Уравнение стремящееся к самостоятельному решению

«Матрица: революция» — цитаты

Все цитаты и крылатые фразы из фильма «Матрица: революция»

― Все, что имеет начало — имеет и конец.

― Никто не остановит его.Только я.

― Потому что это — мой выбор.

О фильме (Сегодня все кончится. )

Матрица-2 ( Выбор. У людей всегда есть выбор. ..)

В двух словах

Когда не осталось никаких шансов, и гибель Зиона кажется неизбежной. Нам остается только надеяться на чудо. Для чуда нужен Герой. Избранный. И Нео согласен. У него есть «Логос». У него есть Пункт Назначения. И он готов сражаться, даже когда все безнадежно. Потому что это его выбор.

Зачем стоит перечитать цитаты из фильма «Матрица-революция»?

— Насладиться тем, как Пифия троллит Архитектора.
— И как Бэйн-Смит троллит Нео.
— И как Локк троллит сразу троих капитанов.

Прекрасный тонкий троллинг на фоне грандиозных спецэффектов. Даже у Архитектора обнаружилось чувство юмора.

А теперь — цитаты

«Хаммер»: медпункт

/* Нео как бы в коме. Но мозговая активность у него, как будто он подключен к Матрице. WTF? Бэйн лежит рядом. Тоже в коме. У меня нехорошие предчувствия. */

Станция Mobil Ave

/* Он очень сильно заблудился */

― Сати: Меня зовут Сати. А тебя — Нео. Папа сказал, что ты не должен здесь быть. Что ты наверное заблудился. Ты заблудился, Нео?

Квартира Пифии. А вы кто?

/* Да мы сами офигели. А где НАША Пифия? Увы. */

― Пифия: За свою многолетнюю жизнь я убедилась в одном: все получается не так, как тебе хочется.

― Пифия: Я выбрала дорогу, но дорожный налог был намного выше, чем я думала.

― Пифия: Часто правильность выбора определяется необходимостью сделать его еще раз, при том, что цена уже известна.

― Пифия: Знаю, Морфеус. Ты сейчас во власти сомнений, ты колеблешься и подозреваешь.
― Морфеус: Неужели Вы думаете, я Вам поверю, после всего того, что произошло?
― Пифия: Не думаю. Я жду от тебя того, чего ждала всегда. Чтобы ты сам вынес приговор: верить мне или не стоит. Я могу сказать лишь одно: ваш друг в беде и нуждается в помощи. Каждого, кто ему может помочь.

Станция Mobil Ave

/* Вот, кстати, полезная фраза — скажешь что-то не подумав, а потом можно извиниться */

― Рама-Кандра: Не сердитесь, простите её. Прямота — признак искренности.

/* Нео узнал что-то новое про программы. И сильно удивился */

― Нео: Нет, я просто впервые.
― Рама-Кандра: . слышите как программа говорит о любви.
― Нео: Машинам не ведомы эмоции.
― Рама-Кандра: Любовь не эмоция. Любовь, для нас, — это связь двух субъектов.

Матрица: В вагоне метро

/* Морфеус, Тринити и Сераф пытаются споймать Проводника. Но он ушлый, его так просто не ухватишь */

Станция Mobil Ave

/* У Нео просто день откровений. Для Избранного Матрицы он маловато знает о Программах */

― Нео: Вы верите в карму?
― Рама-Кандра: Карма, любовь — это слова. Способ выражения мысли, почему я и послан сюда.

/* Нео запугивает Проводника. Но Проводник почему-то не запугивается. Творцы мест — они такие */

― Нео: Я не хочу тебя трогать.
― Проводник: И не тронешь. Я сотворил это место. Я и правила придумал. Здесь мне никто не в праве угрожать. Я здесь — творец.

Гараж клуба Хель. Мы идем к Мерву!

/* Охранники обзывают Серафа Серафимом без крыльев. Это они зря 😉 */

― Член банды: В эту дверь ты войдешь лишь через мой большой, окоченевший труп.
― Сераф: Да будет так.

/* Сераф стильно немногословен */

― Сераф: С оружием вход в клуб запрещен. Там, внизу, должна быть девушка, принимающая вещи в гардероб. И, если повезет, один парень, проверяющий, нет ли оружия.
― Тринити: А если не повезёт?
― Сераф: То парней будет много.

Клуб Хель — VIP холл

/* Меровинг тоже пытается троллить Серафа. Да они что, сговорились? */

― Меровинг: Блудный сын вернулся. L’ange sans ailes. /* фр.: Ангел без крыльев */

/* Наша троица таки добилась аудиенции Мерва */

― Меровинг: Раз уж ты, мой маленький Иуда, привел их сюда, Я могу предположить, что гадалка нашла новую физическую оболочку. Печально, хотя вполне ожидаемо. Льщу себя надеждой, что она усвоит данный ей урок и запомнит, что действий без последствий не бывает. Когда у меня отнимают что-нибудь, то плата взымается немедленно.

― Меровинг: Мне очень интересно, как некто, не подключенный к Матрице, оказался на вокзале. Вы случайно не в курсе?
― Тринити: Нет.
― Меровинг: Нет? Я так и знал. Но всегда лучше спросить, правда?

/* Вот что он будет делать с глазами Пифии? Или это он метафорически? */

― Меровинг: Я слышал, что забрать это нельзя, это можно лишь получить.
― Морфеус: Что?
― Меровинг: Глаза Пифии.

/* Мерв думал, что владеет ситуацией. Тринити ему объяснила, что он ошибается */

― Тринити: Теперь послушай ты. Давай так: ты отдашь мне Нео или мы погибнем, прямо здесь, прямо сейчас.
― Меровинг: Условие интересное. Ты и правда умрешь ради этого человека?
― Тринити: Будь уверен.

― Персефона: Она это сделает. И если надо, уничтожит любого из нас. Она ведь влюблена.

― Меровинг: Как похоже поведение влюбленных на действия сумасшедших. не так ли?

Кухня Пифии. Нео зашел повидаться

/* Как обычно, ПЕЧЕНЬКИ и вечная мудрость в комплекте */

― Пифия: Печенье хочет любви, как и все остальные.

/* А вот Нео сразу ее узнал. Он проницательный. */

― Пифия: Что-то мы теряем, что-то в нас остается. Я тоже пока не узнаю себя в зеркале, . а леденцы люблю, как раньше.

― Пифия: Никто не знает, что будет после того, как человек сделает выбор, не поняв, из чего пришлось выбирать.

/* Да ты, братец, сам не готов был узнать такое! */

― Нео: Так почему Вы мне не сказали об Архитекторе? Про Зион и про тех, кто был избран до меня Вы тоже мне не говорили. Почему?
― Пифия: Потому что тогда еще не пришло время.
― Нео: А кто решает, когда время придет?
― Пифия: Известно кто. /* Показывает на табличку: «Temet Nosce»: познай самого себя */

― Пифия: Сила Избранного действует не только в этом мире. Но и повсюду, вплоть до того места, откуда она происходит.
― Нео: Откуда?
― Пифия: Из Источника. При встрече с охотниками ты почувствовал эту силу. Но не был готов ею распоряжаться. Ты должен был погибнуть, но видимо, к смерти ты пока еще не готов.

/* Пифия толсто троллит Архитектора. Женщины. */

― Нео: Архитектор предупредил, что если я не вернусь к Источнику, в полночь Зион будет разрушен.
― Пифия: Перестань. Мы с тобой не можем предвидеть последствий нашего выбора, а он последствий самого существования выбора.
― Нео: Почему?
― Пифия: Он не в курсе, что значит само понятие — «Выбор». Для него варианты выбора только в уравнении.

/* И самое главное: Смит уже близко! */

― Пифия: Все, что имеет начало, имеет и конец. Я вижу конец. Вижу грядет тьма. Я вижу, как шагает смерть. И знаю, что кроме тебя помешать ему не может никто.

/* Пифия намекает Нео, как можно решить Проблему. Но Нео пока не догоняет. Да и мы тоже */

― Нео: Кто же он?
― Пифия: Он — это ты. Твоя противоположность, твой антипод, результат уравнения, стремившегося к самостоятельному решению. Все переменные должны быть определены по очереди. Такова его цель: сбалансировать уравнение.

/* Тринити приходит на Станцию за Нео. Промежуточный Хеппи-энд! */

Корабль «Хаммер»

/* Нео вернулся, Бэйн очнулся, и все заверте. */

Матрица: Пифия, Сераф и Смит

/* Смит недобро шутит с Серафом. И обижает девочку, чтобы совсем оплохеть в наших глазах */

― Смит: Привет, привет, давненько не виделись. Помню, сражаться с тобой также нелегко, как с духом.
― Сераф: Я тебя уже побеждал.
― Смит: Да, ты прав, но сейчас, как видишь, несколько иная обстановка.

/* Смит не побоялся замахнуться на Пифию. Ну-ну, смотри не поперхнись, проницательно думаем мы */

― Пифия: Делай, что задумал.
― Смит: Слушаюсь.

«Хаммер». Хорошая новость — «Логос» нашелся!

/* Ниобе рассказывает, что перед крушением видела Пифию. Кончилось как обычно */

Зион: Зал Совета

/* Лок, как обычно, настроен на худшее */

― Советник Хаманн: Коммандер Лок, еще один вопрос. Вы установили связь с «Навуходоносором»?
― Лок: Пока нет никаких оснований полагать, что связь вообще будет установлена.
― Советник Хаманн: Возможно. Но надеяться будем.
― Лок: Для меня это роскошь, которую я не могу себе позволить.

Зион: Шлюз

/* Капитан Мифунэ оставляет Кида в отряде. Предчувствуем: кончится крайне героически */

― Кид: Машины не спросят, сколько мне лет. Все равно меня убьют.
― Мифунэ: И это правда.
― Кид: Дайте мне шанс, сэр. Я вас не подведу.
― Мифунэ: Даю. в противном случае я уподобился бы тем же машинам.

/* А в Матрице творится жуть какая-то. Все сыпется, и система явно нуждается в перезагрузке. Лучше холодной */

Хаммер. Нео хочет поиграть в камикадзе — отправиться в Город Машин

/* И капитан Ниобе предлагает ему свой корабль. Внезапно */

― Роланд: Довольно! Я — капитан корабля и мне решать, куда он полетит. Я предпочту отправить его в ад, чем отдать управление в твои руки.
― Ниобе: Пусть летит на моем.
― Роланд: Что ты говоришь?
― Ниобе: Не вздумай указывать мне, что можно делать, а что нет. Ты уже самоутвердился, произнеся столь пафосную речь.

/* Морфеус тоже проникся, как и мы */

― Ниобе: Два корабля, два пути. Как в пророчестве, да, Морфеус?
― Морфеус: Ты ведь не верила в Избранного.
― Ниобе: И не верю.
― Морфеус: Так почему ты это делаешь?
― Ниобе: Я верю в Нео.

/* Бэйн убивает Мегги, и явно задумал совершить нехорошее с Нео */
/* Тринити и Нео на «Логосе» отправляются в последнюю миссию */

― Тринити: Шесть часов назад я говорила Меровингу, что пойду за тобой куда угодно и все за тебя отдам. Знаешь, что изменилось за эти 6 часов?
― Нео: Не знаю.
― Тринити: Ничего.

/* Все прощаются. Пичаль. */

― Линк: Я не скажу «Прощайте». Я говорю «Удачи».
― Тринити: Спасибо.

― Морфеус: Надеюсь ты понимаешь, что делаешь.
― Нео: Для меня большая честь быть с Вами знакомым.
― Морфеус: Нет, это честь для меня.

Логос: Бэйн, Нео и Тринити

/* Бэйн наговорил гадостей Тринити. Только мне кажется, что он нездоров? */

― Бэйн: Никому не удавалось уходить от меня так часто, как тебе. И всякий раз я думал, что такое больше не повториться. Что уж теперь мы тебя не выпустим, но тебе удавалось ускользать. Я не могу найти подходящее слово, чтобы описать, насколько мне это неприятно.
― Тринити: Что ты говоришь? Не пойму.
― Бэйн: Кажется, твоя смерть доставит мне не меньше удовольствия, чем его.

/* Точно! Он помешался на Нео. Бедный, бедный мистер Смит */

― Бэйн: Мистер Андерсон. Я вижу в этом мире Вы столь же предсказуемы, сколь и в другом.

/* Прежде чем убить, Бэйн хочет немного поговорить. добиться понимания */

― Нео: Чего ты хочешь?
― Бэйн: Я хочу того же, чего и ты.

― Бэйн: Да. Именно, мистер Андерсон. Под маской плоти, стоит взглянуть в тупые коровьи глаза, Вы увидите своего врага.

/* Нео вынужден признать: мистер Смит проник в реальный мир. Некстати он */

― Нет места, где я Вас не найду и куда я не проникну.
― Это невозможно.
― Невозможно? Неизбежно. Прощайте, мистер Андерсон.

/* Бэйн смог ослепить Нео. Но Избранного этим не остановишь! У него остались другие органы чувств */

― Бэйн:Видели бы Вы себя, мистер Андерсон. Слепой Мессия. Вы — символ своего вида, мистер Андерсон. Беспомощные, жалкие люди. Они только и ждут, чтобы их избавили от мучений.
― Нео: Я тебя вижу.

Народ готовится к битве, распределяет задачи и подбадривает друг друга

/* А капитан Ниобе показывает чудеса высшего пилотажа на «Хаммере» */

― Роланд: Тормози, это тебе не «Логос».
― Ниобе: Задержи дыхание Роланд, а то стошнит.
― Роланд: Я и не знал, что этот корабль на такое способен.

/* Хотя «Логос» ей нравился больше. Ну ничего, скоро «Хаммеру» все равно кирдык */

― Ниобе: Черт! Какой же он у вас толстозадый.

Как обычно, все совершают героическое

/* Лок пугает всех рублеными фразами
/* Ниобе лихо крутит кораблем
/* Морфеус старается не сбиться с ритма
/* Капитан Мифунэ показывает боевое самурайское безумие */

/* Кид принимает в Мифунэ задание открыть шлюз.
/* Они оба без лицензии рулят боевым АПУ?! */

― Кид: Капитан. Я не закончил программу подготовки.
― Мифунэ: Как и я.

― Кид: Сместить центр тяжести вперед. Я легок, как перышко, как перышко.

/* Кид и Зи вместе открывают ворота
/* «Хаммер вернулся домой». А тебе, Лок, больше не светит 😉 */

― Морфеус: Ты отличный пилот.
― Ниобе: Кое-что в этом мире не меняется.
― Морфеус: Но становится другим?
― Ниобе: К счастью. Становится другим.

― Зи: Я знала, что ты вернешься. Чувствовала.
― Линк: Я ведь обещал.
― Зи: Ты все же надел его.
― Линк: Смеешься? Я его и не снимал!

/* Еще один промежуточный Хеппи-Энд. Yay! */

Последняя решающая битва Зиона. Шансов — никаких

/* Лок не даст нам порадоваться. Он в своем репертуаре */

― Лок: Три капитана на одном корабле. Могу предположить, что остальные вы потеряли при нелепых обстоятельствах?
― Ниобе: И мы рады тебя видеть, Джейсон.

― Лок: Совет ждет от вас объяснений. Мне же нужно принять срочные меры по предотвращению нашего окончательного поражения.
― Роланд: Я что-то пропустил, коммандер? Мы только что спасли шлюз.

― В этом ваша проблема. Вы не заглядываете и на пять минут вперед. Выстрелом из пушки вы уничтожили все наши оборонительные системы и АПУ.

― Вы спасли шлюз, капитан? Вы отдали его машинам на блюдечке.

Зион: старшие товарищи выслушивают Ниобе и Морфеуса

/* Что Пифия говорила про корабль и самоубийственное путешествие в город Машин? */

― Ниобе: Говорила, что Нео понадобиться моя помощь и мне придется выбирать: помогать ему или нет.
― Морфеус: Нео верит в свой выбор и действует. Я не знаю, верно ли он поступает. Мне неизвестно доберется ли он до своей цели. А добравшись, сможет ли спасти всех нас. В одном я уверен: он не сдастся до последнего вздоха. И мы не должны сдаваться. Он будет бороться.

/* Лок еще не верит. Но он не прочь поверить. Он хотел бы. */

― Советник Диллард: Коммандер, как по-вашему: есть у нас шанс выжить, хоть минимальный?
― Лок: Вам об этом не меня нужно спрашивать, а вот его. /* тыкает пальцем указывает на Морфеуса */
― Советник Диллард: Почему?
― Лок: Он единственный, кто у нас верит в чудеса.

/* Нео и Тринити все ближе. Нео видит код в виде яркого света. Он все круче и круче, хотя и слепой */

― Тринити: Поверю, если ты скажешь, что мы справимся.
― Нео: Мы справимся. Справимся.

/* Логос добрался до города Машин. Но Тринити умирает. словно лист на ветру. */

― Тринити: Я сделала все, что в моих силах. Теперь ты будешь действовать один. Ты должен довести дело до конца. Ты должен спасти Зион.
― Нео: Я не смогу. Без тебя не смогу.
― Тринити: Нет, сможешь. Ты спасешь город. Я в это верю. И всегда верила.

И Нео отправился говорить с Богом-Машин aka Deus Ex

/* Про Смита и спасение Матрицы */

― Нео: Никто не остановит его. Только я.

― Deus Ex: Ты нам не нужен. Нам никто не нужен.
― Нео: Значит я ошибся, и тебе ничего не остается, как убить меня.
― Deus Ex: Чего ты хочешь?
― Нео: Мира.

/* Нео подключают к Матрице. Смит ждет.
/* Машины-охотники прекращают пожирать Зион.
/* Все понимают, что надежда-то есть! */

Эпическая Битва Нео и Смита

― Смит: Мистер Андерсон, с возвращением. Нам Вас не доставало. Как Вам мое произведение?
― Нео: Сегодня все кончится.

― Смит: Я знаю это, я видел. Все мои воплощения будут наслаждаться шоу в сторонке — ведь нам уже известно, кто сегодня выйдет победителем.

Битва, часть 1: драка, полеты и воспоминания.

/* задушевный разговор старых знакомых */

― Смит: Чувствуете, мистер Андерсон, вот она смерть, вот она. Я должен Вас поблагодарить, ведь в конце концов именно на Вашем примере я понял в чем смысл любой жизни. В том, что она когда-нибудь закончиться.

Битва, часть 2: в небе они тоже могут

/* Мистер Смит спрашивает у Нео, зачем он продолжает борьбу */

― Почему, мистер Андерсон, почему? Во имя чего? Что Вы делаете? Зачем, зачем встаете? Зачем продолжаете драться? Неужели Вы верите в какую-то миссию или Вам просто страшно погибнуть? Так в чем же миссия, может быть Вы откроете? Это свобода, правда, может быть мир или Вы боретесь за любовь? Иллюзии, мистер Андерсон, причуды восприятия! Хрупкие логические теории слабого человека, который отчаянно пытается оправдать свое существование: бесцельное и бессмысленное. Но они, мистер Андерсон, как и Матрица, столь же искусственны. Только человек может выдумать скучное и безжизненное понятие «любовь». Вам пора это увидеть, мистер Андерсон, увидеть и понять: Вы не можете победить, продолжать борьбу бессмысленно! Почему, мистер Андерсон, почему Вы упорствуете?

/* Вот она, главная тайна Избранного! */

― Нео: Потому что это — мой выбор.

Битва, часть 3: Супер-кратер рядом с той самой телефонной будкой

/* Смит хорош, без сомнения. Но Нео никогда не сдается */

― Смит: Это мой мир! МОЙ МИР!

/* И тут Смит выдает главную подсказку, потому что он уже не просто Смит. Он Смит, в котором живет Пифия */

― Смит/Пифия: Постойте. Я предвидел это. Это же, это конец. Да, я видел именно это место, Вы лежите, а я. Я. Я стою здесь, вот здесь, и мы. и потом я что-то говорю. Ах да. Все то, что имеет начало, имеет и конец, Нео.

/* И Нео все понял! Он теперь знает, что делать */

― Смит/Пифия: Что? Что я сейчас сказал? Нет. Нет, это неправильно, невозможно. Не подходите ко мне!

― Нео: Чего же ты боишься?
― Смит/Пифия: Это трюк!
― Нео: Ты был прав, Смит. Ты всегда был прав. Это действительно неизбежно.

/* Нео никогда не сдается.
/* Но если нужно — он и это сделает
/* Несколько коротких секунд Смит наслаждался победой
/* Deus Ex пропускает через Нео ток
/* антивирус проник в Смита
/* и потом все кончилось. */

― О, нет, нет, нет. Нет, это несправедливо.

/* Прощайте, мистер Смит. Мы вас не забудем. */

Наступил Мир и прекрасный Новый рассвет в Матрице

/* Пока Зион отмечает, Пифия разговаривает с Архитектором */

― Архитектор: Ты втянулась в очень опасную игру.
― Пифия: Всякое изменение — риск.

― Архитектор: И как долго продлится мир по-твоему?
― Пифия: Сколько смогут удержать.

/* Всем спасибо. Все свободны! Те, кто захочет, конечно */

― Пифия: Что будет с остальными?
― Архитектор: С кем?
― Пифия: С теми, кто хочет вырваться из Матрицы.
― Архитектор: Разумеется, они обретут свободу.

― Пифия: Вы даете слово?
― Архитектор: Кто я по-твоему? Человек?

/* Пифия, Сати и Сераф. И радуга для Нео */

― Пифия: Это сказочно. Думаю, он будет доволен.
― Сати: Мы его увидим когда-нибудь?
― Пифия: Я думаю, увидим. Однажды.

/* Самый главный вопрос. Это был хитрый продуманный план? Или просто повезло? */

― Сераф: Вы знали, что все закончится именно так?
― Пифия: Ну что ты! Конечно нет. Просто я верила в это. Верила я в это.

Полный и окончательный Хеппи-Энд.

И ведь что интересно.

Как вы лодку корабль назовете

В миссию спасения отправляется «Логос». Потому что именно знание поможет в борьбе с машинами. Знание, интуиция и свободный выбор.

А вернуть шлюз отправится «Хаммер». Молоток — прекрасное оружие. Но лишь ненадолго, и не в любой ситуации. Не так много вокруг гвоздей.

А кто больше всех получил в итоге?

Морфеус! Он получил мирный Зион, и еще девушку впридачу. Все честно.

Лицо «Deus Ex Machina»

Было смоделировано на основе фотографий ребенка — племянника Энди Вачовски.

Ужасно жалко Смита

Когда он так жалостно: Нет, нет, это нечестно.

Да, брат, нечестно. Но что ж делать? Ты сделал неправильный ход, может быть. Не надо было тебе Нео того, кирдыкать. Вы с ним как близнецы-братья.

А что, что надо было ему сделать? Даже и не знаю. Но кончилось плохо (для Смита, я имею в виду).

Чему как бы учат нас цитаты из фильм «Матрица-революция»

Часто правильность выбора определяется необходимостью сделать его еще раз, при том, что цена уже известна.

И если вы готовы сделать это снова — значит, вы все сделали правильно. Мои поздравления.

Смотрите хорошие фильмы — и будет вам счастье.
И помните: Кое-что в этом мире не меняется. Но, к счастью, становится другим.

Присоединяйтесь, барон. Присоединяйтесь!

Понравился пост? Любите хорошие цитаты?
Тогда давайте не будем терять друг друга!
Оставайтесь на связи:

А еще можно подписаться на выпуски нашей рассылки. И получить подарок — книгу «365 цитат о любви». Самые трогательные, неожиданные и смешные.

О фильме (Сегодня все кончится. )

Матрица-2 ( Выбор. У людей всегда есть выбор. ..)

Ссылки по теме

Матрица: Перезагрузка на Википедии. С душой. Как для себя.

Матрица: Перезагрузка на imdb.com. Все, что нужно. И даже кое-что еще.

Присмотреть или прикупить на Озоне:

— 3 DVD — Матрица — трилогия. Ну что можно сказать? Праздник в вашем доме. И нет никакой ложки ;).

Что-нибудь еще? Да, их есть у меня.

V — значит вендетта (Под этой маской — идея, мистер Криди. )

Бесславные ублюдки (Однажды. в оккупированной нацистами Франции. )

Бойцовский клуб (Первое правило клуба: не упоминать о бойцовском клубе)

Криминальное чтиво (Гамбургеры! Краеугольный камень здорового питания. )

Темный рыцарь (Чё ты такой серьёзный?)

Чужие (Уровень интеллекта так сильно упал, пока меня не было?)

Шерлок — сериал (Я не психопат, а высокоактивный социопат)

Начало (Какой самый живучий паразит? Бактерия? Вирус? Кишечный глист? Идея)

Ранго (Без паники. Но ты проглотила план Б. )

А на посошок.

— Когда идешь за медом — главное, чтоб пчелы тебя не заметили.

— Я не скажу, что это подвиг. Но вообще что-то героическое в этом есть.

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5 .

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x , значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10 . Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8 . Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4. Рассмотрим равенство

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10 , а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10 . Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10 . Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x , мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2 . Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x , нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6 . Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x , мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6 . Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x , нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6 . Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Отсюда .

Решим уравнение x × 3 = 27 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Отсюда .

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x , нужно частное 3 умножить на делитель 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x , нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
• Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x . После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56 , мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56 . Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2 . Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56 , а затем в уравнение 28x = 56 , которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56 , которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5x = 10 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10 . В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 4x , а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12 . В результате получили равносильное уравнение 4x = 4 . Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1

Пример 3. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x , а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x . Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2 . Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12 . В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15 . Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5 . Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x , сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x . Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A , а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B . То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B , как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 . Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2 . Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14 , нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1 .

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x , а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х , нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1 .

или разделить обе части уравнения на −1 , что еще проще

Итак, корень уравнения равен 5 . Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5

Значит уравнения и равносильны.

Пример 2. Решить уравнение

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1 .

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения на −1 , мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на −1 . Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77 , и разделим обе части на 7

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5

Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Далее разделить обе части на 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9 .

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9) , которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0 . Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0 . Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9 . Проверка показывает, что корень верный:

Пример 2. Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2) . А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2) ).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14 . Это равенство будет получаться при любом x

Пример 2. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x , левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пусть

Пример 2. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y . Например, пусть y = 3 .

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t . Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50

Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10 . Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c . Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0) , поскольку деление на ноль на допускается.

Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x , сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b . Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d) , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4) . Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d) . Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d . Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0) . Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d) . В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a)

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2 (x + 3) = 16 . Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2 x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2 x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x , разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2 (x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10 , для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x . Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0 . При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5 . Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0 , и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3 , и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6 , то уравнение примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0 . Это то же самое уравнение, что и ax = b , но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0 . Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Об уравнениях высших степеней

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:

Возвратные биквадратные уравнения

Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:

В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:

Как видно, решать такие уравнения совсем не просто. Но я всё равно разберу и этот случай. Начинается решение с деления всего уравнения на x^2. Далее мы группируем, здесь я специально ввёл дополнительную строку для ясности. После этого мы совершаем хитрость, и вводим в первую скобку 2, которую мы сначала прибавляем, а после вычитаем, сумма всё равно не изменится, зато теперь мы можем свернуть эту скобку в квадрат суммы.

Уберём -2 из скобки, предварительно домножив его на a, после чего вводим новую переменную, t и получаем квадратное уравнение.

А теперь перейдём к примеру:

Основная часть так же как и в обобщённом алгоритме, делим на x^2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.