Универсальное уравнение состояния идеального газа
Уравнению Клапейрона можно придать универсальную форму, если газовую постоянную отнести не к 1 кг газа, а к 1 кмоль.
Итальянский ученый Авогадро в 1811 г. доказал, что при одинаковых температурах и давлениях в равных объемах различных идеальных газов содержится одинаковое количество молекул. Из закона Авогадро вытекает, что плотности газов, находящихся при одинаковых температурах и давлениях, прямо пропорциональны их молекулярным массам:
где μ1 , μ2 — молекулярные массы газов.
Молекулярной массой таза называется численное выражение отношения массы молекулы данного вещества к 1/12 массы атома изотопа углерода 12 С.
Количество вещества, содержащее столько же молекул (атомов частиц) сколько атомов содержится в нуклиде углерода 12 С массой 12 кг (точно) называется килограмм-молекулой или киломолем, газа (кмоль).
Отношение плотностей газов в уравнении (а) можно заменить обратным отношением удельных объемов.
тогда откуда V1μ1 = V2μ2
Это соотношение показывает, что при одинаковых физических условиях произведение удельного объема газа на его молекулярную массу есть величина постоянная и не зависит от природы газа:
Произведение Vμ есть объем 1 кмоль идеального газа, а уравнение показывает, что объемы киломолей всех газов при равных температурах и давлениях одинаковы.
Напишем уравнение состояния для. 1 кмоль газа: PVμ = μRT
Откуда
Произведение μR называют универсальной газовой постоянной.
Универсальная газовая постоянная μR есть работа 1 кмоль идеального газа в процессе при постоянном давлении и при изменении температуры на 1 0 .
При так называемых нормальных физических условиях (давлении 101325 н/м 2 и температуре 273,15 0 К) объем 1 кмоль газа равен 22,4143 м 3 /кмоль, а универсальная газовая постоянная оказывается равной
Универсальное уравнение состояния, отнесенное к 1 кмоль газа, имеет следующий вид:
Это уравнение называют уравнением состояния Клапейрона — Менделеева, так как оно впервые было предложено Д. И. Менделеевым в 1874 г. Уравнение Клапейрона — Мендеелеева является наиболее общим для идеальных газов, так как связывает три закона идеальных газов (Гей-Люссака, Бойля—Мариотта и Авогадро) и включает универсальную газовую постоянную, не зависящую от природы газа.
Зная универсальную газовую постоянную μR, можно подсчитать известную уже нам величину R:
Физические постоянные некоторых газов приведены в табл. 2.
Газ | Химическая формула | Масса 1 кмоль, кг/кмоль | Газовая постоянная R, дж/кг град) | Плотность газа при Нормальных физических условиях, кг/м 3 |
Кислород | о2 | 259,8 | 1,429 | |
Водород | н2 | 2,016 | 4124,3 | 0,090 |
Азот | N2 | 28,02 | 296,8 | 1,250 |
Окись углерода | СО | 296,8 | 1,250 | |
Воздух | — | 28,96 | 287,0 | 1,293 |
Углекислый газ | со2 | 189,9 | 1,977 | |
Водяной пар | н2о | 18,016 | 461,6 | 0,804 |
Гелий | Не | 4,003 | 2077,2 | 0,178 |
Аргон | Аг | 39,944 | 208,2 | 1,784 |
Аммиак | NH3 | 17,031 | 488,2 | 0,771 |
Выведем основной закон идеальных газов по другому.
Из уравнений [5] и [8] следует, что
Рассмотрим 1 кг газа. Произведение концентрации молекул п, т. е. числа молекул в единице объема, и объема одного моля газа Vмоля равно числу молекул в одном моле, т. е. числу Авогадро N А.. NA = пVмоля .
Вместо двух постоянных: универсальной газовой постоянной R и числа Авогадро NA — была введена постоянная k равная отношению Она получила название постоянной Больцмана k = Учитывая, что в нем содержится N молекул и, следовательно, п = N/V, получим: PV/Т=Nk = соnst.
Постоянную величину Nk, отнесенную к 1 кг газа, обозначают буквой R и называют газовой постоянной. Поэтому
Полученное соотношение представляет собой уравнение Клапейрона (1834г.).
Умножив [11] на m, получим уравнение состояния для произвольной массы газа m:
Используя вес G = mg где g =9.8 м/с 2 PV = GRT [13]
Уравнению Клапейрона можно придать универсальную форму, если отнести газовую постоянную к 1 кмолю газа, т. е. к количеству газа, масса которого в килограммах численно равна молекулярной массе μ.
Положив в (1.10) М = μ, и V = Vμ, получим для одного моля уравнение Клапейрона — Менделеева
Здесь Vμ — объем киломоля газа, а μR— универсальная газовая постоянная — работа, совершаемая 1 кг газа при нагревании его на 1 0 С при Р = const.
В соответствии с законом Авогадро (1811г.) объем 1 кмоля, одинаковый в одних и тех же условиях для всех идеальных газов, при нормальных физических условиях равен 22,4136 м 3 , поэтому
μR =PVμ/T =101,325 . 22,4136/273,15 = 8314 Дж/(кмоль . К). [15]
Газовая постоянная 1 кг газа составляет R = 8314/μ ; (1.12)
Плотность идеального газа может быть рассчитана с некоторой степенью точности на основе уравнения состояния идеальных газов
где М – масса 1 кмоль (мольной массы) газа в кг/кмоль
Из уравнения следует
Объем занимаемый единицей массы газа или удельный объем можно определить по уравнению
Уравнение состояния идеального газа. Таким уравнением является уравнение Клайперона – Менделеева для идеального газа.
Читайте также:
|
Изм. |
Лист |
№ докум. |
Подпись |
Дата |
Лист |
На практике часто приходится иметь дело с газами при невысоких давлениях, поэтому расчеты различных термодинамических процессов с достаточной степенью точности можно проводить по уравнениям идеального газа.
Закон Авогадро
Согласно этому закону, все газы при одинаковых температурах и одинаковом давлении содержат в одном и том же объеме одинаковое число молекул. Большую техническую значимость имеет следствие из закона Авогадро: объемы киломолей различных газов равны, если они находятся при одинаковых температурах и давлениях. При нормальных физических условиях (Т= 273,15 К, р = 760 мм рт. ст.) объем киломоля любого вещества равен Vµ=µν=22,4 м 3 /кмоль.Напомним, что киломолем называется количество вещества в килограммах, численно равное его молекулярной массе.
Этот закон был открыт независимо друг от друга английским физиком Р. Бойлем и французским ученым Э. Мариоттом. Ими было доказано, что при постоянной температуре газа произведение давления газа на его объем есть величина постоянная, т.е. при
рV= const и рv = const.
Закон Гей-Люссака
Этот закон устанавливает, что если в процессе нагрева или охлаждения газа давление подцерживается постоянным, то объем изменяется пропорционально абсолютной температуре, т.е. если
Р = const, то и v/ Т = const.
Если же мы рассмотрим процесс нагрева или охлаждения газа в сосуде постоянного объема (v= const), то р/Т = const.
Уравнение состояния идеального газа
Для 1 кг газа Клапейроном установлено уравнение состояния рv = RT, в котором газовая постоянная Rимеет для каждого газа свое постоянное значение. Измеряется Rв Дж/кг-К и имеет вполне определенный физический смысл — это работа, совершаемая 1 кг газа при его нагреве на один кельвин при постоянном давлении. Для газа с произвольной массой M/(кг) уравнение состояния имеет вид
Для одного киломоля вещества уравнение состояния (получено Д.И. Менделеевым) имеет вид рVµ =µRT, где µR— универсальная газовая постоянная, которая одинакова для всех газов и равна 8314 Дж/кмольК.
Во всех этих уравнениях давление подставляется в Па, температура — в К, объем — в м 3 и удельный объем — в м 3 /кг.
В резервуаре объемом 10 м 3 находится азот при избыточном давлении 100 кПа и при температуре 27 °С. Атмосферное давление равно 750 мм рт. ст. Требуется найти массу и плотность азота.
Выразим атмосферное давление в паскалях: рб = 10 5 Па.
Абсолютное давление газа равно:p =ри +рб = 100 • 10 3 + 10 5 = = 2 • 10 5 Па.
Газовая постоянная азота равна (µ = 28 кг/кмоль)
R = 8314/28 = 297 Дж/кгЧК. Масса газа равна
М =рV/RT= 2*10 5* 10/297 • (273,15 + 27) = 22,43 кг.
р = M/V= 22,43/10 = 2,243 кг/м 3 .
Изм. |
Лист |
№ докум. |
Подпись |
Дата |
Лист |
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
Свойства реальных газов
Свойства реальных газов значительно отличаются от свойств идеальных газов, причем отличия тем значительнее, чем выше давление и ниже температура газа. Это объясняется тем, что молекулы реальных газов имеют конечный объем и между ними существуют силы межмолекулярного взаимодействия. Уравнение состояния 1 кг реального газа имеет вид
где z= φ(р, T) — коэффициент сжимаемости, который может быть как больше, так и меньше единицы.
При проведении термодинамических расчетов с реальными газами нужно учитывать зависимость внутренней энергии, энтальпии и теплоемкости не только от температуры, но и от давления газа. При одном и том же давлении какое-либо вещество в зависимости от температуры может находиться в разных состояниях.
Из физики известно, что любое вещество может находиться в твердом, жидком или газообразном состоянии. Эти состояния будем называть фазами, а процесс перехода из одного состояния в другое — фазовым переходом.
При определенных условиях могут существовать одновременно две фазы вещества, например, лед и жидкость, пар и жидкость. Если пар и жидкость находятся в состоянии равновесия, то пар называется насыщенным.
У всех веществ фазовые переходы происходят при определенных физических параметрах, поэтому рассмотрение свойств реальных газов можно начать на примере вещества, которое является основным рабочим телом в циклах тепловых электростанций, в том числе и атомных. Этим рабочим телом является вода, и не только потому, что она относительно дешева и нетоксична, а потому, что она обладает благоприятными для работы термодинамическими свойствами.
Рассмотрим диаграмму «v—p» воды и водяного пара, на которой изобразим границы между фазами (рис. 1.1). В области а находится в равновесии смесь льда и некипящей воды, в области Ь находится некипящая вода, в области с находится смесь кипящей воды и водяного пара, в области d— перегретый водяной пар. Прямой 1-2 показан изобарный процесс подвода теплоты.
Показанные на рис. 1.1 кривые называются пограничными; кривые, ограничивающие с двух сторон область с, называются левой и правой пограничными кривыми. Им соответствуют кипящая вода (левой) и сухой насыщенный пар (правой). Область между этими кривыми называется областью влажного насыщенного пара — в этой области находятся в равновесии сухой насыщенный пар и кипящая вода. Смесь сухого насыщенного пара и кипящей воды называют влажным насыщенным паром. Масса влажного насыщенного пара равна
где М’ — масса кипящей воды и М» — масса сухого насыщенного пара.
В дальнейшем все параметры, относящиеся к кипящей жидкости, будут иметь индекс «штрих» (р’, h’и т.д.), а все параметры, относящиеся к сухому насыщенному пару,— индекс «два штриха» (р’, h» и т.д.).
Температуру и давление насыщенного пара принято обозначать Тн и рн. В то же время в ряде литературных источников их обозначают Тs и рs (буква s является первой буквой английского слова sаturation — насыщение). Отношение массы сухого насыщенного пара к общей массе влажного насыщенного пара называется степенью сухости и обозначается х. Ясно, что на левой пограничной кривой х = 0, а на правой — х = 1. Разность <1-х) называется степенью влажности.
Чем выше давление пара, тем меньше расстояние по горизонтали между левой и правой пограничными кривыми, а при определенном давлении пара эти кривые смыкаются. Точка, в которой исчезают различия в свойствах кипящей жидкости и сухого насыщенного пара, называется критической (точка к на рис. 1.1).
Термические параметры различных веществ в критической точке различны. Эти параметры для ряда химических веществ приведены в табл. 1
Изм. |
Лист |
№ докум. |
Подпись |
Дата |
Лист |
Таблица 1 Критические параметры веществ
Вещество | Tкр, К | pкр,МПа | ρкр, кг/м 3 |
Азот N2 | 3,40 | ||
Водород Н2 | 33,2 | 1,29 | |
Водяной пар H2O | 647,12 | 22,115 | |
Кислород О2 | 5,05 | ||
Ртуть Нg | — | ||
Диоксид углерода СО2 | 7,38 |
При сверхкритическом давлении не может быть влажного насыщенного пара. Если давление пара больше критического и постоянно по величине (р > ркр), то при подводе (или отводе) теплоты физические параметры (удельный объем, энтальпия и др.) меняются плавно, в то же время наблюдается резкое изменение тепло-емкостей сp исvв тех процессах, где сверхперегретая вода переходит в сверхперегретый водяной пар.
Уравнения состояния реальных газов
Известно значительное число уравнений состояния реальных газов, и одна из самых удачных попыток была сделана Ван-дер-Ваальсом, который получил уравнение в виде
Слагаемое a/v 2 учитывает внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул газа, а величина b— уменьшение объема, в котором движутся молекулы реального газа. Если по этому уравнению находить величины удельных объемов реальных газов, то уравнение (1) имеет три действительных корня при Т Ткр . Точность вычислений по этому уравнению невелика.
В самой общей форме уравнение состояния реальных газов имеет вид
(2)
где 𝛽k — вириальные коэффициенты, зависящие от температуры газа.
Число членов ряда в уравнении (2) может быть достаточно велико, поэтому расчеты по этому уравнению вызывают значительные трудности.
Изм. |
Лист |
№ докум. |
Подпись |
Дата |
Лист |
Изохорный процесс – это процесс сообщения или отнятия теплоты от газа при постоянном объеме v=const.
Этот процесс используется как подготовительный процесс в циклах.
Соотношение между параметрами для конечного участка процесса 1-2 определяется законом Шарля: , который следует из уравнений состояния для точек 1 и 2:
и при .
Поскольку работа расширения в этом процессе равна нулю: , т.к. , то из уравнения 1-го закона термодинамики следует, что:
.
Таким образом, подведенная к газу в изохорном процессе теплота целиком идет на увеличение его внутренней энергии. Для ТП коэффициент распределения теплоты , теплоемкость и показатель политропы:
.
Изм. |
Лист |
№ докум. |
Подпись |
Дата |
Лист |
Изобарный процесс – это процесс сообщения или отнятия теплоты от газа при постоянном давлении р=const.
Соотношение между параметрами в процессе р=const: — закон Гей-Люссака, т.к.: , и .
Работа расширения . Т.к. , то .
Следовательно, удельная газовая постоянная R— это работа, совершаемая 1кг газа в процессе p=const при его нагревании на один градус. Размерность R: Дж/кгК. Уравнение 1-го закона термодинамики в этом случае имеем вид:
.
Таким образом, вся теплота, подведенная к газу в изобарном процессе, расходуется на увеличение его энтальпии.
Коэффициент распределения теплоты в процессе р=const равен:
, .
В T-s координатах взаимное положение изобары и изохоры имеет вид:
Изм. |
Лист |
№ докум. |
Подпись |
Дата |
Лист |
, , т.е. изобара более пологая логарифмическая кривая в T-s координатах, чем изохора.
Изотермический процесс – это процесс сообщения или отнятия теплоты от газа при постоянной температуре
При Т=const из уравнения состояния имеем: — это уравнение изотермического процесса является уравнением равнобокой гиперболы.
Тогда , и — закон Бойля-Мариотта.
Из уравнения 1-го закона термодинамики при имеем:
и q=l, т.е. вся теплота, сообщаемая газу в изотермическом процессе, целиком идет на работу расширения газа.
Изменение энтальпии в процессе T=const равно:
.
Изм. |
Лист |
№ докум. |
Подпись |
Дата |
Лист |
Работа расширения .
Коэффициент распределения теплоты
.
Тогда теплоемкость и показатель политропы для процесса T=const будет равен , т.е. .
Адиабатный процесс – это процесс, протекающий без внешнего теплообмена, т.е. q=0 и (на конечном и бесконечно малом участке процесса).
Если записать для этого случая уравнения 1-го закона термодинамики в виде:
1. или ,
2. или , то после деления (1) на (2) получим:
— показатель адиабаты.
Тогда после интегрирования выражения для конечного процесса 1-2 будем иметь , или — это есть уравнение адиабатного процесса в p-v-координатах, которое является уравнением неравнобокой гиперболы.
Изм. |
Лист |
№ докум. |
Подпись |
Дата |
Лист |
, т.к. Т , то ds=0 и s=const. Таким образом, адиабатный процесс с идеальным газом есть изоэнтропийный процесс.
Для теплового двигателя цикл Карно – прямой цикл, состоящий из двух адиабат и двух изотерм, а для тепловых трансформаторов используется обратный цикл Карно. Тепловые машины, работающие по циклу Карно, имеют наибольшие значения термических кпд по сравнению с любым другим циклом при одинаковых предельных температурах цикла Т1 и Т2.
Рассмотрим прямой цикл Карно.
Графически в p-v и T-s координатах этот цикл можно представить в виде:
где ab – адиабатное сжатие ТРТ;
bc – подвод теплоты q1 в изотермическом процессе при Т1=const;
cd – адиабатное расширение ТРТ;
da – отвод теплоты в холодильник при Т2=const;
q1 = площадь bсFEb – теплота, затраченная на совершение цикла .
q2 = площадь adFЕa – теплота, отведенная в холодильник .
Изм. |
Лист |
№ докум. |
Подпись |
Дата |
Лист |
Тогда термический кпд прямого цикла Карно будет равен:
.
Таким образом, термический кпд цикла Карно зависит только от предельных температур источника и холодильника и не зависит от рода рабочего тела. (Первая теорема Карно). Температура Т1 и Т2 являются основными параметрами цикла Карно, которые полностью определяют этот цикл.
При Т1=Т2 термический кпд цикла Карно , т.е. превращение теплоты в работу невозможно.
При Т2=0 или Т1= , что невыполнимо. Следовательно, в цикле Карно термический кпд цикла всегда меньше единицы: . Таким образом, для прямого цикла Карно .
Любое заключение, вытекающее из анализа прямого цикла Карно, можно рассматривать как формулировку второго закона термодинамики.
В двух разобщенных между собой теплоизолированных сосудах А и В содержатся газы, в сосуде А – аргон, в сосуде В– водород, объем сосуда А– 150 л, сосуда В – 250 л. Давление и температура аргона – р1, t1, водорода – р2, t2. Определить давление и температуру, которые установятся после соединения сосудов и смешения газов. Теплообменом с окружающей средой пренебречь
http://lektsii.com/1-98478.html
http://poisk-ru.ru/s26003t2.html