Уравнение состояния в нормальной форме

Уравнения состояния

При решении некоторых задач теории автоматического управления удобнее представлять дифференциальное уравнение объекта (5.1) или дифференциальные уравнения системы (5.4) и (5.6) в виде совокупности дифференциальных уравнений первого порядка. Не умаляя общности, рассмотрим эти уравнения применительно к управляемому объекту.

Пусть объект описывается дифференциальным уравнением n-го порядка (5.1)

называемых переменными состояния и представим уравнение (5.70) в виде системы дифференциальных уравнений

устанавливается алгебраическим уравнением

Обычно уравнения (5.71) и (5.72) записываются в векторпо-матричной форме:

— матрицы-столбцы. Матрицу-столбец-

могут иметь неодинаковые размерности.

В выборе переменных состояния имеется определенная свобода. Важно только, чтобы они были независимыми. От того, как выбраны переменные, зависит форма уравнений (5.73) и (5.74), т. е. вид входящих в них матриц.

При нормальной форме уравнений состояния в качестве переменных состояния выбираются сама управляемая величина \п- 1 ее производные:

т. с. когда оно имеет вид

Достоинством нормальной формы является то, что переменные состояния имеют ясный физический смысл, а некоторые из них (например, хих2 и х:]) могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.

Для получения уравнений состояния в канонической форме уравнение объекта (5.70) представляется в виде

Если корни рь Ръ-Рп полинома С0(р) действительные однократные, то правая часть (5.80) может быть представлена в виде суммы элементарных дробей:

где К; и ()г- — коэффициенты разложения.

В качестве неременных состояния выбираются слагаемые суммы (5.81):

Большим достоинством канонической формы является диагоиальиость матрицы Л , что существенно упрощает решение уравнения (5.73). Основной недостаток ее состоит в том, что переменные состояния не имеют ясного физического смысла, в результате чего возникает проблема их непосредственного измерения.

Существуют и другие способы выбора переменных состояния, которые здесь не рассматриваются.

Решение векторно-матричиого уравнения (5.73) может быть представлено в виде

Здесь оно без строгого доказательства построено по аналогии с решением линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

общий интеграл которого, как известно, определяется но формуле

называется переходной или фундаментальной матрицей. Если уравнения состояния представлены в канонической форме, то матрица А диагональная и имеет вид (5.85). Тогда

При других формах уравнений состояния для определения фундаментальной матрицы можно использовать известные способы нахождения матричных функций, например, теоремы Кели—Гамильтона или Сильвестра. Можно также использовать формулу

—

При необходимости можно осуществить обратный переход от уравнений состояния к передаточным функциям объекта. Для этого уравнение (5.73) запишем в изображениях по Лапласу:

получается формула (5.88). Из уравнения

(5.74) с учетом (5.89) найдем изображение управляемой величины при нулевых начальных значениях:

При описании свойств объекта уравнениями состояния возникают две проблемы, нетипичные для случая, когда используется одно дифференциальное уравнение я-то порядка. Эти проблемы рассматриваются в следующем параграфе.

Методы переменных состояния в теории автоматического управления. Современная теория автоматического управления

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Характеристическое уравнение располагается в последней строке.

Структурная схема для управляемой канонической формы уравнений состояния

Здесь переменные состояния – фазовые координаты.

Другая форма: в правой части уравнения содержатся производные от входного воздействия

Введем переменные состояния:

Здесь координаты состояния xi – абстрактные переменные.

Этим уравнениям соответствует структура:

Возможно другое представление:

Структурная схема может быть преобразована к виду:

Тогда матрицы A, B, C в уравнениях состояния будут:

Это — наблюдаемая каноническая форма уравнений состояния.

Таким образом, переход от передаточной функции к описанию в переменных состояния является неоднозначным.

Другие канонические формы уравнений состояния.

В двух последних формах матрица А – диагональная.

Преимущества структурной модели :
наглядное представление понятия «состояние систем»,
однозначно представляется структура взаимодействий
между переменными в виде системы с обратными связями,
структурные модели полезны при моделировании САУ
на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.

Пример получения уравнений состояния

П р и м е р. Система описывается дифференциальным уравнением Составим уравнения состояния и структурную схему

Свойства объектов и систем управления. Управляемость .

Определение. Система полностью управляема, если она может быть переведена из любого начального состояния x(0) в начало координат (0, 0,…,0) под действием управления u(t) за конечное время. Теорема Калмана об управляемости. Состояние непрерывной системы управляемо, если и только если ранг матрицы NУ = [B | AB | A2B | . | An-1B] равен размерности пространства состояний n.

Пример 1. Проверим, управляема ли система:

Пример 2. Также проверим управляемость системы:

Т.к. rangNy = 1 , система управляема неполностью. Порядок управляемой части равен 1.

В такой системе есть “висячая” часть на входе.

В случае представления объекта управления моделью типа “вход — выход” условием его управляемости является отсутствие общих корней полиномов А(p) и B(p): Т.е. система управляема, если алгебраические уравнения A(p)=a0pn+a1pn-1+…+an = 0, B(p)=b0pm+b1pm-1+…+bm = 0 не имеют общих корней.

Пример 2. Определим управляемость системы, имеющей передаточную функцию

Прямой расчет корней числителя и знаменателя дает результаты, приведенные в табл.

Таким образом, числитель и знаменатель передаточной функции W(p) имеют два общих корня (-1 -j1.414) и ( -1+j 1.414). Значит, система не управляема. Изменение значений корней для этих пар в числителе или знаменателе переведет систему в ранг управляемых.

Для осуществления управления необходимо иметь информацию о текущем состоянии системы, т.е. о значениях вектора состояния x(t) в каждый момент времени.
Однако некоторые из переменных состояния являются абстрактными, не имеют физических аналогов в реальной системе или же не могут быть измерены. Измеряемыми и наблюдаемыми являются физические выходные переменные y(t).
Таким образом, возникает вопрос: можно ли определить вектор состояния по измеряемому вектору выхода и вектору входа?

Определение. Система называется полностью наблюдаемой, если по результатам измерения входных u(t) и выходных y(t) переменных можно однозначно определить все составляющие вектора x(t) на конечном интервале времени.
Теорема Калмана о наблюдаемости. Система наблюдаема, если и только если ранг матрицы
Nн = [CT | ATCT | (AT)2CT | . | (AT)n-1CT].
равен размерности пространства состояний.

Изменение базиса в уравнениях состояния

О синтезе системы

Синтез системы — это направленный расчет, цель
которого :
построение рациональной структуры системы;
нахождение оптимальных значений параметров отдельных звеньев.
Качество управления можно описать двумя способами.
Первый способ предусматривает или непосредственное задание динамических характеристик выходных координат системы при типовых воздействиях, или задание совокупности прямых и косвенных показателей качества (значение перерегулирования, времени регулирования, статической ошибки, частоты среза, полосы пропускания и т.д.).
Второй способ основан на введении некоторого обобщенного функционала, определяемого всеми переменными системы управления u(t), x(t), y(t).
В теории линейных систем управления широко используются оба указанных способа.

Если передаточная функция системы не имеет нулей, то при выборе ее желаемого полинома D(p) можно руководствоваться стандартными формами (фильтрамиЧебышева, Баттерворта и др.)
Стандартные формы определяют коэффициенты характеристического полинома , обеспечивающие в системе переходные и частотные характеристики с известными показателями качества.
Если же система характеризуется наличием нулей, стандартные формы могут служить в качестве исходного материала для поиска своего оптимального расположения корней.
Одним из основных методов проектирования детерминированных систем управления в пространстве состояний является метод расположения полюсов.

Распределение полюсов системы управления

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом.
Требуемое качество процессов может быть достигнуто заданием распределения полюсов замкнутой системы на комплексной плоскости.
Для системы
полюса системы — это собственные значения матрицы А или корни ее характеристического уравнения

Если уравнения объекта заданы в нормальной форме (Фробениуса), то матрица обратных связей по состоянию
Покажем это:

Нормальная форма матрицы А:

Пусть желаемые полюсы : λ1= -3, λ2= -2 Желаемый характеристический полином: φ=(λ+3)(λ+1)= λ 2+4 λ +3; α1=4, α2=3. Тогда k1 = a2 — α2 = 2 — 3 = -1, k2 = a1- α1 = -3 — 4 = -7. K = |-1 -7| Следовательно: v = u — x1 -7×2 Вычислив матрицу перехода P от исходной к нормальной форме можно получить матрицу обратной связи для исходного представления

Нормальная форма уравнений в пространстве состояний

Нормальная форма уравнений в пространстве состояний получается из стандартной формы (10.1) посредством преобразования подобия. При этом предполагается, что собственные числа матрицы А различные.

Введем линейное преобразование

где М — модальная матрица матрицы А.

Уравнения (10.1) перепишем

. (10.33)

Умножив первое уравнение из (10.33) слева на М -1 , получим

. (10.34)

Так как M — модальная матрица, то

М -1 АМ = L = — диагональная матрица;

где l_i (при i = 1, 2, . , n) — собственные числа матрицы А.

Следовательно, можно записать

, (10.35)

Q=[q₁,q₂. q_n] T — вектор состояния системы, элементами которого являются новые переменные состояния q_i (при i=1, 2, . , n).

Система (10.35) представляет собой нормальную форму уравнений описания систем управления в пространстве состояний.

Нормальная форма уравнений состояния позволяет декомпозировать многосвязную систему n-го порядка на n взаимонесвязанных систем, при этом дифференциальные уравнения становятся развязанными относительно переменных состояния q₁,q₂. q_n, т.е. они имеют вид

, (10.36)

где f_i — внешнее воздействие на i-ю переменную состояния.

Таким образом, переход к нормальной форме существенно упрощает исследование многосвязных систем.

В случае кратных собственных чисел матрицы A диагональная матрица L заменяется матрицей J, которая строится из клеток Жордана, например,

. (10.37)

Таким образом, из сравнения уравнений (10.1) и (10.35) следует, что при математическом описании одного и того же динамического процесса различному выбору переменных состояния соответствуют различные матрицы системы, управления, наблюдения, связи и различные векторные дифференциальные уравнения, каждое из которых полностью определяет выходную величину системы.

Пример. Написать уравнения состояний в нормальной форме для динамической системы, представленной на рис.10.3.

Рис. 10.3. Структурная схема системы в переменных состояния

Решение. Выберем в качестве переменных состояния системы сигналы на выходах интеграторов x₁ и x₂. В этом случае структурной схеме (рис.10.3) соответствует следующая система уравнений (стан-дартная форма)