Уравнение статики абсолютно твердого тела

Статика твердого тела

Содержание:

Статикой (от греческого слова «стасис»—неподвижное состояние, покой) — называется учение о равновесии сил, действующих на твердое тело, а также о замене одних систем другими, им эквивалентными.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Статика твердого тела

Статикой называется раздел теоретической механики, который изучает свойства сил и условия равновесия твердых тел.

Основной задачей статики является установление законов равновесия твердых материальных объектов.

В учебном пособии рассматриваются следующие темы статики:

1. связи и их реакции;

2. система сходящихся сил;

3. произвольная плоская система сил;

4. равновесие тел при наличии трения;

6. произвольная пространственная система сил;

7. центр тяжести.

Связи

Связи делятся на несколько типов. Связь — гладкая опора (без трения) — реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре. Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь) — груз подвешен на двух нитях.

Связью называют ограничения, накладываемые на координаты и скорости механической системы, которые должны выполняться на любом её движении. Связь можно описать математически как равенство или неравенство, содержащее время, координаты и скорости.

Основные понятия и аксиомы статики

В теоретической механике пользуются абстрактными представлениями о материальной точке и абсолютно твердом теле.

Материальное тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой.

Абсолютно твердым называют такое тело, в котором расстояние между двумя его точками при всех условиях остается неизменным (иначе говоря, тело не деформируется).

Силой в механике называют векторную величину, которая является мерой механического взаимодействия материальных тел. Единицей измерения силы в системе СИ является 1 Ньютон, который определяется как сила, что придает телу массой в 1 кг ускорение Механическая сила определяется линией действия, направлением и числовым значением силы.

Прямая, вдоль которой направлен вектор силы, называется линией действия силы.

Совокупность сил, приложенных к данному телу, называется системой сил. Система сил, под действием которой тело находится в равновесии, называется эквивалентной нулю, или уравновешенной.

Если система сил эквивалентна одной силе, то такая сила называется равнодействующей данной системы сил.

Решение задач статики базируется на применении ряда аксиом и теорем.

Аксиома 2. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, взаимно уравновешенны тогда и только тогда, когда они равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 3. Приложение или отбрасывание системы взаимно уравновешенных сил не изменяет действие данной системы на абсолютно твердое тело.

Следствие из аксиом 2 и 3. Не изменяя действие данной системы сил на абсолютно твердое тело можно точку приложения каждой силы переносить вдоль линии ее действия в любую точку тела.

Аксиома 4. (аксиома параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил, которые приложены к данной точке абсолютно твердого тела и направлены под углом друг к другу, приложена к той же точке и изображается диагональю параллелограмма, что построен на данных силах, как на сторонах.

Реакции связей

В большинстве задач на равновесие рассматривают несвободные твердые тела, то есть тела, находящиеся под действием других тел, с которыми они взаимодействуют и которые мешают их перемещению.

Все то, что ограничивает перемещение данного тела, называется связью. Связь действует на рассматриваемое тело с некоторой силой, которую называют реакцией связи. Для определения каждой реакции, как и любой силы, необходимо знать ее величину, направление и линию действия.

Несмотря на большое количество физически существующих связей, большинство из них может быть сведено к следующим типам.

Идеально гладкая поверхность

Если сила трения, возникающая между телом и поверхностью (плоскостью) связи незначительна, и при рассматривании реакции поверхности ею можно пренебречь, то поверхность связи называется идеально гладкой.

Если тело опирается на идеально гладкую поверхность (рис.1.1), то реакция такой поверхности или плоскости направлена перпендикулярно их общей касательной и возникает в точке касания.

Идеальная нить

Связь (рис.1.2), выполненная в виде гибкой нерастяжимого нити (веревки, каната, троса, цепи), не дает телу отдаляться от точки подвеса нити по направлению .

Таким образом, реакция натянутой нити будет направлена вдоль нити к точке ее подвеса.

Реакции опор балок

Балкой называется материальное тело, поперечными размерами которого можно пренебречь по сравнению с длиной.

Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора

Цилиндрической шарнирно-неподвижной опорой (цилиндрическим шарниром) называется такое соединение двух тел, которое допускает вращение обоих тел вокруг их общей оси (рис.1.3), или только одного из них относительно другого.

На рис.1.3,а схематически показана конструкция цилиндрического шарнира, а на рис. 1.3, б его условное изображение на схеме. Шарнирно-неподвижная опора препятствует любому поступательному движению тела, но предоставляет ему возможность свободно вращаться вокруг оси шарнира .

Центр шарнира является точкой приложения опорной реакции , величина и направление которой неизвестны.

Реакцию можно разложить на две составляющие и по осям выбранной системы координат (рис.1.4). Одну из осей координат целесообразно направлять вдоль оси балки.

Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора

Шарнирно-подвижная опора отличается от шарнирно-неподвижной тем, что та ее часть, которая опирается на опорную поверхность, не закреплена жестко, а поставлена на катки. Такое закрепление не препятствует перемещению системы по линии качения катков (рис.1.5).

На рис.1.5, а схематически показана конструкция шарнирной опоры, а на рис. 1.5, б ее условное изображение на схеме.

Если не учитывать трения катков, то реакция подвижной опоры будет направлена перпендикулярно плоскости качения катков и проходит через ось шарнира .

Жесткое защемление

Пусть балка своим концом жестко замурована в стенку (рис.1.6). Такое закрепление не допускает ни поступательного движения балки, ни вращательного. Если на балку действуют внешние силы, то в точке защемления возникает как реакция , так и дополнительная пара сил с моментом защемления .

Модуль и направление реакций и момента неизвестны. Рекомендуется разлагать реакцию на две составляющие и , по осям выбранной системы координат. Момент защемления рекомендуется принимать положительным, то есть направленным против хода часовой стрелки.

Сферический шарнир

Сферический шарнир (рис.1.7) допускает вращение стержня в пространстве вокруг точки (центра шарнира).

Реакция опоры на сферическую часть стержня неизвестна по модулю и направлению, но ее линия действия проходит через центр шарнира . Рекомендуется разлагать реакцию сферического шарнира на составляющие , , (рис.1.7) по осям выбранной системы координат.

Реакция невесомого идеального стержня

На рис.1.8 показано закрепление тела с помощью кронштейна, который состоит из стержней, весом которых можно пренебречь. У каждого из стержней на концах закреплены шарниры (, , ), которыми стержни соединяются между собой или присоединяются к другим элементам конструкции.

Поскольку весом стержней и силами трения в шарнирах пренебрегают, то на каждый из стержней будут действовать две уравновешенные силы, которые приложены к шарнирам и направлены вдоль прямой, проходящей через центры шарниров.

Эти силы могут как растягивать () так и сжимать () стержень.

Виды нагрузок, действующих на тела

Нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные.

Сосредоточенные силы прикладываются к телу на площадке, размеры которой очень малы по сравнению с размерами тела, и поэтому в расчетах принимают, что такие силы приложены к какой-либо точке тела. Сосредоточенные силы, как правило, обозначают буквами и . Единицей измерения сосредоточенных сил является Ньютон .

Распределенная нагрузка прикладывается к телу вдоль линии. Величина распределенной нагрузки, действующей на единицу длины тела, называется интенсивностью нагрузки и обозначается буквой . Единицей измерения интенсивности распределенной нагрузки является . Фигура, изображающая распределенную нагрузку, называется эпюрой распределенной нагрузки.

Равномерно распределенную нагрузку (рис.1.9) при решении задачи можно заменить равнодействующей силой . По модулю равнодействующая сила равна площади эпюры и приложена эта сила к точке, лежащей на середине отрезка .

Для нагрузки, распределенной по «закону треугольника» (рис.1.10), интенсивность является величиной переменной, увеличиваясь от нуля к максимальному значению . Равнодействующая такой нагрузки по модулю равна площади эпюры (треугольника) и приложена к точке, которая лежит на расстоянии от стороны эпюры .

Решение задач на тему: Статика твердого тела

Статика — раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

Нахождение объекта равновесия и расстановка сил

Объектом равновесия называется точка, тело или система тел, рассматриваемых в равновесии при решении задачи.

Задача № 1

Невесомая стрела (рис.1.11), которая шарнирно закреплена к стене в точке , удерживается в равновесии тросом . К шарниру прикреплено перекинутый через неподвижный блок трос , к свободному концу которого прикреплен груз весом .

Рассмотреть объект равновесия — шарнир .

Шарнир (точка ) находится в равновесии под действием натяжения троса (нити) , который равен силе тяжести груза ; натяжения троса (нити) , направленной вдоль нити к точке подвеса ; реакции стрелы (идеального стержня) , направленной вдоль оси стержня.

Задача № 2

Невесомые стержни и , что соединены между собой шарниром , к которому подвешен груз весом , удерживаются в горизонтальной плоскости нитью (рис.1.12).

Рассмотреть объект равновесия — шарнир .

Шарнир находится в равновесии под действием силы тяжести груза ; натяжения нити, направленной к точке подвеса ; реакций и стержней, направленных вдоль осей невесомых стержней и .

Задача № 3

Балка (рис.1.13) весом закреплена цилиндрической шарнирно-неподвижной опорой в точке и удерживается в равновесии тросом . К точке балки прикреплен переброшенный через неподвижный блок трос , который нагружен телом весом .

Рассмотреть объект равновесия — балку .

Балка находится в равновесии под действием силы тяжести , приложенной к середине балки; натяжения троса (нити), направленной к точке подвеса нити , натяжения троса (нити), направленной вдоль от точки к точке ; реакции цилиндрического шарнира , которая разложена на составляющие , по осям выбранной системы координат (ось совпадает с осью балки , а ось – перпендикулярна балке). Поскольку трос натянут силой тяжести тела , то по модулю

Задача № 4

Конструкция (рис.1.14) состоит из двух балок: балки весом , которая закреплена цилиндрической шарнирно-неподвижной опорой в точке и опирается в точке на балку ; балки весом , которая закреплена цилиндрической шарнирно-неподвижной опорой в точке и опирается на вертикальную поверхность в точке .

Рассмотреть объекты равновесия:

1. Балку ;

2. Балку ;

3. Составную конструкцию .

1. Объект равновесия — балка

Балка (рис.1.15) находится в равновесии под действием силы тяжести , приложенной к середине балки ; силы тяжести груза ; реакции поверхности балки , направленной перпендикулярно ; реакции цилиндрического шарнира , которая разложена на составляющие и по осям выбранной системы координат .

2. Объект равновесия — балка

Балка (рис.1.16) находится в равновесии под действием силы тяжести , приложенной к середине балки ; реакции гладкой поверхности, направленной перпендикулярно опорной поверхности в точке ; реакции , которая равна по модулю , но направленной в противоположную сторону; реакции цилиндрического шарнира , которая разложена на составляющие и по осям выбранной для первого объекта равновесия системы координат.

3. Объект равновесия — составная конструкция АВСD

Конструкция (рис.1.17) находится в равновесии под действием сил тяжести и балок и ; силы тяжести груза ; реакции опорной поверхности ; реакций цилиндрических шарниров и , которые разложены, соответственно, на составляющие , и , по осям выбранной системы координат .

Задача № 5

Невесомая балка (рис.1.18), на которую действуют распределенная нагрузка интенсивностью и пара сил с моментом , и невесомая балка , к которой на нити прикреплено тело весом , соединены между собой цилиндрическим шарниром и удерживаются в равновесии жестким защемлением в точке и цилиндрической шарнирно-подвижной опорой в точке .

Рассмотреть объекты равновесия:

1. Невесомую балку ;

2. Невесомую балку ;

3. Составную конструкцию .

1. Объект равновесия невесомая балка

Балка (рис.1.19) находится в равновесии под действием: равномерно распределенной нагрузки интенсивностью , действие которой можно заменить сосредоточенной силой ; пары сил с моментом ; реакции шарнирно-подвижной опоры , что направлена перпендикулярно опорной поверхности (под углом к оси балки); реакции цилиндрического шарнира , которая разложена на составляющие и по осям выбранной системы координат.

2. Объект равновесия — невесомая балка

Балка (рис.1.20) находится в равновесии под действием натяжения нити , причем по модулю ; реакции цилиндрического шарнира , которую разложили на составляющие и ; реакции жесткого защемления в точке , которая включает составляющие и и пару сил с моментом .

3. Объект равновесия — составная конструкция

Составная конструкция (рис.1.21) находится в равновесии под действием силы , что заменяет действие распределенной нагрузки интенсивностью ; пары сил с моментом ; натяжения нити ; реакций , и момента , жесткого защемления в точке и реакции шарнирно-подвижной опоры .

Задача № 6

Горизонтальная плита весом (рис.1.22) удерживается в равновесии сферическим шарниром , цилиндрическим шарниром (пространственное изображение) и невесомым стержнем .

Рассмотреть объект равновесия — плиту .

Плита находится в равновесии под действием силы тяжести плиты , что приложена в точке пересечения диагоналей и ; реакции стержня , которая направлена вдоль оси стержня ; реакции сферического шарнира , которая разложена на составляющие , , по осям пространственной системы координат ; реакции цилиндрического шарнира , которая разложена на составляющие и (в направлении оси цилиндрический шарнир не воспринимает усилия).

Задача № 7

Вал (рис.1.23) с насаженными барабаном и шкивом удерживается в горизонтальном положении радиальными подшипниками и . На барабан намотан трос, к концу которого прикреплен груз весом . От вращения вал удерживает пас , ветка которого имеет натяжение , а ветка . Натяжение веток паса создается моментом на шкиву .

Рассмотреть объект равновесия — вал .

Вал находится в равновесии под действием: силы тяжести груза ; натяжения ветки паса ; натяжения ветки паса ; реакций подшипников и , что разложены на составляющие , и , , соответственно. Составляющих реакций подшипников в направлении оси не будет, поскольку радиальные подшипники не воспринимают усилий в этом направлении.

Услуги по теоретической механике:

Учебные лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Физика. 10 класс

Конспект урока

Физика, 10 класс

Урок 14. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1.Условия равновесия тела

4. Центр тяжести

Глоссарий по теме

Статика – раздел механики, в котором изучается равновесие абсолютно твердых тел, называется статикой

Абсолютно твердое тело – модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность точек, расстояния между текущими положениями которых не изменяются.

Центр тяжести – центром тяжести тела называют точку, через которую при любом положении тела в пространстве проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы тела.

Плечо силы — это длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы.

Момент силы — это физическая величина, равная произведению модуля силы на ее плечо.

Устойчивое равновесие — это равновесие, при котором тело, выведенное из состояния устойчивого равновесия, стремится вернуться в начальное положение.

Неустойчивое равновесие — это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, будет еще больше отклоняться от положения равновесия.

Безразличное равновесие системы — равновесие, при котором после устранения причин, вызвавших малые отклонения, система остается в покое в этом отклоненном состоянии

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017.– С. 165 – 169.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс. — М.: Дрофа, 2009.

Степанова Г.Н. Сборник задач по физике. 10-11 класс. — М.: Просвещение. 1999 г. С.48- 50.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Равновесие – это состояние покоя, т.е. если тело покоится относительно инерциальной системы отсчета, то говорят, что оно находится в равновесии. Вопросы равновесия интересуют строителей, альпинистов, артистов цирка и многих-многих других людей. Любому человеку приходилось сталкиваться с проблемой сохранения равновесия. Почему одни тела, выведенные из состояния равновесия, падают, а другие – нет? Выясним, при каком условии тело будет находиться в состоянии равновесия.

Раздел механики, в котором изучается равновесие абсолютно твердых тел, называется статикой. Статика является частным случаем динамики. В статике твердое тело рассматривается как абсолютно твердое, т.е. недеформируемое тело. Это означает, что деформация так мала, что её можно не учитывать.

Центр тяжести существует у любого тела. Эта точка может находиться и вне тела. Как же подвесить или подпереть тело, чтобы оно находилось в равновесии.

Подобную задачу в свое время решил Архимед. Им же были введены понятие плеча силы и момента силы.

Плечо силы — это длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы.

Момент силы — это физическая величина, равная произведению модуля силы на ее плечо.

После своих исследований Архимед сформулировал условие равновесия рычага и вывел формулу:

Это правило является следствием 2-го закона Ньютона.

Первое условие равновесия

Для равновесия тела необходимо, чтобы сумма всех сил, приложенных к телу была равна нулю.

формула должна быть в векторном виде и стоять знак суммы

Второе условие равновесия

При равновесии твердого тела сумма моментов вcех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.

Не менее важен случай, когда тело имеет площадь опоры. Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии, когда вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, не выходит за пределы площади опоры этого тела. Известно, что в городе Пизе в Италии существует наклонная башня. Несмотря на то, что башня наклонена, она не опрокидывается, хотя ее часто называют падающей. Очевидно, что при том наклоне, которого башня достигла к настоящему времени, вертикаль, проведенная из центра тяжести башни, все еще проходит внутри ее площади опоры.

В практике большую роль играет не только выполнение условия равновесия тел, но и качественная характеристика равновесия, называемая устойчивостью.

Различают 3 вида равновесия: устойчивое, неустойчивое, безразличное.

Если при отклонении тела от положения равновесия, возникают силы или моменты сил, стремящиеся вернуть тело в положение равновесия, то такое равновесие называется устойчивым.

Неустойчивое равновесие — это противоположный случай. При отклонении тела от положения равновесия, возникают силы или моменты сил, которые стремятся увеличить это отклонение.

Наконец, если при малом отклонении от положения равновесия тело все равно остается в равновесии, то такое равновесие называется безразличным.

Чаще всего необходимо, чтобы равновесие было устойчивым. Когда равновесие нарушается, то сооружение становится опасным, если его размеры велики.

Примеры и разбор решения заданий

1. Чему равен момент силы тяжести груза массой 40 кг, подвешенного на кронштейне АВС, относительно оси, проходящей через точку В, если АВ=0,5 м и угол α=45 0

Момент силы – это величина равная произведению модуля силы на её плечо.

Сначала найдём плечо силы, для этого нам надо опустить перпендикуляр из точки опоры на линию действия силы. Плечо силы тяжести равно расстоянию АС. Так как угол равен 45°, то мы видим, что АС=АВ

Модуль силы тяжести находим по формуле:

После подстановки числовых значений величин мы получим:

F=40×9,8 =400 Н, М= 400 ×0,5=200 Н м.

2. Приложив вертикальную силу F, груз массой М — 100 кг удерживают на месте с помощью рычага (см. рис.). Рычаг состоит из шарнира без трения и однородного массивного стержня длиной L=8 м. Расстояние от оси шарнира до точки подвеса груза равно b=2 м. Чему равен модуль силы F, если масса рычага равна 40 кг.

По условию задачи рычаг находится в равновесии. Напишем второе условие равновесия для рычага:

.

После подстановки числовых значений величин получим

Статика. Равновесие механической системы (абсолютно твердого тела).

Равновесие механической системы — это состояние, при котором все точки механической системы находятся в покое по отношению к рассматриваемой системе отсчета. Если система отсчета инерциальна, равновесие называется абсолютным, если неинерциальна — относительным.

Для нахождения условий равновесия абсолютно твердого тела необходимо мысленно разбить его на большое число достаточно малых элементов, каждый из которых можно представить материальной точкой. Все эти элементы взаимодействуют между собой — эти силы взаимодействия называются внутренними. Помимо этого на ряд точек тела могут действовать внешние силы.

Согласно второму закону Ньютона, чтобы ускорение точки равнялось нулю (а ускорение покоящейся точки равно нулю), геометрическая сумма сил, действующих на эту точку, должна быть равна нулю. Если тело находится в покое, значит, все его точки (элементы) также находятся в покое. Следовательно, для любой точки тела можно записать:

где — геометрическая сумма всех внешних и внутренних сил, действующих на i-й элемент тела.

Уравнение означает, что для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент этого тела, была равна нулю.

Из легко получить первое условие равновесия тела (системы тел). Для этого достаточно просуммировать уравнение по всем элементам тела:

.

Вторая сумма равна нулю согласно третьему закону Ньютона: векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, т. к. любой внутренней силе соответствует сила, равная по модулю и противоположная по направлению.

.

Первым условием равновесия твердого тела (системы тел) является равенство нулю геометрической суммы всех внешних сил, приложенных к телу.

Это условие является необходимым, но не достаточным. В этом легко убедиться, вспомнив о вращающем действии пары сил, геометрическая сумма которых тоже равна нулю.

Вторым условием равновесия твердого тела является равенство нулю суммы моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно любой оси.

Таким образом, условия равновесия твердого тела в случае произвольного числа внешних сил выглядят так:

.