Уравнения кривых. Спираль Архимеда.
Архимедова спираль — плоская кривая сформированная траекторией произвольной точки, которая размеренно двигается по лучу берущему свое начало в O, одновременно с этим сам луч размерено обращается вокруг O. Перефразировав получаем, расстояние ρ пропорционально углу оборота φ луча. Обороту луча на одинаковый угол соответствует одно и то же увеличение ρ.
Уравнение, характеризующее Архимедову спираль, в полярной системе координат:
где k — сдвиг точки M по лучу r, при обороте на угол, который равен одному радиану.
Обороту прямой на 2π соответствует смещение a = 2kπ.
Число a — шаг спирали.
На основании этого уравнение Архимедовой спирали можно представить таким образом:
Когда поворачиваем луч против движения часовой стрелки, получаем правую спираль, когда поворачиваем — по часовой стрелке — левую спираль. При положительной величине φ формируется правая спираль, отрицательной — левая спираль.
Замечательные кривые
Семейство роз Гранди
Уравнение имеет вид:
a — радиус лепестка;
k — положительный параметр, отвечает за количество лепестков.
Рисунок 1 — роза с тремя лепестками ρ=sin3φ
Рисунок 2 — роза с 16 лепестками ρ=sin8φ
Рисунок 3 — семейство роз Гранди — напоминает ромашку ρ=sin20φ
Рисунок 4 — семейство роз Гранди — линия похожа на зрачок глаза ρ=sin100φ
Логарифмическая спираль
Уравнение логарифмическая спираль (трансцендентная кривая) в полярных координатах:
Кардиоида
Уравнение кардиоиды (перев. греч. сердце и вид) в полярных координатах:
Астроида
Уравнение астроиды (перев. греч. звезда и вид) :
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3
Строфоида
Уравнение строфоиды (перев. греч. крученая лента, поворот) :
y 2 (a — x)= x 2 (a + x)
Уравнение строфоиды в полярной системе координат:
Декартов лист
Уравнение декартова листа :
x 2 + y 2 — 3axy = 0
Уравнение декартова листа в полярной системе координат:
Циссоида
Уравнение циссоиды Диоклеса (перев. греч. плющ, вид) в прямоугольной системе координат :
Параметрическое уравнение циссоиды:
x = a t 2 /(1 + t 2 )
x = a t 3 /(1 + t 2 )
Уравнение циссоиды в полярной системе координат:
Циклоида
Параметрическое уравнение циклоиды :
Кохлеоида
Уравнение кохлеоиды (трансцендентная кривая) в полярных координатах:
Лемниската Бернулли
Уравнение лемниската Бернулли в прямоугольных координатах:
(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 — y 2 )
Уравнение лемниската Бернулли в полярных координатах:
Архимедова спираль рассмотрена здесь подробно.
Применяя математические уравнения замечательных кривых, можно получить вот такие геометрические линии.
Математика, которая мне нравится
Математика для школьников и студентов, обучение и образование
Архимедова спираль
История спирали Архимеда
Архимедова спираль была открыта (правильно, Вы угадали!) Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.
Использование архимедовой спирали в древности
Архимедову спираль использовали как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга. Однако вскоре, когда Архимед попытался вычислить более точно значение , которое упрощало нахождение площади круга, было доказано, что спираль для этого не подходит.
Что такое обобщенная Архимедова спираль?
Обобщенная Архимедова спираль определяется как кривая, которая задается в полярных координатах уравнением (далее положим ). Спираль Архимеда, в частности, принадлежит множеству обобщенных Архимедовых спиралей.
Lituus – загнутый авгурский посох, жезл.
Общий вид в полярных координатах:
Спираль Архимеда:
Гиперболическая спираль:
Спираль Ферма:
Литуус:
Параметризация спирали Архимеда
Начнем с уравнения спирали .
Воспользуемся теоремой Пифагора
– радиус окружности).
Также нам понадобятся формулы
Возведем уравнение спирали в квадрат:
Теперь аналогично выразим :
http://www.matematicus.ru/vysshaya-matematika/analiticheskaya-geometriya-v-prostranstve/zamechatelnye-krivye
http://hijos.ru/2011/03/09/arximedova-spiral/