Уравнение стокса измерение вязкости жидкости методом стокса

Министерство образования и науки Российской Федерации
ИРКУТСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт заочно-вечернего обучения

Отчет по лабораторной работе № 2.1
«Определение коэффициента динамической вязкости жидкости методом Стокса»

Студент группы КНбз-20-1_____________Д.А. Коровкин
№ зачетной книжки 20150787
Принял:____________________________ Кузнецова С.Ю.

Различают два типа течения вязкой жидкости – ламинарное и турбулентное. Турбулентным называется такое течение жидкости, при котором её частицы совершают неустановившееся и неупорядоченные движения по сложным траекториям, приводящим к перемешиванию слоёв. Ламинарное – это упорядоченное течение жидкости, при котором траектории движения соседних частиц мало отличаются друг от друга. При ламинарном течении жидкость можно рассматривать как совокупность отдельных слоёв, движущихся с различными скоростями. Это обусловлено тем, что при движении слоев жидкости относительно друг друга с различными скоростями между ними возникает тормозящая сила, это сила внутреннего трения или сила вязкости. Вязкость – это свойство жидкости оказывать противодействие перемещению её слоёв относительно друг друга.

Природа этих сил заключается в том, что слои жидкости, движущиеся с разными скоростями, обмениваются энергией: слои с молекулами, имеющими большую скорость, передают некоторое количество движения более медленным слоям, ускоряя их, но при этом сами подвергаются торможению. Ньютон показал, что сила внутреннего трения, действующая на средние слои, прямо пропорциональна градиенту скорости слоев в направлении, перпендикулярном течению:

Градиент скорости – это изменение скорости двух слоёв жидкости dV на расстоянии между слоями dX. Коэффициент динамической вязкости зависит от природы жидкости и уменьшается с повышением ее температуры. Закон Ньютона определяет также силу трения, возникающую на границе между жидкостью и движущимся в ней твердым телом, например, шариком.

Метод Стокса. Стоксом был предложен метод определения  , основанный на анализе движения шарика, свободно падающего в вязкой жидкости. Это возможно если плотность материала шарика _ш больше плотности жидкости _ж в которой он движется. Характер его движения определяется тремя действующими на него силами (рис. 2): силой тяжести , выталкивающей силой Архимеда и силой вязкого трения . Уравнение движения шарика из основного закона динамики в данном случае принимает вид:

, (1)

где т – масса шарика; – скорость его движения относительно жидкости; – ускорение свободного падения. В проекции на ось 0 х, т.е. на направление движения шарика уравнение (1) запишется:

. (2)

Особенность силы вязкого трения заключается в том, что ее величина зависит от скорости движения тела относительно жидкости. При малых скоростях эта зависимость прямо пропорциональная. В начале, при увеличении скорости тела сила трения возрастает настолько, что движение становится равномерным. Если тело имеет постоянную скорость, т.е. движение установившееся, то и получим уравнение

. (3)

Выразим составляющие силы, входящие в уравнение (3) через параметры жидкости и шарика. Для тел сферической формы, модуль силы вязкого трения определяется формулой Стокса:

(4)

где r – радиус шарика; V – скорость его движения относительно жидкости.

Важно отметить, что формула (4) справедлива только в случае ламинарного течения жидкости относительно шарика (скорость движения шарика должна быть небольшой), а жидкость по всем направлениям простирается безгранично, т.е. размеры сосуда, в котором находится жидкость, должны быть много больше по сравнению с размерами шарика. Условия ламинарности можно считать выполненными, если число Рейнольдса Re _кр

, (5)

где ?_ж — плотность жидкости, а критическое значение числа Рейнольдса для шарика Re _кр , движущегося в жидкости можно принять равным единицы.

Выразим массу шарика через его плотность и объем

, (6)

а выражение для архимедовой силы принимает вид:

(7)

Подставляя выражения (4), (6) и (7) в уравнение (3), и учитывая, что d=2r, после простых преобразований получим

. (8)

Ц
ель работы изучение явления внутреннего трения в жидкостях и опытное определение величины коэффициента вязкости жидкости методом Стокса на виртуальной лабораторной установке.

На цилиндре имеются метки 3 и 4. Расстояние между метками L можно замерить при помощи линейки 6, а диаметр шарика – при помощи микрометра. Время прохождения между метками 3 и 4 можно определить с помощью секундомера 5. Метка 3 помещена на несколько сантиметров ниже верхнего уровня жидкости для выполнения условия равномерного движения шарика в жидкости; V = const на участке L. Цилиндр закрыт пробкой с воронкой, в которую опускается шарик, двигающийся в дальнейшем примерно по оси цилиндра так, чтобы на его движение не влияли стенки. При более точных измерениях необходимо учитывать влияние размеров стеклянного цилиндра.

Эксперимент можно проводить как на физической, так и на виртуальной модели установки.

𝜌_ш = (7,8 ± 0,1) ∙ 10 3 кг/м 3 .
Порядок выполнения работы

1. Получить свой вариант задания и допуск к работе у ведущего преподавателя. Свой вариант (значения L и d) можно взять из таблицы в приложении по номеру зачётной книжки, в нашем случае это:

2. Ознакомился с работой виртуальной лабораторной установки.

3. Провел пробные измерения для различных значений диаметра шарика d и расстояния между метками L, определяя время прохождения между метками при помощи секундомера.

4. Занес в таблицу заданные в вашем варианте значения: расстояние L_iмежду метками 3 и 4 (см. рис.3), диаметр шарика d_i и его плотность ρ_ш, а также плотность исследуемой жидкости ρ_ж.

5. Сбросив шарик в сосуд с жидкостью. В момент касания шариком верхней метки запустил секундомер, а в момент касания шариком нижней метки остановил его. Записал в таблицу показание секундомера t_i.

6. Кнопкой “СБРОС” установил нуль на табло секундомера.

7. Повторил измерения пять раз, задавая различные значения диаметра шариков d_i и расстояние L_i между метками (пункт 3 и 4).

8. Результаты опытов занесены в таблицу измерений.

Таблица 1

Пример расчета для первого эксперимента таблицы 1: скорость шарика 𝑣₁ = L₁ /t₁

9. Вычислить коэффициент вязкости η для каждого из пяти опытов по рабочей формуле (7).

(Па*с)

(Па*с)

(Па*с)

(Па*с)

(Па*с)

Число Рейнольдса

10. Найти среднее значение коэффициента вязкости по формуле

11.Определить абсолютные приборные погрешности прямых измерений (расстояния между метками ∆L, диаметра шарика ∆d, времени его падения ∆t, плотности шарика ∆ρ_ш и жидкости ∆ρ_ж), а также их относительные ошибки ε_L , ε_d , ε_ρ и ε_t.

∆L=0.5 см дано в таблице вариантов;

∆d=0.05 см дано в таблице вариантов;

∆t=0,1 с, так как секундомер цифровой, цена деления его составляет 0,1 с.

12.Оценить полную абсолютную ∆η и относительную ε погрешности.

здесь количество экспериментов n = 5, доверительная вероятность α = 0,95, коэффициент Стьюдента t_0,95;5 = 2,8.

𝜂_𝑖 − 𝜂̅, Па с

1,47

13. Записать конечный результат в виде η= 1,47± 0,05 (Па с)

14. Сравнить полученное значение η со справочными данными. Полученный экспериментальным путем диапазон значений η = 1,47 ± 0,05 (Па с) включает в себя табличное значение коэффициента вязкости для глицерина при комнатной температуре (20 0 С)

η, 10 -3 Па· с

15. По результатам эксперимента сделали вывод: в ходе выполнения работы изучили явления внутреннего трения в жидкостях и опытным путем определили величины коэффициента вязкости жидкости методом Стокса на виртуальной лабораторной установке.

Как определить вязкость жидкости методом Стокса?

Формулу определения вязкости Стокс вывел ещё в 1851 году.

Он получил выражение, описывающее действие силы трения (лобового сопротивления) на круглый объект, движущийся в вязкой жидкости с небольшим числом Рейнольдса.

Чтобы понять, как определять вязкость жидкости методом Стокса необходимо узнать теоретическое описание процесса, вывод формулы и сам описание самого метода.

Всё это и конкретные методы описаны далее в статье.

Содержание статьи

Что такое вязкость

Сама по себе вязкость это свойство жидкости сопротивляться сдвигу слоев. Такой сдвиг выражается в том, что при относительном перемещении слоёв жидкости тот слой, что движется медленнее тормозит слой, который движется быстрее и наоборот.

Вязкость проявляется в наличии между молекулами жидкости сил притяжения, которые пытаются сдерживать движение слоев при перемещении одной части жидкости относительно другой.

По природе все жидкости являются вязкими, потому что между молекулами существуют силы притяжения и отталкивания. Если один слой жидкости вывести из равновесия и сдвигать его относительно другого с некоторой скоростью, то силы взаимного притяжения молекул будут пытаться тормозить это движение.

Движение тела в жидкой среде

Когда твердое тело попадает в жидкость, оно сталкивается с некоторым сопротивлением. Происхождение сил сопротивления жидкости в этом случае может быть объяснено двумя разными механизмами.

Механизм №1 — За твердым телом нет вихрей

Если скорость движения твердого тела маленькая и за ним не образовывается завихрений, то силы сопротивления жидкости характеризуются только вязкостью.

В таком случае слои жидкости, которые прилегают к этому твердому телу, движутся вместе с ним. Но слои жидкости, граничащие с первыми слоями, тоже приходят в движения из-за сил молекулярного притяжения (сцепления).

Таким образом образуются силы, которые затормаживают относительное движение твердого тела в жидкости.

Механизм №2 — При движении тела образуются вихри

Завихрения вокруг твердого тела образуются из-за различия скоростей движения жидкости перед телом и за ним. При этом давление в стационарном потоке жидкости изменяется таким образом, что в области вихрей оно существенном меньше.

Разность давлений в областях перед твердым телом и за ним создает противоположную по направлению движения силу лобового сопротивления жидкости. Эта сила тормозит движение твердого тела.

Сила сопротивления

В случае, когда движение твердого тела в жидкости происходит без образования вихрей, т.е. медленно, сила сопротивления образуется по первому из двух описанных механизмов.

Для тел круглой формы, согласно формуле Стокса, сила сопротивления будет равна:

где μ – вязкость жидкости;
r – радиус шарика;
υ – скорость равномерного движения шарика.

Условие использования формулы

Существует несколько ограничений для применения формулы Стокса.
1. вязкая среда не ограничена стенками и находится в покое
2. скольжений на границах с твердым телом нет
3. движение жидкости ламинарное
4. радиус круглого тела намного больше, чем длина среднего пробега молекул жидкой среды

Формула вязкости

Рассмотрим конкретный случай, когда на шар, движущийся в жидкости действуют три силы:
F_T – сила тяжести;
F_A – сила Архимеда (выталкивающая сила);
T_C – сила лобового сопротивления.

Для круглого шарика сила тяжести будет:

где r –радиус шара;
ρ – плотность шара;
ρ₀ – плотность жидкости;
g – ускорение свободного падения;
υ – скорость равномерного движения шарика;
μ – вязкость жидкости.

В жидкости выталкивающая сила и сила тяжести постоянны. Сила лобового сопротивления пропорциональна скорости движения шарика и на первых этапах она существенно меньше силы тяжести.

При дальнейшем движении шарика наступает момент, когда все три силы уравновешиваются и тогда:

или подставляя формулы

таким образом, определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса сводится к формуле

Определение вязкости методом Стокса

Для того чтобы определить вязкость методом Стокса используют высокий сосуд цилиндрической формы.

На сосуд наносят метки А и В. Такие метки располагаются на заведомо известном расстоянии l друг от друга.

Затем в сосуд наливают исследуемую жидкость выше верхней метки А на 4 – 5 сантиметров. Это необходимо для того, чтобы во время прохождения шариком первой метки его скорость можно было считать установившейся.

Далее шарик бросают в сосуд и секундомером определяют время за которое он проход расстояние от метки А до метки В.

Учитывая, что скорость это отношения длины пути ко времени, т.е.:

и заменяя радиус шарика его диаметром d и определяет коэффициент вязкости жидкости методом стокса

Указанная выше формула применимо в тех случаях, когда шар падает в безграничной среде. Если он падает вдоль оси трубки диаметром R0 (как в этом случае) необходимо ввести поправки на радиус сосуда.

При падении шара радиусом r в трубе радиусом R₀ и высотой h формула будет выглядеть

Исходя из всего вышесказанного получаем, что определение вязкости жидкости методом Стокса требует значения таких параметров, как:
плотность материала шарика;
плотность жидкости;
радиус шарика;
радиус сосуда;
скорость движения шарика.

Видео про методы определения вязкости

Вязкость – это важная характеристика жидкой среды. Её необходимо учитывать при перекачке жидкостей и газов по трубопроводам, смазке машин и механизмов, разливке расплавленных металлов.

Для определения вязкости используют специальные приборы вискозиметры и специальные методы определения. Каждый из методов определения вязкости характеризуется своим набором условий применения.

Но независимо от метода общими остаются:
1. результат измерение не должен зависеть от линейных размеров вискозиметра.
2. не должно быть пристеночного скольжения жидкости.
3. поток жидкости в используемом вискозиметре должен быть ламинарным.

Определение динамической вязкости жидкости по методу Стокса

Лабораторная работа 5

Определение динамической вязкости жидкости по методу Стокса

Приборы и принадлежности

Цилиндр с исследуемой жидкостью; набор шариков; микрометр; секундомер.

Освоить метод определения коэффициента внутреннего трения (динамической вязкости) жидкости и определить его по методу Стокса.

Краткая теория

Вязкость – это свойство жидкостей (и газов) оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой или перемещению твердого тела в этой жидкости. Из-за вязкости происходит превращение кинетической энергии жидкости в тепловую энергию.

При течении реальной жидкости между слоями, имеющими разные скорости, возникают силы трения. Их называют силами внутреннего трения.

В жидкостях силы внутреннего трения обусловлены молекулярным взаимодействием. Перемещение одних слоев жидкости относительно других сопровождается разрывом связей между молекулами соприкасающихся слоев. Движение слоев, имеющих большую скорость, замедляется. Слои, обладающие меньшей скоростью, ускоряются.

Известно, что силы взаимодействия между молекулами ослабевают при повышении температуры жидкости, следовательно, силы внутреннего трения должны убывать с возрастанием температуры.

Вязкость жидкости зависит также от природы вещества и от примесей в ней. При механическом смешивании различных жидкостей вязкость смеси может значительно изменяться. Если при смешивании образуется новое химическое соединение, то вязкость смеси может изменяться в широком диапазоне.

В газах расстояния между молекулами значительно больше радиуса действия межмолекулярных сил, поэтому их внутреннее трение много меньше внутреннего трения в жидкостях.

Для оценки внутреннего трения в жидкости используют динамическую и кинематическую вязкости.

Динамическая вязкость характеризует когезионные свойства жидкости (когезия – сцепление друг с другом частей одного и того же тела, жидкого или твердого. Обусловлено химической связью и молекулярным взаимодействием). Она важна для оценки текучести жидкости при выборе, например, дозирующих устройств (форсунок, жиклеров и т. п.).

Кинематическая вязкость характеризует адгезионные свойства жидкости (адгезия – сцепление поверхностей разнородных тел. Благодаря адгезии возможны нанесение гальванических покрытий, склеивание, сварка и др., а также образование поверхностных пленок).

Эта характеристика важна при подборе смазочных материалов для различных машин и механизмов с целью уменьшения силы трения между частями данных устройств.

Динамическая и кинематическая вязкости связаны между собой соотношением:

где η — динамическая вязкость;

τ — кинематическая вязкость;

ρ — плотность жидкости.

В системе СГС

η измеряется в г/см⋅с = П (пуаз);

В системе СИ

измеряется в Па⋅с;

— в м2/с;

Поскольку, практически определить динамическую вязкость проще, чем кинематическую, обычно и определяют эту характеристику, например, по способу Стокса (метод падающего шарика).

Сущность метода заключается в следующем. Если в сосуд с жидкостью опустить шарик, плотность материала которого больше плотности жидкости, то он начинает падать. При этом на шарик будут действовать три силы: сила тяжести – F, сила Архимеда – FA и сила сопротивления движению– FC (рис. 1).

Рис. 1. Силы, действующие на шарик при его падении в жидкости

В общем случае сила сопротивления движению или сила внутреннего трения определяется по закону Ньютона для жидкостей:

, (2)

где — динамическая вязкость;

— градиент скорости, характеризующий изменение скорости от слоя к слою (рис. 2);

ΔS — площадь соприкасающихся слоев;

знак «–» указывает на то, что сила трения и скорость шарика направлены в противопложные стороны.

Рис. 2. Ламинарное течение жидкости

Из формулы (2) следует, что динамическая вязкость численно равна силе внутреннего трения, действующей на единицу поверхности соприкасающихся слоев при градиенте скорости, равном единице. Полагая в формуле (2) ΔS = 1 м2 , dυ/dz=-1 c-1, получим

.

Следствием закона Ньютона (2) является формула Стокса для тел шарообразной формы, движущихся в жидкости:

, (3)

где — скорость шарика;

— радиус шарика.

Поскольку возрастает с увеличением скорости движения тела, а силы и постоянны, то через некоторое время после начала движения противоположно направленные силы компенсируют друг друга, т. е.

(4)

С этого момента движение шарика будет равномерным.

, а (5)

, (6)

где и — соответственно плотности материала шарика и жидкости, соотношение (4) можно записать в виде:

(7)

Из выражения (7) находят динамическую вязкость .

— расчетная формула (8)

В системе СГС = 981 см/с2.

В формуле (8) соотношение является величиной постоянной для данной плотности материала шарика и плотности жидкости, поэтому при обработке результатов измерений можно один раз вычислить эту постоянную, затем умножают ее на r2 и делят на скорость падения шарика υ.

Следует иметь в виду, что (3) справедлива при ламинарном (безвихревом) течении жидкости. Такое движение реализуется в случае небольшой скорости падения шарика, что возможно, если плотность материала шарика незначительно превышает плотность жидкости.

Прибор представляет собой стеклянный цилиндр, в котором находится исследуемая жидкость. На цилиндре имеются две горизонтальные кольцевые метки a и b, расположенные на некотором расстоянии друг от друга (рис. 1). Верхняя метка находится ниже уровня жидкости в цилиндре на 5 — 8 см для того, чтобы к моменту прохождения шариком верхней метки, геометрическая сумма сил, действующих на шарик, равнялась нулю.

1. Измеряют микрометром диаметр шарика в миллиметрах, переводят миллиметры в сантиметры и находят радиус шарика. Опускают шарик в исследуемую жидкость как можно ближе к оси цилиндра.

2. В момент прохождения шариком верхней метки включают секундомер. При прохождении шариком нижней метки секундомер отключают.

3. Измерения повторить не менее 5 раз. Результаты заносят в таблицу 1.

Необходимые результаты для нахождения коэффициента вязкости жидкости

, см

,г/

,г/

Обработка результатов измерений

1. Вычисляют скорость движения шарика для каждого опыта по

формуле , где l – расстояние между верхней и нижней метками.

2. Рассчитывают значение по формуле (8).

3. Вычисляют средние арифметические значения коэффициента вязкости и абсолютной погрешности измерений и заносят их в таблицу 1.

4. Определяют относительную погрешность измерений по формуле:

.

5. Результаты измерений записывают в виде:

, г/см⋅с.

6. Вычисляют кинематическую вязкость по формуле:

.

Вопросы для подготовки к отчету по работе

Какую жидкость называют идеальной? Какое течение называют ламинарным? Что такое градиент скорости? Сформулируйте закон Стокса. Почему скорость течения в центре реки больше, чем у берегов? Когда движение тела, падающего в жидкости, становится равномерным? Сформулируйте закон всемирного тяготения. Почему для определения вязкости жидкости используют тело шарообразной формы? Какой физический смысл коэффициента вязкости?

10.Единица измерения коэффициента вязкости.

Что называется вязкостью жидкости? От чего зависит коэффициент вязкости? Сформулируйте закон Архимеда. Действует ли выталкивающая сила в данный момент на Вас? Чему равна выталкивающая сила, действующая на шарик, падающий в жидкости? (Формула). Куда направлен вектор силы внутреннего трения и к чему она приложена? Два слоя жидкости, имеющие скорости 2 и 3 см/сек, расстояние между которыми 0,06 м, движутся относительно друг друга. Определите градиент скорости. Как можно уменьшить вязкость жидкости? Зависит ли коэффициент внутреннего трения от высоты цилиндра?

10. Когда движение жидкости становится турбулентным?

Сформулируйте закон Ньютона для внутреннего трения. Река, шириной 50 м, имеет скорость течения в центре 90 см/сек, а у берегов – 10 см/сек. Определите градиент скорости течения. Сравните полученный Вами результат определения коэффициента вязкости жидкости с табличным. Объясните разницу в данных. Переведите единицу измерения коэффициента вязкости в систему СИ. От чего зависит погрешность измерений в данной работе? Почему сила трения в газах меньше, чем в жидкостях? Как зависит коэффициент вязкости жидкости от диаметра цилиндра? Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости? Как движется шарик в жидкости: равномерно, равнозамедленно, равноускоренно?

10.Чем объяснить водовороты в реке?

1. Методические рекомендации к лабораторным работам по физике, ч.1 (механика и молекулярная физика), Пермь, 2005г., стр.38-41.

2. Грабовский физики. 6-е издание.- СПб.: Издательство «Лань», 2002г., стр. 186-191.

3. Кузнецов физика. Издательский отдел ПГТУ, 2003 г. 314 с.