Уравнение спроса имеет вид найти выигрыш потребителей

Задача №45. Расчёт излишка покупателя

Функция спроса на данный товар:

Функция предложения данного товара

.

Определить излишек покупателя.

Решение:

Определим равновесные значения цены и объёма продаж.

Найдём точку пересечения графика функции спроса с осью OY.

Тогда излишек покупателя будет равен площади заштрихованного треугольника:

Примение аналитическое геометрии и математического анализа в экономики (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

Находим максимум функции T:

T² = -10 0, -1 р0. Найдем выигрыш потребителей от установленной цены р0. Разобьем отрезок [0, х0] на п частей и обозначим точки разбиения:

.

На каждом интервале выберем точку . Выигрыш потребителей на этом отрезке равен:

где .

Суммируя все выигрыши, получаем:

.

Если функция спроса непрерывна и п ® ¥, а длина максимального отрезка разбиения max ½Δх½ ® 0, то эта интегральная сумма имеет предел, равный:

.

Таким образом, выигрыш потребителей:

.

Аналогично находится выигрыш поставщиков:

.

Очевидно, что выигрыш потребителей равен площади, заключенной между кривой спроса D и прямой р = ро. Выигрыш поставщиков равен площади, заключенной между прямой р = ро и кривой предложения S (см. рис. 11).

Известны законы спроса и предложения:

.

Найти выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков, если было установлено рыночное равновесие.

Найдем точку рыночного равновесия:

откуда – не удовлетворяя

Среднее значение. Среднее значение непрерывной функции на промежутке [a, b] находится по формуле

Среднее значение функции используется при вычислении налога на имущество предприятия. Величина налога

где k – коэффициент, зависящий от вида предприятия; f(c) – среднее значение стоимости имущества за год; [a, b] – промежуток времени, равный году.

Интеграл вычисляется приближенно по формуле трапеций с разбиением года на 12 месяцев:

где f(0) – стоимость имущества на 1 января; f(1) – стоимость имущества на 1 февраля; … f(11) – стоимость имущества на 1 декабря; f(12) – стоимость имущества на 1 января следующего года.

Задача максимальной прибыли. В ряде отраслей промышленности, например в горнодобывающей, после некоторого момента времени прибыль начинает убывать. В этом случае необходимо найти момент времени, в который прибыль принимает максимальное значение, и своевременно остановить производство.

Скорости изменения издержек и дохода во времени имеют следующий вид:

Найти максимальное значение прибыли, которое можно получить от этого производства. Когда производство следует остановить?

Алгоритм решения задач D — S

Алгоритм решения задач D — S

Вот предложенный Интернетом алгоритм решения конкретной задачи. Он полезен как обобщающий пример. Но с необходимыми дополнениями и изменениями.
http://www.semestr.ru/ks296

Из темы о спросе и предложении необходимо помнить, что при ПРУ (прочих равных условиях):
-увеличение объёма спроса вызывает рост как величины равновесной цены Ре (Рравн), так и равновесного значения Qе
(Qравн. На графиках авторов Ре и Qе не используются) ;
— сужение спроса приводит к уменьшению и Ре, и Qе;
— повышение объёма предложения способствует возрастанию Qе и снижению Ре (если сохраняется спрос на данные товары и услуги);
— сокращение предложения обусловит падение Qе и рост Ре;
— по закону спроса изменение Qe обратно пропорционально изменению Ре;
— по закону предложения изменение Qe прямо пропорционально изменению Ре
(у авторов в случае изменения спроса, величины Ре и Qe изменяются в одном направлении…);
— при росте спроса и росте предложения увеличивается Qe с разными вариациями Ре (возможно и сохранение прежней цены равновесия);
— при росте спроса и снижении предложения снижается Qe и увеличивается Ре;
— при снижении спроса и росте предложения снижаются Qe и Ре
(у авторов любопытная формула — Если произойдет одновременное изменение и спроса, и предложения, то величины равновесных Ре и Qе определяются в каждом конкретном случае степенью изменения спроса и предложения).

Отсюда необходимые дополнения к графику авторов.

Pmax ; максимальной цене за 1 (единицу) товара, хотя на графике точка указывается на 0.
(выше Pmax потребитель покупать при ПРУ товар не будет).
Pmin; минимальной цене за 1 (единицу) товара, хотя на графике точка указывается на 0 (ниже Pmin производитель продавать товар не будет).

Теперь алгоритм решения конкретной задачи.
Задан равновесный объем, когда:
— функция спроса на данный товар:
Qd = 40 — 2P; отсюда если приравнивать к нулю сразу 2Р = 40, а Р = 20 (; Pmax).
функция предложения:
Qs = -26 + 4Р; откуда если приравнивать к нулю сразу 26 = 4Р, а Р = 6,5 (; Pmin)..

Требуется последовательно:
— построить кривые спроса и предложения;
— определить равновесную цену, равновесный объем продаж;
— найти коэффициент эластичности спроса и предложения в точке равновесия;
— излишек потребителя, излишек производителя;
— определить максимальную цену, по которой может быть куплена первая единица изделия;
— описать последствия принятия государством решения о фиксации цены на 1 ед. выше равновесной;
— описать последствия принятия государством решения о фиксации цены на 1 ед. ниже равновесной;
— показать графически, что потеряют покупатели и производители при установлении государством налога с продажи на единицу данного товара в размере 2 ден. единицы.
— описать последствия введения субсидии государством за каждый проданный товар в размере 2 руб.;
— найти максимальную выручку при равновесной цене.

1) построим кривые спроса и предложения по образцу графика А;

2) Определим равновесную цену, равновесный объем продаж.
В точке равновесия E объем спроса Qs равен объему предложения Qd (d малое D, спрос и объём спроса).
Qd = Qs

40 — 2P = -26 + 4P (цикл привычных математических преобразований 66 = 6P или)
6P = 66
Pравн = 11 — равновесная цена
Qравн = Qd = Qs = -26 + 4*11 = 40 — 2*11 = 18 шт. — равновесный объем продаж

Излишек потребителя (или выигрыш) — это разность объёмов спроса между максимальной ценой, которую он готов отдать за товар ; Pmax, и той, которую он действительно платит. Pе.

Излишек производителя (выигрыш) — эта разность объёмов предложения между рыночной ценой и той минимальной ценой ; Pmin, за которую производители готовы продать свой товар.

Излишек (площадь треугольника) продавца: (Pравн — Ps)Qравн / 2 = (11 — 6,5) * 18/2 = 40,5;
Излишек (площадь треугольника) покупателя: (Pd — Pравн)Qравн /2 = (20 — 11) * 18/2 = 81.

Qd = 0; 40 — 2P = 0; Pd (; Pmax; максимальная цена спроса) = 20;
Qs = 0;-26 + 4Р = 0; Ps (; Pmin; минимальная цена предложения) = 6,5

3) определим максимальную цену, по которой может быть куплена первая единица изделия (по графикам максимальные и минимальные цены приравниваются к нулевым объемам, хотя в реальности – к единице; здесь несовпадение математики и экономики);

Находим максимальную цену, по которой потребитель приобретет первую единицу товара через приравнивание Qd к нулю:
Qd=0
40 — 2P = 0
Р = 20

4) описать последствия принятия государством решения о фиксации цены на 1 ед. выше равновесной;
Pфикс = Pравн + 1 = 11 + 1= 12
Объем спроса Qdфикс = 40 — 2P = 40 — 2*12= 16 шт.
Объем предложения Qsфикс = -26 + 4P = -26 + 4*12 = 22 шт.
После фиксации цены, объем спроса уменьшился на 2 шт. (18 — 16), а излишек производителей увеличился на 4 шт. (22 — 18). На рынке излишек товаров в размере 6 шт. (22 — 16).

5) описать последствия принятия государством решения о фиксации цены на 1 ед. ниже равновесной;
Pфикс = Pравн — 1 = 11 — 1= 10
Объем спроса Qdфикс = 40 — 2P = 40 — 2*10= 20 шт.
Объем предложения Qsфикс = -26 + 4P = -26 + 4*10 = 14 шт.
После фиксации цены, объем спроса увеличился на 2 шт. (18 — 20), а предложение сократилось на 2 шт. (18 — 16). На рынке дефицит товаров в размере 6 шт. (20 — 14).

6) показать графически, что потеряют покупатели и производители при установлении государством налога с продажи на единицу данного товара в размере 2 ден. единицы.
Сдвиг кривой предложения вверх, влево.

Налог = SP0P2E2M1
Для нахождения новой равновесной цены при введении налога с продажи изменяем функцию предложения Qsналог = -26 + 4(P — 2), оставляя без изменения функцию спроса, а затем их приравниваем:
Qsналог = Qd
40 — 2P = -26 + 4(P — 2)
74 = 6P
Pналог = 12,3 — равновесная цена при налоге с продаж;
Qsналог = 40 — 2*12,3 = 15,3

В результате излишек потребителей и производителей сократится на величину площади, соответствующей SPPнE2E и SPP0ME
Излишек продавца: (P0 — Psн)Qsналог / 2 = (10.3 — 6.5) * 15,3/2 = 29.1;
Излишек покупателя: (Pd — Pналог)Qsналог / 2 = (20 — 12,3) * 15,3/2 = 58,9.
15,3 = -26 + 4*P; P0 = 10,3

Разделение налогового бремени между потребителями и производителями зависит от эластичности кривых спроса и предложения.
Если спрос эластичен налоговое бремя ложится на производителя.
Если спрос неэластичен, налоговое бремя несет преимущественно потребитель.
При эластичном предложении налоговое бремя ляжет в основном на потребителя.
При неэластичном предложении налоговое бремя ляжет на производителя.
Доля продавца в новой цене ;Рпрод = Pравн — Psн = 11 — 10,3 = 0,7
Доля покупателя в новой цене ;Рпокуп = Pналог — Pравн = 12,3 — 11 = 1,3
Сумма налоговых поступлений в бюджет: (Pналог — Psн)Qsналог = (12,3 — 10,3)*15,3 = 30,6
Чистые потери от введения налога (чистые потери благосостояния): (12,3-11)*(18-15,3)/2 + (11-10,3)*(18-15,3)/2 = 1,8 + 0,9 = 2,7

7) При введении субсидии государством за каждый проданный товар в размере 2 руб.
Qsсубсидия = -26 + 4(P + 2) = -18 + 4Р
Сдвиг кривой предложения вправо. Субсидирование всегда сопровождается чистыми потерями для общества.
Новая равновесная цена при дотации
40 — 2Р = -18 + 4Р
58 = 6Р
Рсубсидия = 9,7 — равновесная цена при дотации товаров
Qсубсидия = 40 — 2*9,7 = 20,7 — равновесный объем продаж при субсидировании товаров
20,7 = -26 + 4*P; P = 11,7
Доля продавца ;Рпрод = 11,7 — 11 = 0,7
Доля покупателя ;Рпокуп= 11 — 9,7 = 1,3
Объем средств, необходимый для субсидирования:
V = ;Q*;Рпрод = (20,7 — 18)*(9,7-11) = 3,5

8) Максимальная выручка при равновесной цене
W = Q*P = 18*11 = 198
При цене р > р* объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при р < р* - предложения. Необходимо найти цену р, определяющую максимум выручки:
При р*(40 — 2р) максимум достигается в точке р* = 10 (определяем максимум через производную, 40 — 4р = 0 ), выручка W(10) = 10*20 = 200
Таким образом, максимальная выручка W(p) = 200 достигается не при равновесной цене.

9) Найдем коэффициент прямой эластичности спроса и предложения в точке равновесия.
Коэффициент прямой эластичности спроса в точке равновесия.
Функция спроса: Qd = 40 — 2P
Коэффициент наклона прямой спроса: -2.
Pравн = 11 — равновесная цена
Qравн = Qd = Qs = 18 — равновесный объем продаж
Е = -2*11/8 = -2,75

Коэффициент прямой эластичности предложения в точке равновесия.
Функция предложения: Qs = -26 + 4Р
Коэффициент наклона прямой предложения: 4.
Е = 4*11/8 = 5,5

Эти упражнения сравнительно простые и неплохо готовят к официальным тестированиям по «Экономике» и «Экономической теории».