Уравнение стефана больцмана для теплового

СТЕ́ФАНА – БО́ЛЬЦМАНА ЗАКО́Н ИЗЛУЧЕ́НИЯ

СТЕ́ ФАНА – Б О́ЛЬЦМАНА ЗАКО́ Н ИЗ­ЛУ ­ Ч Е́НИЯ, опи­сы­ва­ет про­пор­цио­наль­ность пол­но­го по­то­ка F энер­гии элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния, ис­хо­дя­ще­го от еди­нич­ной пло­щад­ки аб­со­лют­но чёр­но­го те­ла, 4-й сте­пе­ни аб­со­лют­ной темп-ры T это­го те­ла: F=σT 4 , где σ – ко­эф. про­пор­цио­наль­но­сти ( Сте­фа­на – Больц­ма­на по­сто­ян­ная ). С. – Б. з. и. ус­та­нов­лен эм­пи­ри­че­ски Й. Сте­фа­ном в 1879 из ре­зуль­та­тов из­ме­ре­ний те­п­ло­от­да­чи на­гре­той пла­ти­но­вой про­во­ло­ки. В 1884 Л. Больц­ман тео­ре­ти­че­ски обос­но­вал этот за­кон, ос­но­вы­ва­ясь на тер­мо­ди­на­мич. ана­ли­зе свойств рав­но­вес­но­го элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния. При этом он ис­поль­зо­вал вве­дён­ную Дж. Мак­свел­лом кон­цеп­цию дав­ле­ния рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния на стен­ки тер­мо­ста­та: p=u /3, где u – плот­ность энер­гии из­лу­че­ния. По­сле от­кры­тия в 1900 План­ка за­ко­на из­лу­че­ния ока­за­лось воз­мож­ным свя­зать по­сто­ян­ную σ с ба­зо­вы­ми фи­зич. по­сто­ян­ны­ми: σ=π 2 k 4 /60 с 2 ћ 3 , где k – по­сто­ян­ная Больц­ма­на, с – ско­рость све­та, ћ – по­сто­ян­ная План­ка.

Закон Стефана-Больцмана: определение, формула и вывод

Закон Стефана-Больцмана связан с тепловыми явлениями и процессами излучения в физике. Согласно этому закону излучатель, который представляет собой абсолютно черное тело, испускает энергию в виде электромагнитного излучения, пропорциональную четвертой степени абсолютной температуры, за одну секунду с единицы площади своей поверхности.

Понятие о черном теле

Прежде чем описывать закон излучения Стефана-Больцмана, следует разобраться в вопросе о том, что представляет собой черное тело. Черное тело является теоретическим объектом, который способен поглощать абсолютно всю электромагнитную энергию, которая падает на него. То есть электромагнитное излучение не проходит через черное тело и не отражается от него. Не следует путать черное тело с темной материей в космосе, поскольку черное тело способно излучать электромагнитную энергию. Концепция черного тела введена в физику для упрощения изучения процессов излучения реальных тел. Сам термин «черное тело» был введен Густавом Кирхгофом в 1862 году.

Излучение тел

Каждое реальное тело излучает энергию в виде электромагнитных волн в окружающее пространство. При этом в соответствии с законом Стефана-Больцмана это излучение будет тем интенсивнее, чем выше температура тела. Если тело имеет невысокую температуру, например температуру окружающей среды, то излучаемая им энергия невелика и большая ее часть испускается в виде длинных электромагнитных волн (инфракрасное излучение). Увеличение температуры тела приводит не только к увеличению количества излучаемой энергии, но и к смещению спектра излучения в область более высоких частот. Именно поэтому цвет тела изменяется при его нагреве. Количество энергии, которое испускает тело, нагретое до некоторой конкретной температуры в определенном узком интервале частот, описывается законом Планка.

Количество и спектр излучаемой электромагнитной энергии зависят не только от температуры тела, но и от природы излучающей поверхности. Так, матовая или черная поверхность обладает большей излучающей способностью, чем светлая или блестящая. Это означает, что количество энергии, которое излучает раскаленная углеродная нить, больше, чем, например, нить из платины, нагретая до той же температуры. Закон Кирхгофа устанавливает, что если тело хорошо излучает энергию, значит, оно будет и хорошо ее поглощать. Таким образом, тела черного цвета являются хорошими поглотителями электромагнитного излучения.

Реальные объекты, близкие по своим характеристикам к черному телу

Излучательная и поглощательная способности черного тела являются идеализированным случаем, однако в природе существуют объекты, которые по этим характеристикам в первом приближении можно считать черным телом.

Самым простым объектом, который по своей способности поглощать видимый свет близок к черному телу, является изолированная емкость, имеющая небольшое отверстие в своем корпусе. Через это отверстие луч света попадает в полость объекта и испытывает многократное отражение от внутренних стенок емкости. При каждом отражении часть энергии луча поглощается, и этот процесс продолжается до тех пор, пока вся энергия не будет поглощена.

Еще одним объектом, который практически полностью поглощает падающий на него свет, является сплав никеля и фосфора. Получен этот сплав был в 1980 году индусами и американцами, а в 1990 году он был усовершенствован японскими учеными. Этот сплав отражает всего 0,16 % падающей на него световой энергии, что в 25 раз меньше, чем аналогичная величина для самой черной краски.

Реальным примером излучателя в космосе, который по своим свойствам близок к излучающей способности черного тела, являются звезды галактик.

Энергия излучения черного тела

В соответствии с определением закона Стефана-Больцмана энергия излучения черного тела с поверхности 1 м 2 за одну секунду определяется по формуле:

где T_э — эффективная температура излучения, то есть абсолютная температура поверхности тела, σ — постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,67·10 -8 Вт/(м 2 ·К 4 ).

Чем ближе излучательные характеристики реальных тел к свойствам черного тела, тем ближе будет энергия, рассчитанная по указанной формуле, к излучаемой энергии реальных тел.

Энергия излучения реальных тел

Формула закона Стефана-Больцмана для излучения реальных тел имеет вид:

где ε — коэффициент излучательной способности реального тела, который лежит в пределах 0 5 k 4 /(15c 2 h 3 ),

здесь pi = 3,14 (число пи), k = 1,38·10 – 23 Дж/К (постоянная Больцмана), c = 3·10 8 м/с (скорость света в вакууме), h = 6,63·10 -34 Дж·с (постоянная Планка).

В результате вычислений получаем, что σ = 5,67·10 -8 Вт/(м 2 ·К 4 ), что точно соответствует экспериментально определенному значению.

Пример использования закона Стефана-Больцмана: температура поверхности Солнца

Используя самостоятельно открытый закон, Стефан определил температуру поверхности нашей звезды — Солнца. Для этого он использовал данные Чарльза Сорета, согласно которым плотность потока солнечной энергии в 29 раз больше, чем плотность электромагнитного излучения нагретой металлической пластины. Пластину ученый расположил от детектора электромагнитного потока под тем же углом, под которым видно Солнце с Земли. В результате Сорет оценил температуру пластины в 1900-2000 °C. Стефан, в свою очередь, также учел атмосферное поглощение солнечного излучения на Земле, предположив, что реальный поток энергии от Солнца в 43,5 раза больше такового от нагретой пластины. Отметим, что точные измерения атмосферного поглощения солнечной энергии были проведены в серии экспериментов с 1888 по 1904 год.

Далее, согласно закону Стефана-Больцмана можно легко показать, что температура поверхности Солнца должна быть больше температуры металлической пластины в 2,57 раза (для получения этой цифры необходимо взять корень четвертой степени от отношения энергетических потоков излучения Солнца и пластины). Таким образом, Стефан получил, что температура поверхности нашей звезды равна 5713 К (современное значение составляет 5780 К).

Полученное значение температуры поверхности Солнца являлось самым точным в XIX веке. До работ Стефана другие ученые получали как слишком низкие температуры для поверхности Солнца (1800 °C), так и слишком высокие ее значения (13 000 000 °C).

Закон Стефана-Больцмана

Вы будете перенаправлены на Автор24

Используя формулу Планка для спектральной плотности энергии ($w_<\nu >$), которая имеет вид:

где $\beta =\frac<1>$, k — постоянная Больцмана, $\hbar =1,05<\cdot 10>^<-34>Дж\cdot с,$ с=$3<\cdot 10>^8\frac<м><с>\cdot $- скорость света в вакууме можно рассчитать полную плотность энергии излучения (w), если взять интеграл от плотности энергии $<(w>_<\nu >)$ по всем частотам излучения ($0 \[w=\int\limits^<\infty >_0>d\nu =\frac<\hbar ><<\pi >^2c^3>\int\limits^<\infty >_0<\frac<<\nu >^3d\nu ><\right)\ >-1>>=\frac<\hbar ><<\pi >^2c^3><\left(\frac<\hbar >\right)>^4\int\limits^<\infty >_0<\frac<<\xi >^3d\xi ><-1>\ \left(2\right),>\]

где мы произвели замену переменных в подынтегральном выражении, а именно заменили:

где коэффициент, стоящий перед температурой в четвертой степени ($T^4$) можно вычислить:

Интегральная энергетическая светимость

Гораздо чаще вместо полной плотности энергии равновесного излучения пользуются понятием интегральной энергетической светимости абсолютно черного тела (интегральной излучательной способности абсолютно черного тела) ($<\varepsilon >_T$). Интегральная энергетическая светимость характеризует плотность потока излучения с поверхности по всем направлениям (пространственный угол $2\pi $). Объемная плотность энергии абсолютно черного тела или полная плотность энергии равновесного излучения одинакова во всех точках и зависит только от температуры. С плотностью интегральная излучательная способность абсолютно черного тела связана формулой:

Следовательно, из формул (4) и (5), получаем:

где $ \sigma =\frac<4>=7,6•<10>^<-16>\frac<3•<10>^8><4>=5,7<\cdot 10>^<-8>(Вт\cdot м^<-2>\cdot К^<-4>)$- постоянная Стефана — Больцмана. Более точное значение постоянной равно $\sigma =5,67<\cdot 10>^<-8>Вт\cdot м^<-2>\cdot К^<-4>$. А уравнение (6) называется уравнением Стефана — Больцмана.

Готовые работы на аналогичную тему

Закон Стефана — Больцмана для серого тела

Для серого тела закон Стефана — Больцмана можно записать следующим образом:

где $<\varepsilon >_s$ — энергетическая светимость серого тела, $\alpha $- коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.

Давление, которое производит черное излучение на стенки полости, выразится следующим образом:

Спектральная плотность объемной плотности энергии поля черного тела излучения имеет вид:

где $dw$- объемная плотность энергии поля излучения в интервале частот от $\nu \ до\ \nu +d\nu $, $<\varepsilon >_<\nu ,T\ >$— излучательная способность абсолютно черного тела.

Задание: Поток энергии, который излучается из смотрового окошка плавильной печи, равен Ф. Найдите температуру в печи, если площадь отверстия S.

Будем считать, что плавильная печь является эквивалентной модели абсолютно черного тела.

За основу решения задачи примем формулу, которая определяет поток энергии через отверстие печи:

где $<\varepsilon >_$- излучательная способность абсолютно черного тела, и она может быть найдена по закону Стефана — Больцмана:

где $\sigma$- постоянная Стефана — Больцмана.

Подставим (1.2) в (1.1), получим:

Ответ: Температура в плавильной печи может быть рассчитана по формуле: $T=\sqrt[4]<\frac<\sigma S><Ф>>.$

Задание: Во сколько раз необходимо увеличить термодинамическую температуру абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость возросла в n раз?

За основу решение примем закон Стефана — Больцмана:

Запишем его дважды для состояния (1) с температурой $T_1$ и энергетической светимостью $<\varepsilon >_$, получим выражение:

Для состояния (2) с температурой $T_2$ и энергетической светимостью $<\varepsilon >_$, получим выражение:

Найдем отношение выражений (2.3) и (2.2), учитывая, что по условию задачи $\frac<<\varepsilon >_><<\varepsilon >_>=n$, получим:

Из (2.4) следует, что

Ответ: Полученное равенство (2.5) означает, что термодинамическую температуру абсолютно черного тела необходимо увеличить в $\sqrt[4]$ раз, чтобы его энергетическая светимость возросла в n раз.

Задание: Энергетическая светимость серого тела при температуре T равна $<\varepsilon >_s$. Определите коэффициент теплового излучения данного тела.

В качестве основы для решения примем закон Стефана — Больцмана для серого тела:

Из этого закона выразим коэффициент $\alpha ,$ так как именно он является коэффициент теплового излучения тела в условиях задачи:

Ответ: Коэффициент теплового излучения тела равен $\alpha =\frac<<\varepsilon >_s><\sigma T^4>.$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 12 2021