3. Доказать, что кривая $x=1+2t+t^2, y=2-5t+t^2, z=1+t^2$
— плоская. Найти уравнение плоскости, в которой лежит эта кривая.
Ответ: $\varkappa=0$, $5x+2y-7z-2=0$.
Краткие теоретические сведения
Соприкосновение $k$-того порядка
Две кривые $$ \gamma_1: \vec_1=\vec_1(t)\,\, \mbox <и>\,\, \gamma_2: \vec_2=\vec_2(t) $$ имеют в общей точке $M_0$ соприкосновение (касание) $k$-того порядка, если в этой точке: \begin \frac_1>
=\frac_2>
, \ldots, \frac_1>
=\frac_2>
,\, \frac\vec_1>
\neq\frac\vec_2>
. \end
Для неявно заданных кривых — см. формулы в Феденко.
Касательная кривой имеет в точке касания имеет соприкосновение первого порядка.
Соприкасающаяся окружность плоской кривой
Пусть $\gamma$ — плоская кривая, $M_0 (t=t_0)$ — точка на ней.
Окружность, проходящая через точку $M_0$, называется соприкасающейся окружностью кривой $\gamma$ в точке $M_0$, если кривая в этой точке с окружностью имеет соприкосновение второго порядка (не ниже второго порядка).
Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны кривой в заданной точке.
Центр окружности лежит на нормали к кривой. Радиус окружности (радиус кривизны) есть величина, обратная кривизне этой кривой в заданной точке $M_0$: $$ R=1/k(t_0).$$
Эволюта и эвольвента
Эволютой плоской кривой называется огибающая ее нормалей.
Эволюта это геометрическое место центров кривизны плоской кривой.
Эвольвентой плоской кривой $\gamma$ называется такая кривая $\Gamma$ по отношению к которой $\gamma$ является эволютой.
Решение задач
Задача 1 (Феденко № 179)
Докажите, что линии \begin y_1=\mbox\,x, \,\, y_2=x^4-\frac16x^3+x. \end имеют в начале координат касание третьего порядка
Решение задачи 1
Задача 2 (Феденко №369)
Напишите уравнение соприкасающейся окружности линии $y=\mbox\,x$ в точке $A\left(\frac<\pi><2>; 1\right)$.
Решение задачи 2
Радиус соприкасающейся плоскости $R=\displaystyle\frac<1>$. Найдем кривизну для заданной кривой: \begin k = \displaystyle\frac<|y''|><\left(1+(y')^2\right)^<3/2>>=\frac<\mbox\,x><(1+\mbox^2\,x)^<3/2>>. \end \begin k\left(\frac<\pi><2>\right)=1 \,\, \Rightarrow \,\, R=1. \end Учитывая, что окружность касается синусоиды в точке $A\left(\displaystyle\frac<\pi><2>; 1\right)$, радиус окружности равен $1$ и центр окружности лежит на нормали, проведенной в точке касания, получаем следующее уравнение: \begin \left(x-\displaystyle\frac<\pi><2>\right)^2+y^2=1. \end
Задача 3 (Феденко №391)
Составьте уравнения и начертите эволюту кривой \begin x=a\left(\mbox\,\mbox\,\left(\displaystyle\frac<2>\right)+\mbox\,t\right), \,\, y = a\,\mbox\,t. \end
Решение задачи 3
Задача 4 (Феденко №397)
Составьте уравнения эвольвент окружности $x^2+y^2=a^2$ и сделайте рисунок.
СОПРИКАСА́ЮЩАЯСЯ ОКРУ́ЖНОСТЬ кривой $L$ в точке $M$ , окружность, имеющая с $L$ в точке $M$ касание порядка $n ⩾ 2$ . Если кривизна кривой $L$ в точке $M$ равна нулю, то С. о. вырождается в прямую. Т. к. порядок касания $L$ и С. о. в точке $M$ не ниже двух, то С. о. воспроизводит ход кривой вблизи точки касания с точностью до малых 3-го порядка по сравнению с размерами участка кривой. На рис. изображено обычное (порядок касания кривой и С. о. равен двум) взаимное расположение кривой и её С. о.: кривая пронизывает С. о. в точке соприкосновения. Радиус С. о. называется радиусом кривизны кривой $L$ в точке $M$ , а центр С. о. – центром кривизны. Если кривая задана уравнением $y=f(x)$ , то радиус С. о. определяется формулой $$\rho=\left| \frac<(1+y'^2)^<3/2>> \right|.$$ Иногда С. о. называется соприкасающимся кругом. См. также Дифференциальная геометрия .
Соприкасающаяся окружность. Эволюта и эвольвента плоской кривой.
Читайте также:
Длина дуги кривой. Естественная параметризация.
Задача дискретного логарифмирования на эллиптической кривой.
Касательная кривой. Теорема о касательной.
Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
Кривизна кривой.
Кручение кривой.
ОКРУЖНОСТЬ.
Окружность. Эллипс
Плоскость кривой.
Понятие кривой. Элементарная кривая. Простая кривая. Общая кривая.
Пусть задана плоская кривая , – произвольная точка на ней.
Определение.Окружность , проходящая через точку , называется соприкасающейся окружностьюкривой в точке , если кривая в этой точке с окружностью имеет соприкосновение второго порядка.
Центр соприкасающейся окружности называется центром кривизны кривой.
Найдём соприкасающуюся окружность регулярной кривой в точке P, где кривизна отлична от нуля. Пусть – естественная параметризация кривой . Уравнение произвольной окружности имеет вид
,
где – радиус-вектор центра окружности, – радиус окружности.
Так как в точке окружность с кривой должна иметь соприкосновение второго порядка, то согласно теореме § 11 необходимо и достаточно, выполнение в точке следующих условий:
,
,
.
Первое из этих трех условий выражает собой то, что точка лежит на окружности. Из второго условия видно, что вектор , направленный из центра окружности в точку , перпендикулярен вектору касательной к кривой. Это значит, что центр окружности лежит на нормали кривой в точке . Третье условие определяет радиус окружности. Действительно, , , и коллинеарные векторы и , противоположно направленные, где – единичные векторы касательной и главной нормали кривой, а – кривизна кривой в точке . Следовательно, третье условие может быть приведено к виду . Таким образом, если , радиус соприкасающейся окружности равен . Величину будем называть радиусом кривизны кривой.
Отсюда следует, что если кривизна кривой в точке равна нулю, то не существует соприкасающейся окружности кривой в точке . В этом случае окружность вырождается в прямую, и касательная кривой имеет с ней (кривой) соприкосновение второго порядка.
Таким образом, найден радиус и положение центра соприкасающейся окружности. Определим теперь эволюту кривой.
Определение.Эволютойкривой называется геометрическое место центров кривизны кривой.
Найдем уравнение эволюты регулярной кривой . Пусть – естественная параметризация кривой. Тогда радиус-вектор центра кривизны кривой
.
Это и есть векторное уравнение эволюты кривой .
Выясним, что представляет собой эволюта кривой. Рассмотрение ограничим следующими основными случаями:
1. Вдоль всей кривой или и не обращается в нуль.
2. Вдоль всей кривой или , в некоторой точке кривой соответствующей параметру .
3. Для , для , , , не обращается в нуль вдоль всей кривой.
В первом случае эволюта представляет собой регулярную кривую без особых точек.
Действительно, . Используя формулы Френе, получим , так как .
Во втором случае разобьём кривую на две части точкой соответствующей значению параметра . Для каждой из частей выполняются условия, оговоренные в первом случае. Следовательно, эволюта распадается на две регулярные кривые, являющиеся эволютами частей кривой .
В третьем случае эволюта представляет собой регулярную кривую. Точка эволюты, соответствующая точке , является особой точкой, а именно точкой возврата первого рода.
Рассмотрим некоторые свойства эволюты.
Пусть – регулярная кривая, для которой всюду сохраняет знак и . Тогда эволюта – регулярная кривая без особых точек.
1). Найдём длину дуги эволюты соответствующей отрезку кривой. Имеем
.
Отсюда, так как сохраняет знак, получаем
.
Таким образом, длина дуги отрезка эволюты равна модулю разности радиусов кривизны кривой в точках, соответствующих концам этого отрезка.
2). Докажем, что эволюта является огибающей семейства нормалей кривой .
Действительно, пусть – точка эволютыкривой . Тогда, во-первых, она лежит на нормали кривой в точке . Найдем направляющий вектор касательной к эволюте в точке . Имеем
.
Следовательно, касательная к эволюте совпадает с нормалью к кривой . Таким образом, эволюта кривой каждой своей точкой касается нормалей кривой , т.е. является огибающей семейства нормалей кривой .
Используя данное свойство эволюты, найдем ее уравнение в случае произвольной параметризации кривой. Пусть кривая задана уравнениями
.
Тогда семейство нормалей определяется уравнением
,
а огибающая системой уравнений
Решая систему относительно и , получим
,
– параметрические уравнения эволюты.
Определение. Эвольвентой кривой называется такая кривая , по отношению к которой кривая является эволютой.
Пусть – естественная параметризация кривой . Тогда радиус-вектор точки эвольвенты, можно записать в виде
.
Дифференцируя это равенство по , получим
.
Умножим данное равенство скалярно на вектор . Учитывая ортогональность векторам и , получим . Следовательно, , где c – произвольная постоянная.
Таким образом, если кривая имеет эвольвенту, то она задаётся уравнением
,
где c – произвольная постоянная.
Легко убедиться, что при любом c, каждая кривая, задаваемая этим уравнением, имеет своей эволютой кривую , и, следовательно, является для неё эвольвентой. Теперь нетрудно получить векторное уравнение эвольвенты в случае произвольной параметризации кривой
.
В координатной форме это уравнение имеет вид
,
(параметрические уравнения эвольвенты).
Наглядно построение эвольвенты можно представить следующим образом. Если гибкая и нерастяжимая нить, будучи закреплена в некоторой точке кривой и натянута в свободной точке, наматывается на кривую или разматывается с нее, то ее свободный конец описывает эвольвенту кривой .
Выясним, что представляет собой эвольвента в двух основных случаях.
Если кривизна для всех значений параметра кривой , то в этом случае эвольвента есть регулярная кривая без особенностей. Действительно,
.
Если же кривизна обращается в ноль только при и , то эвольвента является регулярной кривой, а точка эвольвенты является особой точкой кривой .
ОГЛАВЛЕНИЕ
§1. Понятие кривой. Элементарная кривая. Простая кривая. Общая кривая. 5