и у). Общего решения этого уравнения, как и большинства других уравнений в частных производных, в математике неизвестно. Поэтому прямой метод решения, как это делается при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, здесь оказывается невозможным, и приходится применять либо обратный метод (т. н. метод проб и ошибок) либо полуобратный метод, требующий всего одной попытки.
Наиболее универсальными, хотя и приближенными аналитическими методами расчета пластинок являются вариационные методы. Это метод Ритца-Тимошенко, метод Бубнова- Галеркина и метод Власова-Канторовича. Любой из них позволяет найти функцию прогиба w (x,у), удовлетворяющую как уравнению (1), так и конкретным граничным условиям на контуре пластинки. Все остальные параметры, в частности, усилия, напряжения, деформации и перемещения, определяются уже через найденную функцию прогиба. Приведем без вывода формулы внутренних усилий и напряжений в пластинке.
Усилия и напряжения в пластинках (пластинах). Внутренние усилия в сечениях пластинки:
— изгибающие моменты
— крутящие моменты 
— поперечные силы 
Соответственно шести усилиям в сечениях пластинки возникают и шесть составляющих напряжений:
— нормальные напряжения
— касательные напряжения, действующие параллельно срединной плоскости (с.п.) пластинки
— касательные напряжения, направленные перпендикулярно срединной плоскости пластинки
В формулах напряжений обозначено:
— момент инерции сечения шириной, равной 1 и высотой h (погонный момент инерции), z — расстояние от срединной плоскости пластинки до той точки, где определяется напряжение.
Покажем эпюры напряжений
Эпюры напряжений в прямоугольной пластинке при изгибе
Наибольших значений нормальные напряжения достигают в точках, расположенных у поверхностей пластинки, наиболее удаленных от срединной плоскости, при 
:
, где
— погонный метр сопротивления, то есть момент сопротивления сечения единичной ширины.
Касательные напряжения, параллельные срединной плоскости, достигают наибольшей величины тоже в точках у поверхностей пластинки:
а касательные напряжения, направленные перпендикулярно срединной плоскости, наоборот, имеют максимум в точках срединной плоскости (при z=0):
Для сравнения — в балке при изгибе возникают всего две составляющие напряжений: это σх и τzx.
Уравнение софи жермен теория упругости
С можете ли вы назвать хоть одного прославленного математика-женщину? Берусь поспорить, что не сможете. [ Эта статья была написана для французской версии журнала «Scientific American». В России, хочется надеяться, вспомнят хотя бы Софью Ковалевскую. ] Прежде всего вам следовало бы вспомнить об Ипатии Александрийской. Современники похвально отзывались о её математических работах, хотя ни одна из них не сохранилась до наших дней. Возможно, её сочинения были уничтожены монахамихристианами, которые забили её камнями в 415 году за то, что она была язычницей. Приблизительно через 13 столетий была маркиза де Шатле, которая перевела на французский язык «Математические принципы» Исаака Ньютона. В 1750 году итальянка Мария Гаэтана Аньези, известная своими достижениями в дифференциальном исчислении, стала первой женщиной, получившей звание профессора математики.
Так же как Ипатии, маркизе де Шатле и М. Аньези, Софи Жермен пришлось выдержать ожесточённую борьбу с предрассудками семьи, друзей и коллег, прежде чем она стала настоящим математиком. Жермен обладала выдающимися способностями, неуёмным честолюбием и была страстно увлечена математикой. Она самостоятельно изучила математику и физику и стала автором оригинальных работ в теории чисел и теории упругости. Несмотря на эти достижения, Жермен так и не получила заслуженного признания.
Софи Жермен родилась в Париже 1 апреля 1776 года, за 10 лет до Французской революции и спустя столетие после Научной революции. Законы Ньютона управляли Вселенной, в то время как указы Людовика XVI правили Францией. Жермен поддерживала политические перемены, служила прогрессу математики и физики и решительно боролась с барьерами, преграждавшими женщинам путь к научной деятельности.
Её отец, Амбруаз-Франсуа Жермен был всецело поглощён Французской революцией. Он принадлежал к прослойке либеральной образованной буржуазии. Род Жермен из поколения в поколение занимался торговлей, и семья имела достаточное состояние. Защищая интересы своего сословия, Амбруаз являлся депутатом Ассамблеи, куда он был избран в 1789 году.
В возрасте 13 лет Софи, по свидетельству знакомых, была робким, угловатым подростком. Считая, что её семья помешана на деньгах и политике, она находила убежище в отцовской библиотеке. Там и началось её интеллектуальное развитие. Софи изучила математику, прочтя все книги, которые ей удалось найти. Так же как она не могла понять интереса своих родителей к политике, они не понимали её увлечения математикой, считая её интересы удивительными для её возраста и несовместимыми с её полом.
Итальянский математик Дж. Т. Либри-Каруччи (позже ставший другом Софи) рассказывал, как Софи преодолевала настоятельное желание родителей, чтобы она бросила увлечение математикой. Когда все в доме ложились спать, она занималась при свечах. Зимними ночами, когда чернила замерзали в чернильнице, она читала, завернувшись в одеяла. Её решимость оказалась сильнее родительской воли. И несмотря на её «странные» интересы, отец оказывал ей материальную поддержку на протяжении всей жизни. Софи не вышла замуж и не добилась профессионального положения, которое дало бы ей средства к существованию.
Софи Жермен очень любила читать об Архимеде в «Истории математики» Жана Этьена Монтукла. Мысленно она отождествляла себя с Архимедом, боровшимся за продолжение своих исследований во время нападения римлян на Сиракузы. Она совершенствовала свои знания, продвигаясь от трактата Этьена Безу о математике к работам Ньютона и швейцарского математика Леонарда Эйлера.
Родственники, друзья и наставники мало внимания обращали на интересы и способности юной Софи. Они не видели смысла в том, чтобы всерьёз заниматься развитием интеллектуальных способностей молодой женщины из семьи среднего класса.
 |
Жермен было 19 лет, когда была основана Политехническая школа. Она доставала конспекты лекций по многим курсам, включая анализ, который читал Жозеф Луи Лагранж, и химию, которую читал Антуан Франсуа Фуркруа. На одном из занятий Лагранж попросил студентов изложить письменно своё мнение о прочитанном им курсе. Опасаясь, что её сочинение не станут читать, Жермен представила свою работу под именем бывшего студента Антуана Огюста Леблана. (Кстати, не известно, давал ли на это своё согласие Леблан.)
Н аучное образование Жермен было в высшей степени необычным для женщины её класса. В XVIII веке наука преподавалась некоторым женщинам из аристократических кругов в популяризированном изложении, по учебникам, написанным специально для этой цели. О науке в них говорилось ровно столько, сколько было достаточно, чтобы женщина могла поддержать «учёный разговор» в аристократических салонах. Одну из самых примечательных книг в этом жанре «Философия сэра Исаака Ньютона в изложении для дам» написал Франческо Альгаротти.
Альгаротти считал, что женщин интересует лишь рыцарская романтика и любовь, и поэтому он преподавал физику с учётом этого обстоятельства. Его книга построена на диалоге между некоей маркизой и её собеседником. В одной из сцен собеседник объясняет закон об обратной квадратичной зависимости. Он говорит, что сила взаимного притяжения или интенсивность света, например, убывает пропорционально квадрату расстояния между объектом и наблюдателем. Маркиза отвечает, что ей знакомо это понятие: «У меня невольно возникает ассоциация. мне кажется, что эта обратная квадратичная зависимость. наблюдается даже в любви. Скажем, после восьми дней разлуки любовь становится в шестьдесят четыре раза слабее, чем в первый день». Книга полна примерами подобного рода, среди которых приведённые в ней немногие строгие физические объяснения буквально теряются.
Жермен терпеть не могла такой фривольной литературы. Жозеф-Жером Лаланд однажды привел её в ярость, намекнув, что она не сможет понять работу Пьера Симона Лапласа, если предварительно не прочитает книгу Лаланда «Астрономия для женщин». Жермен публично объявила, что никогда более не будет разговаривать с Лаландом.
Её образование было бессистемным и непоследовательным. Она была удостоена встречи с Лагранжем и несколькими другими учёными. Некоторые из них предложили её вниманию небольшие задачи. Однако Жермен стремилась к тому, чтобы получить профессиональную подготовку, но такая возможность ей так и не представилась.
Жермен была изолирована не только от общества учёных мужей, но и от других образованных женщин. Её социальное положение не позволяло ей общаться с женщинами из аристократических кругов. Кроме того, у неё не было родственников или близких знакомых среди образованных мужчин, которые могли бы представлять её идеи в научном мире; именно такие связи благоприятствовали, в частности, графине Готта и мадам Лаланд.
Возможно, Жермен и сама в какой-то степени способствовала своей изоляции. По своей природной скромности и застенчивости она избегала светской жизни. Подобно великим энциклопедистам, сочинения которых её занимали, она полагала, что её научные работы сами по себе принесут ей непреходящее признание наперекор предрассудкам общества.
Жермен оказалась в стороне от научного сообщества в тот период, когда оно привлекало к себе всё большее число людей, организовывало всё больше научных учреждений и как никогда прежде способствовало сотрудничеству между учёными. Она уже не занималась в холодной спальне, но с радостью преодолела бы ледяную стену, чтобы её работа получила признание.
Н а рубеже XVIII и XIX веков Жермен предоставилась хорошая возможность проявить свои способности в области теории чисел. Первые профессионалы, с которыми она познакомилась, Лагранж и Адриен Мари Лежандр, оба очень интересовались этим предметом и поощряли её занятия.
Через несколько лет она уже хорошо разбиралась в сложных методах, изложенных в «Арифметических исследованиях» немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Находясь под сильным впечатлением от книги, Жермен послала её автору около десятка писем в период между 1804 и 1809 годами. Свои письма она подписывала псевдонимом «Леблан», поскольку боялась «насмешек по поводу женщины-учёного».
 Гаусс |  Фурье |
 Пуассон |  Лагранж |
В своём первом письме Гауссу Жермен обсуждает уравнение Ферма
где x , y , z и n целые числа. Пьер Ферма полагал, что мог доказать, что уравнение не имеет решения для n Это предположение, известное как последняя теорема Ферма, было доказано в 1995 году.
Жермен открыла, что уравнение Ферма не имеет решения, когда n равно где p простое число вида (Например, если k равно 2, то p простое число, а именно 23, и n равно 22.) Жермен объяснила своё доказательство Гауссу и заметила: «К сожалению, глубина моего интеллекта уступает моей ненасытности, и я чувствую смущение того, что беспокою гениального человека, не имея по сути ничего стоящего, чтобы предложить его вниманию, кроме восхищения, разделяемого всеми его читателями».
Гаусс ответил: «Я в восторге от того, что арифметика нашла в вашем лице такого способного друга. Ваше новое доказательство. весьма изящно, хотя охватывает, довольно частный случай и не может быть применено к другим числам».
В 1806 году Жермен послала письмо Гауссу с Жозефом-Мари Пернети, армейским офицером, который был её приятелем. Жермен беспокоилась о безопасности Гаусса, так как незадолго до этого Наполеон овладел большей частью Пруссии. Она сказала Пернети, что боится, как бы Гаусса не постигла та же судьба, что и Архимеда, который был убит римлянами. Пернети велел передать с посыльным, что Гаусс жив, здоров, но что математик не знает, кто такая Софи Жермен. В своём следующем письме Гауссу Жермен (она же Леблан) открывает своё подлинное имя.
Гаусс был весьма удивлён и обрадован. «Женщина из-за своего пола и наших предрассудков встречается со значительно более трудными препятствиями, чем мужчина, постигая сложные научные проблемы. Но когда она преодолевает эти барьеры и проникает в тайны мироздания, она несомненно проявляет благородную смелость, исключительный талант и высшую гениальность». В своих похвалах в адрес Жермен Гаусс был искренен. Это, в частности, подтверждается в его письмах немецкому астроному Генриху Ольберсу.
В 1808 году Жермен пишет новое письмо Гауссу, говоря в нём о том, чтó станет наиболее блестящей её работой в теории чисел. Жермен доказала, что если x , y и z целые числа и если
то либо x , либо y , либо z должны делиться на 5. Теорема Жермен явилась важным шагом на пути к доказательству последней теоремы Ферма для случая, когда
Гаусс так никогда и не высказал своего мнения по поводу теоремы Жермен. Как раз перед этим он стал профессором астрономии в Гёттингенском университете и вынужден был отложить свои исследования в теории чисел. Он был целиком поглощён профессиональными и личными проблемами.
В основном теорема Жермен оставалась неизвестной. В 1823 году Лежандр упоминает её в своей работе, где описывает своё доказательство последней теоремы Ферма для случая, когда (В 1676 году Бернар Френикл де Бесси доказал теорему для в 1738 году Эйлер нашёл решение для Теорема Жермен была первым важным результатом, касавшимся последней теоремы Ферма, с 1738 года вплоть до исследований, проведённых Эрнстом Э. Куммером в 1840 году.
В своих исследованиях по теории чисел Софи Жермен полагалась на направляющее влияние Гаусса. Когда их переписка прекратилась, она стала искать новые задачи и новых наставников. В 1809 году она заинтересовалась темой, которая впоследствии легла в основу её самых лучших работ. Она пыталась объяснить классические эксперименты Эрнста Ф. Хладни, немецкого физика, исследовавшего колебания упругих пластин.
В своих экспериментах Хладни насыпал мелкий песок на стеклянную пластинку. Затем он проводил смычком по ребру пластинки, вызывая колебания. Песок отскакивал от вибрирующих областей и собирался в «узлах», точках, остававшихся неподвижными. Через несколько секунд пластинка покрывалась рядом песчаных кривых. Конфигурация рисунка была симметричной и весьма эффектной она состояла из звёзд и других геометрических фигур (см. рисунок ниже). Общий рисунок зависел от формы пластины, положения опор и частоты вибрации.
 |
Во время своего визита в Париж в 1808 году Хладни продемонстрировал свои опыты перед аудиторией из 60 математиков и физиков Первого класса Французского института, отделения Французской академии наук. Опыты Хладни привели учёных в такое изумление, что они попросили его повторить свои опыты перед Наполеоном. Увиденное произвело на императора впечатление, и он согласился, что учёным Первого класса следует учредить специальную медаль весом в один килограмм золота и присудить её тому, кто сумеет дать теоретическое объяснение опытов Хладни. В 1809 году был объявлен конкурс и установлен срок его окончания для подведения итогов. Срок истекал через два года.
Жермен ухватилась за эту возможность. На протяжении более десяти лет она будет пытаться построить теорию упругости, конкурируя или сотрудничая с самыми выдающимися математиками и физиками. Она будет испытывать гордость от сознания того, что внесла свой вклад в исследования, находившиеся на переднем крае науки XIX века.
Тем не менее Жермен останется в стороне от научного сообщества. Этикет требовал, чтобы она получала письмо с официальным приглашением всякий раз, когда хотела посетить научное учреждение. Приглашавший должен был обеспечить ей транспорт и сопровождение. Эти формальности мешали ей свободно обсуждать с другими учёными интересовавшие её вопросы. Как следствие этих ограничений, ей пришлось преодолеть немало трудностей, чтобы переключиться с теории чисел на теорию упругости.
Чтобы войти в курс теории вибраций, она обратилась к таким книгам, как «Аналитическая механика» Лагранжа и работам Эйлера о колебаниях упругих стержней. Жермен пыталась объяснить поведение упругих пластин, применяя методы, которыми пользовался Эйлер. Он предполагал, что прикладываемая к стержню сила вызывает внутреннее упругое противодействие, и утверждал, что сила упругости в любой точке стержня пропорциональна его кривизне. Под влиянием работ Эйлера Жермен стремилась к тому, чтобы построить аналогичную гипотезу. Она предположила, что в любой точке поверхности сила упругости пропорциональна сумме величин кривизны двух главных кривых в этой точке. Главные величины кривизны представляют собой максимальное и минимальное значение кривизны всех кривых при пересечении поверхности перпендикулярными к ней плоскостями.
 |
В 1811 году Жермен оказалась единственным участником конкурса, но её работа не была удостоена премии. Она не сумела вывести свою гипотезу из физических принципов, да и не могла сделать этого в то время, поскольку ей не хватало знаний в математическом анализе и вариационном исчислении.
Тем не менее её работа способствовала дальнейшему прогрессу в этой области. Лагранж, бывший одним из членов жюри конкурса, исправил некоторые ошибки в вычислениях Жермен и вывел уравнение, которое, как он полагал, могло описывать фигуры Хладни. Согласно рассуждениям Лагранжа, если z это амплитуда вибраций и если z мало, то справедливо уравнение:
∂ t 2
∂ x 4
∂ y 4
∂ x 2 ∂ y 2
где t время, k константа, а x и y представляют координаты точек на поверхности пластины.
В 1811 году конкурс был продолжен ещё на два года, и снова Жермен была единственным его участником. Она продемонстрировала, как уравнение Лагранжа порождает фигуры Хладни в нескольких простых случаях. Однако она не смогла вывести уравнения Лагранжа из физических законов. За свою работу она была удостоена похвальной грамоты учёных Первого класса.
П риблизительно в это же время на интеллектуальную территорию Жермен начал вторгаться Симеон Дени Пуассон. В дальнейшем ему было суждено стать её главным соперником. В отличие от Жермен Пуассон подошёл к теории упругости, располагая всеми средствами, доступными учёному XIX века.
Пуассон поступил в Высшую политехническую школу в 1789 году в возрасте 17 лет. Лагранж и Лаплас заметили его способности в решении математических задач и хорошее абстрактное мышление. При поддержке Лапласа Пуассон быстро продвигался по академической лестнице. Он стал профессором в Политехнической школе и на факультете естественных наук в Париже. Он часто посещал заседания знаменитого научного общества Société d’Arcueil, куда приходили некоторые самые выдающиеся учёные, чтобы обсудить интересные работы или продемонстрировать новые эксперименты. Руководили деятельностью общества Лаплас и Клод Луи Бертолле, а Пуассон был консультантом в области математики. В 1812 году Пуассон, уже успевший проникнуть в самое сердце научного сообщества, был избран в Первый класс.
Пуассон стремился объяснить колебания упругих пластин на основе физических законов Ньютона и его физической модели. Начав с предположения, что пластина состоит из молекул, которые взаимно притягивают и отталкивают друг друга, Пуассон затем сделал ряд других, казалось, вполне разумных предположений. Рассуждая таким образом, он вывел чрезвычайно сложную формулу и, упростив её, пришел к уравнению Лагранжа. По современным представлениям допущения Пуассона кажутся абсурдными, и его попытка вывести уравнение Лагранжа была успешной лишь потому, что он знал о работе Жермен и Лагранжа.
В 1814 году Пуассон опубликовал статью об упругих пластинах. Как член Первого класса, он не участвовал в конкурсе. Но его коллеги считали, что Пуассон нашёл физическое объяснение для фигур Хладни. Приз же остался никому не присвоенным.
«Я очень сожалела о том, что не знала содержания работы Пуассона, писала Жермен в 1815 году в своем эссе, посвящённом теории упругости. Я тратила драгоценное время, ожидая публикации». В этом эссе она подвергла критике подход Пуассона, пытаясь предложить своё собственное объяснение. Жермен постулировала, что упругая сила пропорциональна приложенной извне силе и пропорциональна деформации поверхности. Сила в каждой заданной точке пропорциональна сумме всех значений кривизны для кривых, проходящих через эту точку. Затем она показала, что сумма всех изгибов сводится к сумме максимальной и минимальной кривизны. И наконец, она вывела уравнение Лагранжа из последней суммы.
Это эссе стало третьей попыткой Жермен выиграть конкурс, членами жюри которого на этот раз были Лежандр, Лаплас и Пуассон. Они не могли принять её постулата о том, что результат воздействия деформация обязательно пропорционален самому воздействию, т.е. приложенной силе. На самом деле пройдут десятилетия, прежде чем этому будет найдено объяснение. При этой оговорке, жюри присудило Жермен премию Первого класса. Жермен не явилась на церемонию вручения награды. Может быть она считала, что судьи не оценили по достоинству её работу, или же она просто не хотела появляться на публике.
Для Жермен присуждение премии явилось формальным признанием её научной компетентности. Это придало ей уверенности и повысило авторитет. Однако учёные не выразили ей должного уважения. Пуассон послал ей немногословное формальное поздравление. Он избегал серьёзных дискуссий с ней и игнорировал её при встречах в обществе. Несколько лет назад она рассматривала себя как слабенького новичка в компании гигантов. Теперь она уже не испытывала восторга от своих коллег.
В скоре она воспряла духом, подружившись с Жаном Батистом Жозефом Фурье. Жермен и Фурье, оба пострадали соперничества с Пуассоном, и оба одинаково не любили его. Благодаря Фурье, Жермен начала принимать участие в деятельности парижского научного сообщества. Она посещала заседания Академии наук и была первой женщиной, которая приходила на эти заседания в личном качестве, а не как супруга из её членов.
В 20-х годах XIX века у неё возникли честолюбивые планы в области теории чисел, где она надеялась усовершенствовать свои доказательства и продолжить ранее начатые работы. Жермен и Лежандр работали в этой области как равноправные партнёры. Она также опубликовала обзор своих работ по теории упругости. В это время Жермен интересовалась различными областями научного знания и общалась с интеллектуальной элитой. Всем импонировали её неуёмное любопытство и присущее ей обаяние.
Хотя Жермен определённо заслужила своими работами учёной степени, она так никогда её и не получила. В 1830 году Гаусс не сумел убедить профессуру Гёттингенского университета присвоить ей звание почётного доктора наук.
Заболев раком груди, Софи Жермен после двухлетней борьбы с болезнью умерла 27 июня 1831 года в возрасте 55 лет. В свидетельстве о смерти против её фамилии значилось rentere : «персона, располагавшая частными средствами», что на практике означало «независимая женщина».
Перед смертью она набросала вчерне философское эссе, которое не успела закончить. Оно было опубликовано посмертно под заголовком «Общие рассуждения о науках и литературе». В своём эссе она пыталась выделить интеллектуальный процесс во всех видах человеческой деятельности и полагала, что интеллектуальная вселенная наполнена аналогиями. Человеческий дух, согласно её представлению, распознает эти аналогии, что приводит в конечном итоге к открытию природных явлений и законов мироздания. Нам же в свою очередь следовало бы распознавать аналогии между жизнью Софи Жермен и нашей собственной, с тем чтобы эти аналогии помогли нам стремиться к совершенству перед лицом предрассудков общества.
Краткий исторический очерк развития теории упругости пластичности и ползучести
Созданию теории упругости и пластичности как самостоятельного раздела механики предшествовали работы ученых XVII и XVIII вв, Еще в начале XVII в. Г. Галилей (1564—1642) сделал попытку решить задачи о растяжении и изгибе бруса. Он был одним из первых, кто попытался применить расчеты к инженерно-строительным задачам.
Теорией изгиба тонких упругих стержней занимались такие выдающиеся ученые, как Э. Мариотт, Я. Бернулли-старший, Ш.О. Кулон, Л. Эйлер, причем становление теории упругости как науки можно связать с работами Р. Гуна, Т. Юнга, Ж.Л. Лагранжа, С. Жермен.
Роберт Гук (1635—1703) положил начало механике упругих тел, опубликовав в 1678 r . работу, в которой описал установленный им за кон пропорциональности между нагрузкой и деформацией при растяжении. Томас Юнг (1773—1829) в самом начале XIX в. ввел понятие модуля упругости при растяжении и сжатии. Он установил также различие между деформацией растяжения или сжатия и деформацией сдвига. К этому же времени относятся работы Жозефа Луи Лагранжа (1736—1813) и Софи Жермен (1776—1831). Они нашли решение задачи об изгибе и колебаниях упругих пластинок. В дальнейшем теорию пластинок усовершенствовали С. Пуассон и 781—1840) и Л. Навье (1785-1836).
Так, к концу XVIII и началу XIX вв. были заложены основы сопротивления материалов и создана почва для возникновения теории упругости. Быстрое развитие техники ставило перед математикой огромное количество практических задач, что и привело к быстрому развитию теории. Одной из многих важных проблем была проблема исследования свойств упругих материалов. Решение этой проблемы давало возможность более глубоко и полно изучить внутренние силы и деформации, возникающие в упругом теле под действием внешних сил.
Датой возникновения математической теории упругости надо считать 1821 г., когда вышла в свет работа Л. Навье, в которой были сформулированы основные уравнения.
Большие математические трудности решения задач теории упругости привлекли к ней внимание многих выдающихся ученых-математиков XIX в.: Ламе, Клапейрона, Пуассона и др. Дальнейшее развитие теория упругости получила в трудах французского математика О. Коши (1789—1857), который ввел понятия деформации и напряжения, упростив тем самым вывод общих уравнений.
В 1828 г. основной аппарат математической теории упругости нашел свое завершение в трудах французских ученых и инженеров Г. Ламе (1795—1870) и Б. Клапейрона (1799—1864), преподававших в то время в Институте инженеров путей сообщения в Петербурге. В их совместной работе дано приложение общих уравнений к решению практических проблем.
Решение многих задач теории упругости стало возможным после того, как французский механик Б. Сен-Венан (1797—1886) выдвинул принцип, носящий его имя, и предложил эффективный метод решения задач теории упругости. Заслуга его, по словам известного английского ученого А. Лява (1863—1940), заключается еще и в том, что он увязал проблемы кручения и изгиба балок с общей теорией.
Если французские математики занимались в основном общими проблемами теории, то русские ученые внесли большой вклад в развитие науки о прочности решением многих актуальных практических задач. С 1828 но 1860 г. в петербургских технических вузах преподавал математику и механику выдающийся ученый М. В. Остроградский (1801—1861). Его исследования по вопросам колебаний, возникающих в упругой среде, имели важное значение для развития теории упругости. Остроградский воспитал плеяду ученых и инженеров. Среди них следует назвать Д. И. Журавского (1821—1891), который, работая на строительстве Петербурго-Московской железной дороги, создал не только новые схемы мостов, но и теорию расчета мостовых ферм, а также вывел формулу касательных напряжений в изгибаемой балке.
А. В. Гадолин (1828—1892) применил задачу Ламе об осесимметричной деформации толстостенной трубы к исследованию напряжений, возникающих в стволах артиллерийских орудий, одним из первых приложив теорию упругости к конкретной инженерной задаче.
Из других задач, решенных в конце XIX в., нужно отметить работы X. С. Головина (1844-1904), произведшего методами теории упруго сти точный расчет кривого бруса, что дало возможность определить степень точности приближенных решений.
Большая заслуга в развитии науки о прочности принадлежит В. Л. Кирпичеву (1845—1913). Ему удалось значительно упростить различные методы расчета статически неопределимых конструкций. Он первый применил оптический метод к экспериментальному определению напряжений, создал метод подобия.
Тесная связь с практикой строительства, принципиальность и глубина анализа характеризуют советскую науку. И. Г. Бубнов (1872— 1919) разработал новый приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений, блестяще развитый Б. Г. Галеркиным (1871—1945). Вариационный метод Бубнова—Галеркина в настоящее время получил широкое распространение. Большое значение имеют труды этих ученых в теории изгиба пластинок. Новые важные результаты, продолжая исследования Галеркина, получил П.Ф. Папкович (1887—1946).
Метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного, был предложен Г.В. Колосовым (1867—1936). Впоследствии этот метод был развит и обобщен Н.И. Мусхелишвили (1891—1976). Ряд задач по устойчивости стержней и пластинок, вибрациям стержней и дисков, по теории удара и сжатия упругих тел решил А.Н. Динник (1876—1950). Большое практическое значение имеют работы Л.С. Лейбензона (1879—1951) по устойчивости упругого равновесия длинных закрученных стержней, по устойчивости сферических и цилиндрических оболочек. Важное практическое значение имеют капитальные работы В. 3. Власова (1906—1958) по общей теории тонкостенных пространственных стержней, складчатых систем и оболочек.
Теория пластичности имеет более короткую историю. Первая математическая теория пластичности была создана Сен-Венаном в 70-е годы XIX в. на основании опытов французского инженера Г. Треска. В начале XX в. над проблемами пластичности работали Р. Мизес. Г. Генки, Л. Прандтль, Т. Карман. С 30-х годов XX в, теория пластичности привлекла к себе внимание большого круга видных зарубежных ученых (А. Надаи, Р. Хилла, В. Прагера, Ф. Ходжа, Д. Друккера и др.). Широко известны работы по теории пластичности советских ученых В.В. Соколовского, А.Ю. Ишлинского, Г.А. Смирнова-Аляева, Л. М. Качанова. Фундаментальный вклад в создание деформационной теории пластичности внес А.А. Ильюшин. А.А. Гвоздев разработал теорию расчета пластинок и оболочек по разрушающим нагрузкам Эта теория успешно развита А.Р. Ржаницыным.
Теория ползучести как раздел механики деформируемого тела сформировалась сравнительно недавно. Первые исследования в этой области относятся к 20-м годам XX в. Их общий характер определяется тем, что проблема ползучести представляла большую важность для энергомашиностроения и инженеры были вынуждены искать простые и быстро ведущие к цели методы решения практических задач. В создании теории ползучести большая роль принадлежит тем авторам, которые внесли существенный вклад в создание современной теории пластичности. отсюда общность многих идей и подходов. В нашей стране первые работы по механической теории ползучести принадлежат Н.М. Беляеву (1943), К.Д. Миртову (1946), к концу 40-х годов относятся первые исследования Н. Н. Малинина, Ю.Н. Работнова.
Исследования в области упруговязких тел выполнены в работах А.Ю. Ишлинского, А.Н. Герасимова, А.Р. Ржаницына, Ю.Н. Работнова. Применение этой теории к стареющим материалам, в первую очередь к бетону, дано в работах Н.X. Арутюняна, А.А. Гвоздева, Г.Н Маслова. Большой объем исследований ползу чести полимерных материалов выполнен научными коллективами под руководством А.А. Ильюшина, А.К. Малмейстера, М.И. Розовского, Г.Н. Савина.
Советское государство уделяет большое внимание науке. Организация научно-исследовательских институтов, участие в разработке актуальных проблем больших коллективов ученых позволили поднять советскую науку на более высокую ступень.
В кратком обзоре нет возможности подробнее остановиться на работах всех ученых, внесших свой вклад в развитие теории упругости и пластичности. Желающие подробно ознакомиться с историей развития этой науки могут обратиться к учебнику Н.И. Безухова, где дан детальный разбор основных этапов развития теории упругости и пластичности, а также приведена обширная библиография.
1.1.Основные гипотезы, принципы и определения
Теория напряжений как раздел механики сплошных сред базируется на ряде гипотез, основными из которых следует назвать гипотезы сплошности и естественного (фонового) напряженного состояния.
Согласно гипотезе о сплошности все тела принимаются за совершенно сплошные как до приложения нагрузки (до деформирования), так и после ее действия. При этом сплошным (непрерывным) остается любой объем тела, в том числе и элементарный, то есть бесконечно малый. В связи с этим деформации тела считаются непрерывными функциями координат, когда материал тела деформируется без образования в нем трещин или прерывистых складок.
Гипотеза об естественном напряженном состоянии предполагает наличие начального (фонового) уровня напряженности тела, обычно принимаемого за нулевой, а фактические напряжения, вызываемые внешней нагрузкой, считаются приращения напряжений над ест естественным уровнем.
Наряду с названными основными гипотезами, в теории напряжений принят и ряд основополагающих принципов, среди которых в первую очередь необходимо назвать наделение тел идеальной упругостью, шаровой изотропией, совершенной однородностью, линейной зависимостью между напряжениями и деформациями.
Идеальная упругость есть способность материалов, подвергаемых деформированию, восстанавливать свою первоначальную форму (размеры и объем) после снятия внешней нагрузки (внешнего воздействия). Практически все горные породы и большинство строительных материалов обладают в известной степени упругостью, к этим материалам можно отнести и жидкости, и газы.
Шаровая изотропия предполагает одинаковость свойств материалов во всех направлениях действия нагрузки, антиподом ей является анизотропия, то есть неодинаковость свойств в различных направлениях (некоторые кристаллы, древесина и др.). При этом нельзя смешивать понятия шаровой изотропии и однородности: например, для однородной структуры древесины свойственна анизотропия – различие в прочности дерева вдоль и поперек волокон. Упругим, изотропным и однородным материалам присуща линейная зависимость между напряжениями и деформациями, описываемая законом Гука, рассмотрению которого посвящен соответствующий раздел учебного пособия.
Основополагающим принципом в теории напряжений (и деформаций, в том числе) является и принцип локальности действия самоуравновешенных внешних нагрузок – принцип Сен-Венана. Согласно этому принципу, приложенные к телу в какой либо точке (линии) уравновешенная система сил вызывает в материале напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения нагрузки, например, по экспоненциальному закону. Примером такого действия может служить разрезание бумаги ножницами, которые деформируют (режут) бесконечно малую часть листа (линию), тогда как остальные части листа бумаги не будут нарушены, то есть будет иметь место локальная деформация. Применение принципа Сен-Венана способствует упрощению математических выкладок при решении задач по оценке НДС за счет замены заданной сложной для математического описания нагрузки на более простую, но эквивалентную ей.
Говоря о предмете изучения в теории напряжений, следует дать и определение самого напряжения, под которым понимается мера внутренних усилий в теле, в пределах некоторого его сечения, распределенных по рассматриваемому сечению и противодействующих внешней нагрузке. При этом напряжения, действующие на поперечной площадке и перпендикулярной ей, называются нормальными; соответственно напряжения, параллельные этой площадке или касающиеся ее, будут касательными.
Рассмотрение теории напряжений упрощается при введении следующих допущений, практически не снижающих точность получаемых решений:
— относительные удлинения (укорочения), а также относительные сдвиги (углы сдвига) много меньше единицы;
— перемещения точек тела при его деформировании малы по сравнению с линейными размерами тела;
— углы поворота сечений при изгибном деформировании тела также очень малы по сравнению с единицей, а их квадраты пренебрежимо малы в сравнении с величинами относительных линейных и угловых деформаций.
http://ega-math.narod.ru/Singh/Germain.htm
http://lektsia.com/9×5766.html