Уравнение степени чисел 5 класс

Урок математики в 5-м классе по теме «Степень числа. Квадрат и куб числа»

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

1. Ввести понятие степени числа, основания степени и показателя степени, закрепить понятие возведения в степень на решении заданий.
2. Развивать внимание, логическое мышление, математическую речь.
3. Воспитание культуры речи, усидчивости.

Оборудование:

• компьютер,
• мультимедийный проектор,
• экран,
• презентация “Возведение в степень квадрат и куб числа”.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний: (слайд)

Упростить выражение:

• 25х + 15 х;
• 12у – 3у;
• 9k + 9k – 4k;
• 80c-35c-14c;
• 8d+d-9d;
• 163 + 37v + 18v

Решить уравнение:

• 7х+2х = 918;
• 5а-3а = 222;
• 18у – 13у – 5 = 35

Проверьте порядок действий:

1 3 2 4
508 * 609 — (22313 + 345) : 69

4 6 5 2 3 1
34 * 45 + 56 — 78 * 356 : 56 * 4

3. Объяснение нового материала: (слайд)

Вы знаете, что сумму равных слагаемых заменяют произведением,

5+5+5+5+5+5+5+5+5+5= 5*10 это короче и удобней.

А есть ли способ, чтобы заменить произведение равных сомножителей?

Как, например, произведение 5*5*5*5*5*5*5*5*5*5 записать короче?

Такой способ есть 5*5*5*5*5*5*5*5*5*5=5 10

5 10 — читают: “пять в десятой степени”

5 – основание степени

10 – показатель степени, который показывает, сколько множителей было в произведении

В математике произведение одинаковых множителей называется – возведением в степень.

А)Записать в тетрадь произведения в виде степени и вычислить:

Назовите основание и показатель степени:

3 4 ; 5 3 ;2 6 ; 6 1

Если показатель степени равен 1, то что это значит?

Первая степень любого числа равна этому числу.

5. Объяснение нового материала: (слайд)

Квадрат и куб числа а 2 и а 3

Вторая и третья степени числа имеют особые названия.
Вторую степень называют – Квадратом этого числа.
Квадрат числа 2 равен 4,
Квадрат числа 3 равен 9.
Запись 2 2 читают: “Два в квадрате”.

А почему такое название – квадрат?
Ведь у нас никаких геометрических фигур здесь не появилось.
Фигура сейчас появится. И именно квадрат. Рассмотрим квадрат со стороной 2 см. его площадь равна 2*2=2 2 (кв.см)
Рассмотрим шахматную доску. У нее 8 строк (горизонталей) и 8 столбцов (вертикалей).
Клетки этой таблицы-доски называют полями.

Сколько у нее полей? Ответ: 8*8=8 2 =64

Третью степень называют – Кубом этого числа.
Запись 2 3 читают: “Два в кубе”.

Рассмотрим куб, ребро которого имеет длину 2 см, видно, что он сложен из восьми кубиков с ребром 1 см.

Но 8 как раз и равно 2*2*2=2 3

6. Работа с учебником.

№ 653 (выполняет у доски ученик)

А) запишите выражение с помощью символов степени и вычислите его значение:

• 10*10*10
• 6*6*6
• 4*4+8*8
• 2*2*2+3*3

Б) вычислите: 11 2 ; 9 3 ; 34 1 ; 13 2 ; 4 3 .

В) Вопросы:

Что называется возведением в степень?
Произведение одинаковых множителей называется – возведением в степень.

• На примере поясните, какое число называется степенью, основанием степени, показателем степени?
• Дано число. Чему равна его первая степень?
  Первая степень числа равна самому числу.
• Что такое квадрат данного числа ?Куб данного числа?
• Дан куб со стороной а см (а – натуральное число). Из скольких кубиков с ребром 1 см он сложен?
  Из а кубиков.
• Верно ли равенство? 15*3=15 3
  Равенство неверное, т.к. 15 3 =15*15*15

8.Итог урока:

1. Что нового вы узнали на уроке?
2. Какие трудности были у вас на уроке?
3. Что понравилось на уроке?

Самостоятельная работа «Степень числа», 5 класс

Самостоятельная работа по теме: «Степень числа»

Вариант I

1. Запишите выражение и найдите его значение:

а) три в четвертой степени;

б) восемь в квадрате.

1. Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых:

1. Найдите значение выражения:

1. Какой показатель надо вписать вместо звездочки, чтобы получилось верное равенство:

1. Найдите значение выражения:

Самостоятельная работа по теме: «Степень числа»

Вариант II

1. Запишите выражение и найдите его значение:

а) два в пятой степени;

1. Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых:

1. Найдите значение выражения:

1. Какой показатель надо вписать вместо звездочки, чтобы получилось верное равенство:

1. Найдите значение выражения:

Самостоятельная работа по теме: «Степень числа»

Вариант I

1. Запишите выражение и найдите его значение:

а) три в четвертой степени;

б) восемь в квадрате.

1. Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых:

1. Найдите значение выражения:

1. Какой показатель надо вписать вместо звездочки, чтобы получилось верное равенство:

1. Найдите значение выражения:

Самостоятельная работа по теме: «Степень числа»

Вариант II

1. Запишите выражение и найдите его значение:

а) два в пятой степени;

1. Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых:

1. Найдите значение выражения:

1. Какой показатель надо вписать вместо звездочки, чтобы получилось верное равенство:

1. Найдите значение выражения:

Степенные или показательные уравнения.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=a n

3. a n • a m = a n + m

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n ) m = a nm .

Получим 9 х+8 =(3 2 ) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10•4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n ) m = a nm .

4 х = (2 2 ) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n • a m = a n + m :

2 2х+4 = 2 2х •2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х •2 4 — 10•2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х ,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2 :

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12•3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х ) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t₁ = 9
t₂ = 3

Возвращаемся к переменной x.

3 х = 9
3 х = 3 2
х₁ = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:
t₂ = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х₂ = 1
Ответ: х₁ = 2; х₂ = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.