Уравнение состояния для сухого воздуха

Уравнение состояния сухого воздуха

Состояние каждого из атмосферных газов характеризуется значе­ниями трех величин: температуры, давления и плотности (или удель­ного объема). Эти величины всегда связаны между собой некоторым уравнением, которое носит название уравнения состояния газа.

Для каждого газа существует так называемая критическая тем­пература Ткр. Если температура газа выше критической, то ни при каком давлении газ не может быть переведен в жидкое или твердое состояние, т. е. при Т > Ткр возможно только газообразное состоя­ние вещества. Критические температуры атмосферных газов имеют следующие значения:

Из этих данных видно, что критические температуры всех атмо­сферных газов, кроме углекислого газа и водяного пара, очень низ­кие. Температуры, которые наблюдаются в атмосфере на всех высо­тах, значительно выше критических температур этих газов. Хотя критическая температура углекислого газа выше, чем обычно на­блюдаемые температуры воздуха, этот газ далек от состояния насы­щения, поскольку его парциальное давление в условиях атмосферы мало.

По своим физическим свойствам газ тем ближе к идеальному, чем выше его температура по сравнению с критической, а также чем меньше его давление по сравнению с давлением насыщения.

При условиях, наблюдающихся в атмосфере, основные газы, входящие в состав воздуха, ведут себя практически как идеальные газы. Поэтому уравнение состояния какого-либо газа имеет вид уравнения состояния идеального газа:

где p_i — парциальное давление; Т — температура; V_i — удельный объем; R_i — удельная газовая постоянная i-гo газа; п — число газов, составляющих механическую смесь.

Удельная газовая постоянная R_i ; связана с универсальной газо­вой постоянной R * = 8,31441 103 Дж/(кмоль • К) следующим соот­ношением:

где μ_i — относительная молекулярная масса 1-го газа.

Согласно закону Дальтона, поведение каждого газа в механиче­ской смеси не зависит от присутствия других газов, а общее давле­ние смеси равно сумме парциальных давлений, т. е.

Пусть масса сухого воздуха равна единице, а масса i-гo газа m_i Тогда

где v— удельный объем сухого воздуха.

Подставляя v_i в соответствии с (1.3.4) в формулу (1.3.1) и сумми­руя уравнения (1.3.1), получаем:

или, согласно (1.3.3),

где Rc — удельная газовая постоянная сухого воздуха:

Уравнение (1.3.5) и представляет собой уравнение состояния су­хого воздуха.

Таким образом, уравнение состояния сухого воздуха имеет тот же вид, что и уравнение состояния идеального газа. При этом удель­ная газовая постоянная воздуха определяется как среднее взвешен­ное из парциальных газовых постоянных по формуле (1.3.6).

С учетом формулы (1.3.2) и данных о составе воздуха (см. п. 1.1) получаем следующее значение удельной газовой постоянной сухого воздуха:

Относительную молекулярную массу сухого воздуха по углерод­ной шкале можно получить при известных Rc и R*по соотношению

Если вместо удельного объема v в уравнение (1.3.5) ввести плот­ность р, связанную с v соотношением р = l/v, то оно примет вид

Наряду с таким видом уравнения состояния широкое распространение, особенно при изучении верхних слоев атмосферы, полу­чила другая форма записи его. Эта форма легко получается из урав­нения (1.3.5), если левую и правую части его умножить на μ_с:

где V = μ_сv объем моля воздуха. При фиксированных р и Т объем V, согласно (1.3.9), для всех газов одинаков. Например, при Т = О °С и р = 1013,2 гПа объем Vo = 22,41 м3/кмоль.

Если теперь разделить левую и правую части (1.3.9) на число мо­лекул воздуха в одном моле (N), то получим:

Поскольку число молекул в одном моле — число Авогадро — для всех газов одинаково (N = 6,02 • 1026 кмоль»1), то величина к пред­ставляет собой тоже универсальную постоянную, называемую по­стоянной Больцмана:

Следовательно, уравнение состояния воздуха, равно как и любо­го другого газа, можно записать также в следующем виде:

где п = N/V — число молекул воздуха в 1 м3, которое, как следует

ИЗ (1.3.12), При фиксированных р и Т одинаково для всех газов: при Т = 0 º С и р = 1013,2 гПа, п = 2,687 · 10 25 м -3 .

Из уравнений (1.3.8) и (1.3.12) следует

где m=μ_с / N — средняя масса одной молекулы воздуха.

Уравнения состояния атмосферного воздуха

Уравнение состояния газов применимо для теоретических расчётов и к сухому воздуху, и к водяному пару, и к влажному воздуху. Однако для влажного воздуха плотность зависит ещё и от упругости водяного пара, содержащегося в воздухе.

Уравнение состояния сухого воздуха имеет следующий вид:

где p — давление воздуха; ν — удельный объём сухого воздуха; T — абсолютная температура воздуха; R_c — удельная газовая постоянная воздуха, равная 287,05287 Дж/(кг К).

При замене удельного объёма v плотностью ρ = 1/v, уравнение состояния сухого воздуха примет вид:

Уравнение состояния влажного воздуха имеет следующий вид:

где s — массовая доля водяного пара; множитель (1 + 0,608s) можно отнести как к удельной газовой постоянной влажного воздуха, так и к температуре этого воздуха.

Уравнение состояния водяного пара с достаточной степенью точности можно записать в следующем виде:

где e — парциальное давление водяного пара; ν_n — удельный объём; R_n — удельная газовая постоянная водяного пара (R_n = R / M_n = 461,51 Дж / кг · К · R* = 8314,32 Дж/(кмоль∙K) — универсальная газовая постоянная).

Водяной пар отличается по своим свойствам от идеального газа (R_n не постоянна), но в пределах от 0 ºC до 40 ºC удельная газовая постоянная водяного пара близка к теоретическому значению. По этой причине уравнение состояния водяного пара может служить уравнением состояния как ненасыщенного, так и насыщенного водяного пара.

В метеорологии множитель (1 + 0,608s) обычно относят к температуре, для чего вводится понятие виртуальной температуры (Tv = T (1 + 0,608s) = T + ΔTv; ΔTv — виртуальный добавок).

С введением виртуальной температуры уравнение состояния влажного воздуха имеет вид:

где ρ = 1/ν — плотность влажного воздуха.

Из сравнения уравнений состояния сухого воздуха и влажного воздуха следует, что при одинаковой температуре и давлении плотность влажного воздуха всегда меньше плотности сухого воздуха. Физически это объясняется тем, что в состав влажного воздуха входит водяной пар, который вытесняет часть сухого воздуха.

Литература

Гидрометеорологическое Обеспечение Мореплавания — Глухов В.Г., Гордиенко А.И., Шаронов А.Ю., Шматков В.А. [2014]

Уравнение состояния газов

Основными характеристиками физического состояния газа являются его давление, температура и плотность. Все эти величины взаимозависимы. Газы сжимаемы, поэтому их плотность меняется в зависимости от давления и температуры. Связь между давлением, температурой и плотностью для идеальных газов дается уравнением состояния газов, известным из физики. Оно пишется

, (1)

где – давление; — удельный объем газа; — температура по шкале Кельвина;

— удельная газовая постоянная, зависящая от природы газа.

Для каждого газа существует температура, называемая критической, выше которой любой газ можно с большой степенью точности назвать идеальным. Если температура газа выше критической, то газ ни при каком давлении не может быть переведен ни в жидкое, ни в твердое состояние.

Идеальный газ, находясь в смеси с другими газами, ведет себя независимо от них, имея собственные давление плотность , удельный объем . В случае термодинамического равновесия смеси у всех газов должна быть общая температура Т. Общее давление газа, согласно закону Дальтона, должно равняться сумме их парциальных давлений.

Рассмотрим уравнение состояния газа применительно к сухому воздуху, поскольку он как смесь газов удовлетворяет изложенным выше положениям физики. В табл. 2 приведены значения критической температуры для основных газов, входящих в состав сухого воздуха.

Критическая температура газов, входящих в состав сухой атмосферы

Для сухого воздуха, кроме входящего в него углекислого газа, все газы имеют критическую температуру более низкую, чем температуры, наблюдаемые в земной атмосфере, т.е. сухой воздух можно считать смесью идеальных газов. Углекислый газ в атмосфере имеет очень малое парциальное давление, далекое от насыщающего, т.е. в естественных условиях он также не может сконденсироваться.

Для каждого газа, входящего в атмосферу, можно записать уравнение состояния

, (2)

где – парциальное давление, — удельный объем, – удельная газовая постоянная для соответствующего газа, входящего в смесь.

Удельная газовая постоянная связана с универсальной R= 8,31441·103 Дж/кмоль·К так:

, (3)

где – относительная молекулярная масса газа.

Общее давление смеси

. (4)

Принимая массу сухого воздуха равной единице, а массу газа , имеем

, (5)

где: – удельный объем сухого воздуха

Используя уравнения (1), (4) и (5), запишем

(6)

, (7)

где – удельная газовая постоянная сухого воздуха. Она представляет собой результирующую вклада каждой компоненты смеси пропорционально удельной газовой постоянной и относительной массы в смеси каждого газа

. (8)

Относительная молекулярная масса сухого воздуха при известном по углеродной шкале получается на основе универсальной газовой постоянной

= 28,97 кг/моль. (9)

Рассмотрим влажный воздух как смесь сухого воздуха и водяного пара. Поскольку критическая температура водяного пара равна 374ºС, он как примесь идеального газа к смеси газов, формирующих сухой воздух, рассматриваться не может. Условие, когда фактическая температура меньше критической, является необходимым, но недостаточным для перехода газа в жидкость или твердое состояние. Необходимо также, чтобы его парциальное давление достигло состояния насыщения. Последнее является только функцией температуры, свойств газа и формы поверхности, для которой она рассчитывается. Здесь будет рассмотрен водяной пар, который до момента насыщения можно считать примесью идеального газа.

Уравнение состояния водяного пара можно представить в следующем виде:

, (10)

где — парциальное давление, – удельный объем, – удельная газовая постоянная водяного пара.

= 461,5 Дж/кг·К, (11)

где = 18,015 кг/моль – относительная молекулярная масса водяного пара.

Как показывают экспериментальные исследования и расчеты, в диапазоне температур от 0 до 40ºС удельная постоянная водяного пара практически совпадает с теоретической и не меняется.

Для вывода уравнения состояния рассмотрим 1 кг влажного воздуха. В нем содержится q кг водяного пара и кг сухого воздуха. Обозначим через и удельные объемы водяного пара, сухого и влажного воздуха.

Сухой воздух и водяной пар равномерно распределены по объему влажного воздуха и полностью его занимают. Удельные объемы водяного пара и сухого воздуха соответственно равны

и . (12)

Если обозначить — общее давление, —общую температуру, – парциальное давление сухого воздуха, то уравнение состояния сухой части воздуха имеет вид

. (13)

Отношение удельных газовых постоянных водяного пара и сухого воздуха

= 1,608 (14)

Заменив удельную газовую постоянную водяного пара удельной газовой постоянной сухого воздуха с соответствующим коэффициентом, получим уравнение состояния влажного воздуха

Множитель (1 + 0,608q) в метеорологии относят к температуре, вводя понятие виртуальной температуры

Она всегда не меньше молекулярной, так как влажность может меняться от 0 до насыщающей.

Таким образом, виртуальная температура – это температура, которую должен иметь сухой воздух, чтобы его плотность при том же давлении была равна плотности влажного воздуха.

Плотность влажного воздуха всегда меньше плотности сухого. В некоторых случаях это может служить дополнительным фактором, способствующим развитию свободной конвекции в атмосфере.

Плотность воздуха в каждом месте непрерывно меняется во времени. Кроме того, она сильно меняется с высотой, потому что с высотой меняются также атмосферное давление и температура воздуха. Давление с высотой всегда уменьшается, а вместе с ним убывает и плотность. Температура с высотой по большей части понижается, по крайней мере в нижних 10-15 кматмосферы. Но падение температуры влечет за собой повышение плотности. В результате совместного влияния изменения давле­ния и температуры плотность с высотой, как правило, понижа­ется, но не так сильно, как давление. В среднем для Европы она равна у земной поверхности 1250 г/м3, на высоте 5 км – 735 г/м3, 10 км – 411 г/м3, 20 км – 87 г/м3.

На высотах около 300 кмплотность воздуха имеет порядок величины 10-8 г/м3, т.е. в сто миллиардов раз меньше, чем у земной поверхности. На высоте 500 км плотность воз­духа уже 10-9 г/м3,на высоте 750 км – 10-10 г/м3или еще меньше. Эти значения плотности ничтожны по сравнению с при­земными. Но все же до высот более 20 тыс. кмплотность воз­духа остается значительно большей, чем плотность вещества в межпланетном пространстве.

Если бы плотность воздуха не менялась с высотой, а оставалась на всех уровнях такой же, как у земной поверхности, то для высоты атмосферы получилась бы величина около 8000 м.В самом деле, приземная плотность сухого воздуха при давле­нии 760 мми температуре 0° равна 1293 г/м3;столб воздуха с этой плотностью должен был бы иметь высоту, очень близкую к 8000 м,чтобы производить такое же давление, какое производит столб ртути в 760 мм высотой (1033 г/см3).Указанная высота (8000 м)называется высотой однородной атмосферы. В действительности плотность воздуха с высотой убывает, и потому истинная высота атмосферы равняется многим тысячам километров.