Уравнение сверхидентифицируемо если d 1

Ответы на тесты по эконометрике

Q=………..min соответствует методу наименьших квадратов

Автокорреляция — это корреляционная зависимость уровней ряда от предыдущих значений.

Автокорреляция имеется когда каждое следующее значение остатков

Аддитивная модель временного ряда имеет вид: Y=T+S+E

Атрибутивная переменная может употребляться, когда: независимая переменная качественна;

В каких пределах изменяется коэффициент детерминанта: от 0 до 1.

В каком случае модель считается адекватной Fрасч>Fтабл

В каком случае рекомендуется применять для моделирования показателей с увелич. ростом параболу если относительная величина…неограниченно

В результате автокорреляции имеем неэффективные оценки параметров

В хорошо подобранной модели остатки должны иметь нормальный закон

В эконометрическом анализе Xj рассматриваются как случайные величины

Величина доверительного интервала позволяет установить предположение о том, что: интервал содержит оценку параметра неизвестного.

Величина рассчитанная по формуле r=…является оценкой парного коэф. Корреляции

Внутренне нелинейная регрессия — это истинно нелинейная регрессия, которая не может быть приведена к линейной регрессии преобразованием переменных и введением новых переменных.

Временной ряд — это последовательность значений признака (результативного переменного), принимаемых в течение последовательных моментов времени или периодов.

Выберете авторегрессионную модель Уt=a+b0x1+Ɣyt-1+ƹt

Выберете модель с лагами Уt= a+b0x1…….(самая длинная формула)

Выборочное значение Rxy не > 1, |R|

Гомоскидастичность – это когда дисперсия остатков постоянна и одинакова для всех … наблюдений.

Дисперсия — показатель вариации.

Для определения параметров неиденцифицированной модели применяется.: не один из сущ. методов применить нельзя

Для определения параметров сверх иденцифицированной модели примен.: применяется. 2-х шаговый МНК

Для определения параметров структурную форму модели необходимо преобразовать в приведенную форму модели

Для определения параметров точно идентифицируемой модели: применяется косвенный МНК;

Для оценки … изменения y от x вводится: коэффициент эластичности:

Для парной регрессии ơ²b равно ….(xi-x¯)²)

Для проверки значимости отдельных параметров регрессии используется: t-тест.

Для регрессии y=a+bx из n наблюдений интервал доверия (1-а)% для коэф. b составит b±t…….·ơb

Для регрессии из n наблюдений и m независимых переменных существует такая связь между R² и F..=[(n-m-1)/m]( R²/(1- R²)]

Доверительная вероятность – это вероятность того, что истинное значение результативного показателя попадёт в расчётный прогнозный интервал.

Допустим что для описания одного экономического процесса пригодны 2 модели. Обе адекватны по f критерию фишера. какой предоставить преимущество, у той у кот.: большее значения F критерия

Допустим, что зависимость расходов от дохода описывается функцией y=a+bx среднее значение у=2…равняется 9

Если Rxy положителен, то с ростом x увеличивается y.

Если в уравнении регрессии имеется несущественная переменная, то она обнаруживает себя по низкому значению T статистки

Если качественный фактор имеет 3 градации, то необходимое число фиктивных переменных 2

Если коэффициент корреляции положителен, то в линейной модели с ростом х увеличивается у

Если мы заинтересованы в использовании атрибутивных переменных для отображения эффекта разных месяцев мы должны использовать 11 атрибутивных методов

Если регрессионная модель имеет показательную зависимость, то метод МНК применим после приведения к линейному виду.

Зависимость между коэффициентом множественной детерминации (D) и корреляции (R) описывается следующим методом R=√D

Значимость уравнения регрессии — действительное наличие исследуемой зависимости, а не просто случайное совпадение факторов, имитирующее зависимость, которая фактически не существует.

Значимость уравнения регрессии в целом оценивают: -F-критерий Фишера

Значимость частных и парных коэф. корреляции поверен. с помощью: -t-критерия Стьюдента

Интеркорреляция и связанная с ней мультиколлинеарность — это приближающаяся к полной линейной зависимости тесная связь между факторами.

Какая статистическая характеристика выражается формулой R²=…коэффициент детерминации

Какая статистическая хар-ка выражена формулой : r_xy=Ca(x;y) разделить на корень Var(x)*Var(y): коэффициент. корреляции

Какая функция используется при моделировании моделей с постоянным ростом степенная

Какие точки исключаются из временного ряда процедурой сглаживания и в начале, и в конце.

Какое из уравнений регрессии является степенным y=a˳aͯ¹a

Классический метод к оцениванию параметров регрессии основан на: – метод наименьших квадратов (МНК)

Количество степеней свободы для t статистики при проверки значимости параметров регрессии из 35 наблюдений и 3 независимых переменных 31;

Количество степеней свободы знаменателя F-статистики в регрессии из 50 наблюдений и 4 независимых переменных: 45

Компоненты вектора Ei имеют нормальный закон

Корреляция — стохастическая зависимость, являющаяся обобщением строго детерминированной функциональной зависимости посредством включения вероятностной (случайной) компоненты.

Коэффициент автокорреляции: характеризует тесноту линейной связи текущего и предстоящего уровней ряда

Коэффициент детерминации — показатель тесноты стохастической связи в общем случае нелинейной регрессии

Коэффициент детерминации – это величина, которая характеризует связь между зависимыми и независимыми переменными.

Коэффициент детерминации – это квадрат множественного коэффициента корреляции

Коэффициент детерминации – это: величина, которая характеризует связь между независимой и зависимой (зависящей) переменными;

Коэффициент детерминации R показывает долю вариаций зависимой переменной y, объяснимую влиянием факторов, включаемых в модель.

Коэффициент детерминации изменяется в пределах: – от 0 до 1

Коэффициент доверия — это коэффициент, который связывает линейной зависимостью предельную и среднюю ошибки, выясняет смысл предельной ошибки, характеризующей точность оценки, и является аргументом распределения (чаще всего, интеграла вероятностей). Именно эта вероятность и есть степень надежности оценки.

Коэффициент доверия (нормированное отклонение) — результат деления отклонения от среднего на стандартное отклонение, содержательно характеризует степень надежности (уверенности) полученной оценки.

Коэффициент корелляции Rxy используется для определения полноты связи X и Y.

Коэффициент корелляции меняется в пределах : от -1 до 1

Коэффициент корелляции равный 0 означает, что: –отсутствует линейная связь.

Коэффициент корелляции равный 1 означает, что: -существует функциональная зависимость.

Коэффициент корреляции используется для: определения тесноты связи между случайными величинами X и Y;

Коэффициент корреляции рассчитывается для измерения степени линейной взаимосвязи между двумя случайными переменными.

Коэффициент линейной корреляции — показатель тесноты стохастической связи между фактором и результатом в случае линейной регрессии.

Коэффициент регрессии — коэффициент при факторной переменной в модели линейной регрессии.

Коэффициент регрессии b показывает: на сколько единиц увеличивается y, если x увеличивается на 1.

Коэффициент регрессии изменяется в пределах: применяется любое значение ; от 0 до 1; от -1 до 1;

Коэффициент эластичности измеряется в: неизмеримая величина.

Критерий Дарвина-Чотсона применяется для: – отбора факторов в модель; или – определения автокорреляции в остатках

Критерий Стьюдента — проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии и значимости коэффициента корреляции.

Критерий Фишера показывает статистическую значимость модели в целом на основе совокупной достоверности всех ее коэффициентов;

Лаговые переменные : – это переменные, относящиеся к предыдущим моментам времени; или -это значения зависим. перемен. за предшествующий период времени.

Лаговые переменные это значение зависимых переменных за предшествующий период времени

Модель в целом статистически значима, если Fрасч > Fтабл.

Модель идентифицирована, если: – число параметров структурной модели равно числу параметров приведён. формы модели.

Модель неидентифицирована, если: – число приведён. коэф . больше числа структурных коэф.

Модель сверхидентифицирована, если: число приведён. коэф. меньше числа структурных коэф

Мультиколлениарность возникает, когда: ошибочное включение в уравнение 2х или более линейно зависимых переменных; 2. две или более объясняющие переменные, в нормальной ситуации слабо коррелированные, становятся в конкретных условиях выборки сильно коррелированными; . в модель включается переменная, сильно коррелирующая с зависимой переменной.

Мультипликативная модель временного ряда имеет вид: – Y=T*S*E

Мультипликативная модель временного ряда строится, если: амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается

На основе поквартальных данных…значения 7-1 квартал, 9-2квартал и 11-3квартал …-5

Неправильный выбор функциональной формы или объясняющих переменных называется ошибками спецификации

Несмещённость оценки параметра регрессии, полученной по МНК, означает: – что она характеризуется наименьшей дисперсией.

Одной из проблем которая может возникнуть в многофакторной регрессии и никогда не бывает в парной регрессии, является корреляция между независимыми переменными

От чего зависит количество точек, исключаемых из временного ряда в результате сглаживания: от применяемого метода сглаживания.

Отметьте основные виды ошибок спецификации: отбрасывание значимой переменной; добавление незначимой переменной;

Оценки коэффициентов парной регрессии является несмещённым, если: математические ожидания остатков =0.

Оценки параметров парной линейной регрессии находятся по формуле b= Cov(x;y)/Var(x);a=y¯ ­bx¯

Оценки параметров регрессии являются несмещенными, если Математическое ожидание остатков равно 0

Оценки параметров регрессии являются состоятельными, если: -увеличивается точность оценки при n, т. е. при увеличении n вероятность оценки от истинного значения параметра стремится к 0.

Оценки парной регрессии явл. эффективными, если: оценка обладают наименьшей дисперсией по сравнению с другими оценками

При наличии гетероскедастичности следует применять: – обобщённый МНК

При проверке значимости одновременно всех параметров используется: -F-тест.

При проверке значимости одновременно всех параметров регрессии используется: F-тест.

Применим ли метод наименьших квадратов для расчетов параметров показательной зависимости применим после ее приведения

Применим ли метод наименьших квадратов(МНК) для расчёта параметров нелинейных моделей? применим после её специального приведения к линейному виду

С помощью какого критерия оценивается значимость коэффициента регрессии T стьюдента

С увеличением числа объясняющих переменных скоррестированный коэффициент детерминации: – увеличивается.

Связь между индексом множественной детерминации R² и скорректированным индексом множественной детерминации Ȓ² есть

Скорректиров. коэф. детерминации: – больше обычного коэф. детерминации

Стандартизованный коэффициент уравнения регрессии Ƀk показывает на сколько % изменится результирующий показатель у при изменении хi на 1%при неизмененном среднем уровне других факторов

Стандартный коэффициент уравнения регрессии: показывает на сколько 1 изменится y при изменении фактора xk на 1 при сохранении др.

Суть коэф. детерминации r 2 _xy состоит в следующем: – характеризует долю дисперсии результативного признака y объясняем. регресс., в общей дисперсии результативного признака.

Табличное значение критерия Стьюдента зависит от уровня доверительной вероятности и от числа включённых факторов и от длины исходного ряда.(от принятого уровня значимости и от числа степеней свободы ( n – m -1))

Табличные значения Фишера (F) зависят от доверительной вероятности и от числа включённых факторов и от длины исходного ряда (от доверительной вероятности p и числа степеней свободы дисперсий f1 и f2)..

Уравнение в котором H число эндогенных переменных, D число отсутствующих экзогенных переменных, идентифицируемо если D+1=H

Уравнение в котором H число эндогенных переменных, D число отсутствующих экзогенных переменных, НЕидентифицируемо если D+1 H

Уравнение идентифицировано, если: – D+1=H

Уравнение неидентифицировано, если: – D+1 H

Фиктивные переменные – это: атрибутивные признаки (например, как профессия, пол, образование), которым придали цифровые метки;

Формула t= rxy….используется для проверки существенности коэффициента корреляции

Частный F-критерий: – оценивает значимость уравнения регрессии в целом

Число степеней свободы для факторной суммы квадратов в линейной модели множественной регрессии равно: m;

Что показывает коэффициент наклона – на сколько единиц изменится у, если х изменился на единицу,

Что показывает коэффициент. абсолютного роста на сколько единиц изменится у, если х изменился на единицу

Экзогенная переменная – это независимая переменная или фактор-Х.

Экзогенные переменные — это переменные, которые определяются вне системы и являются независимыми

Экзогенные переменные – это предопределенные переменные, влияющие на зависимые переменные (Эндогенные переменные), но не зависящие от них, обозначаются через х

Эластичность измеряется единица измерения фактора…показателя

Эластичность показывает на сколько % изменится редуктивный показатель y при изменении на 1% фактора xk .

Эндогенные переменные – это: зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе и которые обозначаются через у

Определения

T-отношение (t-критерий) — отношение оценки коэффициента, полученной с помощью МНК, к величине стандартной ошибки оцениваемой величины.

Аддитивная модель временного ряда – это модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент.

Критерий Фишера — способ статистической проверки значимости уравнения регрессии, при котором расчетное (фактическое) значение F-отношения сравнивается с его критическим (теоретическим) значением.

Линейная регрессия — это связь (регрессия), которая представлена уравнением прямой линии и выражает простейшую линейную зависимость.

Метод инструментальных переменных — это разновидность МНК. Используется для оценки параметров моделей, описываемых несколькими уравнениями. Главное свойство — частичная замена непригодной объясняющей переменной на такую переменную, которая некоррелированна со случайным членом. Эта замещающая переменная называется инструментальной и приводит к получению состоятельных оценок параметров.

Метод наименьших квадратов (МНК) — способ приближенного нахождения (оценивания) неизвестных коэффициентов (параметров) регрессии. Этот метод основан на требовании минимизации суммы квадратов отклонений значений результата, рассчитанных по уравнению регрессии, и истинных (наблюденных) значений результата.

Множественная линейная регрессия — это множественная регрессия, представляющая линейную связь по каждому фактору.

Множественная регрессия — регрессия с двумя и более факторными переменными.

Модель идентифицируемая — модель, в которой все структурные коэффициенты однозначно определяются по коэффициентам приведенной формы модели.

Модель рекурсивных уравнений — модель, которая содержит зависимые переменные (результативные) одних уравнений в роли фактора, оказываясь в правой части других уравнений.

Мультипликативная модель – модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент.

Несмещенная оценка — оценка, среднее которой равно самой оцениваемой величине.

Нулевая гипотеза — предположение о том, что результат не зависит от фактора (коэффициент регрессии равен нулю).

Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) — метод, который не требует постоянства дисперсии (гомоскедастичности) остатков, но предполагает пропорциональность остатков общему множителю (дисперсии). Таким образом, это взвешенный МНК.

Объясненная дисперсия — показатель вариации результата, обусловленной регрессией.

Объясняемая (результативная) переменная — переменная, которая статистически зависит от факторной переменной, или объясняющей (регрессора).

Остаточная дисперсия — необъясненная дисперсия, которая показывает вариацию результата под влиянием всех прочих факторов, неучтенных регрессией.

Предопределенные переменные — это экзогенные переменные системы и лаговые эндогенные переменные системы.

Приведенная форма системы — форма, которая, в отличие от структурной, уже содержит одни только линейно зависящие от экзогенных переменных эндогенные переменные. Внешне ничем не отличается от системы независимых уравнений.

Расчетное значение F-отношения — значение, которое получают делением объясненной дисперсии на 1 степень свободы на остаточную дисперсию на 1 степень свободы.

Регрессия (зависимость) — это усредненная (сглаженная), т.е. свободная от случайных мелкомасштабных колебаний (флуктуаций), квазидетерминированная связь между объясняемой переменной (переменными) и объясняющей переменной (переменными). Эта связь выражается формулами, которые характеризуют функциональную зависимость и не содержат явно стохастических (случайных) переменных, которые свое влияние теперь оказывают как результирующее воздействие, принимающее вид чисто функциональной зависимости.

Регрессор (объясняющая переменная, факторная переменная) — это независимая переменная, статистически связанная с результирующей переменной. Характер этой связи и влияние изменения (вариации) регрессора на результат исследуются в эконометрике.

Система взаимосвязанных уравнений — это система одновременных или взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же переменные выступают одновременно как зависимые в одних уравнениях и в то же время независимые в других. Это структурная форма системы уравнений. К ней неприменим МНК.

Система внешне не связанных между собой уравнений — система, которая характеризуется наличием одних только корреляций между остатками (ошибками) в разных уравнениях системы.

Случайный остаток (отклонение) — это чисто случайный процесс в виде мелкомасштабных колебаний, не содержащий уже детерминированной компоненты, которая имеется в регрессии.

Состоятельные оценки — оценки, которые позволяют эффективно применять доверительные интервалы, когда вероятность получения оценки на заданном расстоянии от истинного значения параметра становится близка к 1, а точность самих оценок увеличивается с ростом объема выборки.

Спецификация модели — определение существенных факторов и выявление мультиколлинеарности.

Стандартная ошибка — среднеквадратичное (стандартное) отклонение. Оно связано со средней ошибкой и коэффициентом доверия.

Степени свободы — это величины, характеризующие число независимых параметров и необходимые для нахождения по таблицам распределений их критических значений.

Тренд — основная тенденция развития, плавная устойчивая закономерность изменения уровней ряда.

Уровень значимости — величина, показывающая, какова вероятность ошибочного вывода при проверке статистической гипотезы по статистическому критерию.

Фиктивные переменные — это переменные, которые отражают сезонные компоненты ряда для какого-либо одного периода.

Эконометрическая модель — это уравнение или система уравнений, особым образом представляющие зависимость (зависимости) между результатом и факторами. В основе эконометрической модели лежит разбиение сложной и малопонятной зависимости между результатом и факторами на сумму двух следующих компонентов: регрессию (регрессионная компонента) и случайный (флуктуационный) остаток. Другой класс эконометрических моделей образует временные ряды.

Эффективность оценки — это свойство оценки обладать наименьшей дисперсией из всех возможных.

Системы эконометрических уравнений

Эконометрика как учебная дисциплина на современном этапе благодаря своей универсальности и возможности практического использования для анализа реальных экономических объектов является одним из базовых курсов в системе высшего экономического образования.

Эконометрика

Эконометрика — это статистико-математический анализ экономических отношений.

Сущность эконометрики заключается в модельном описании функционирования конкретной экономической системы (экономики данной страны, спроса-предложения в данное время в данном месте и т.д.). Одним из основных этапов эконометрических исследований является анализ устойчивости построенной модели, отражающей взаимосвязи между экономическими показателями, и проверка ее на адекватность реальным экономическим данным и процессам.

Виды систем эконометрических уравнений

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений, применяемых в эконометрике:

• система независимых уравнений — когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов :

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению в отдельности;

• система рекурсивных уравнений — когда зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый последовательно к каждому уравнению в отдельности;

• система взаимосвязанных (совместных) уравнений — когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а другие в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Для построения таких систем и нахождения их параметров используются косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Введем следующие определения:

• Эндогенные переменные — взаимозависимые переменные, которые определяются внутри системы (модели) .
• Экзогенные переменные — независимые переменные, которые определяются вне системы .
• Лаговые эндогенные переменные — эндогенные переменные за предыдущие моменты времени.
• Предопределенные переменные — экзогенные и лаговые эндогенные переменные системы.
• Коэффициенты и при переменных — структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы — приведенная форма модели:

где — коэффициенты приведенной формы модели.

Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация -это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

• идентифицируемые;
• неидентифицируемые;
• сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель еверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Обозначим через — число эндогенных переменных в уравнении, а через — число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Тогда необходимое условие идентификации отдельного уравнения принимает вид:

• уравнение идентифицируемо, если ;
• уравнение сверхидентифицируемо, если ;
• уравнение неидентифицируемо, если .

Если необходимое условие выполнено, то далее проверяется достаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации — определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных -двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находят расчетные значения этих эндогенных переменных по соответствующим уравнениям приведенной системы;

• обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части уравнения.

Решение эконометрических уравнений

Пример задачи с уравнением №4.2.1.

Рассматривается модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):

— доля импорта в ВВП;
— общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; — число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин;

— фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0-для всех остальных лет;

— реальный ВВП;

— реальный объем чистого экспорта; — текущий период; — предыдущий период; и — случайные ошибки. Задание.

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
2. Определить метод оценки параметров модели.
3. Записать приведенную форму модели в общем виде.

Решение:

1. Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные и четыре предопределенные переменные (три экзогенные и одну лаговую эндогенную ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее, чем число эндогенных переменных модели минус 1, т.е. в данной задаче больше или равен 3-1=2.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы

Следовательно, для 1 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение точно идентифицируемо. 2 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы

так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

Следовательно, для 2 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо. 3 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы , так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

Следовательно, для 3 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо.

• Таким образом, система в целом сверхидентифицируема, для оценки ее параметров можно применить двухшаговый метод наименьших квадратов.
• Запишем приведенную форму модели в общем виде:

Пример задачи с уравнением №4.2.2.

Рассматривается структурная модель вида:

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
2. Определить метод оценки параметров модели.
3. Записать приведенную форму модели в общем виде.
4. Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

• Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные и три предопределенные переменные (экзогенные ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (и ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано. Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для первого уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для второго уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для третьего уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

• Все уравнения системы точно идентифицируемы, следовательно, система в целом точно идентифицируема, для оценки ее параметров может быть применен косвенный метод наименьших квадратов.
• Запишем приведенную форму модели в общем виде:

• Вычисление структурных коэффициентов модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим (так как его нет в первом уравнении структурной формы)

Данное выражение содержит переменные и которые входят в правую часть первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ)

Откуда получим первое уравнение СФМ в виде

2) во втором уравнении СФМ нет переменных и . Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа.

Первый этап: выразим в данном случае из первого или третьегоуравнения ПФМ. Например, из первого уравнения

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует , которого нет в СФМ. Выразим из третьего уравнения ПФМ

Подставим его в выражение для

Второй этап: аналогично, чтобы выразить через искомые и , заменим в выражении значение на полученное из первого уравнения ПФМ

Подставим полученные и во второе уравнение ПФМ

В результате получаем второе уравнение СФМ

3) из второго уравнения ПФМ выразим , так как его нет в третьем уравнении СФМ

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ

В результате получаем третье уравнение СФМ

Таким образом, СФМ примет вид

Пример задачи с уравнением №4.2.3.

Изучается модель вида

где — валовый национальный доход;

— валовый национальный доход предшествующего года;

— личное потребление;

— конечный спрос (помимо личного потребления); и — случайные составляющие.

Информация за девять лет о приросте всех показателей дана в таблице 4.2.1.

Для данной модели была получена система приведенных уравнений

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Решение:

1. В данной модели две эндогенные переменные ( и ) и две экзогенные переменные ( и ). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при и наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная . Переменная в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной . В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: . Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

• Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной . Для этого в приведенное уравнение

подставим значения и имеющиеся в условии задачи. Полученные значения обозначим (табл. 4.2.2).

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения , на теоретические и рассчитываем новую переменную (табл. 4.2.2).

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную через . Решаем уравнение . С помощью МНК получим . Запишем первое уравнение структурной модели

Пример задачи с уравнением №4.2.4.

Рассматривается следующая модель:

• — расходы на потребление в период ;
• — совокупный доход период :
• — инвестиции в период ;
• — процентная ставка в период ;
• — денежная масса в период ;
• — государственные расходы в период ;
• — расходы на потребление в период ;
• — инвестиции в период ;
• — текущий период;
• — предыдущий период;

и — случайные ошибки.

В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложить способ оценки ее параметров.

Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

Решение:

1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные — и ( и две лаговые эндогенные переменные — и ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и одну предопределенную переменную (). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение включает две эндогенные переменные и не включает три предопределенные переменные. Как и 1-е уравнение, оно сверхидентифицировано.

3-е уравнение тоже включает две эндогенные переменные и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 4-1=3.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

Достаточное условие идентификации для 1-го уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

Достаточное условие идентификации для 2-го уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

Ее ранг равен трем, так как имеется квадратная подматрица 3×3 этой матрицы, определитель которой не равен нулю.

Достаточное условие идентификации для 3-го уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК.

Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде

где — случайные ошибки.

Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчётные значения эндогенных переменных используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое равнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных.

Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями

Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры

Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная ). Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу — переменная , станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной , от эндогенной переменной (которая зависит только от предопределенных переменных) и предопределенной переменной . Таким образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования системы уравнений на идентификацию.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Оценивание параметров структурной модели

Структурная и приведенная формы модели.

Система одновременных уравнений (т.е. структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные –это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Они обозначаются через y

Экзогенные переменные –это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Они обозначаются через x.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других — как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных можно рассматривать значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные). Например, потребление текущего года y_t может зависеть также и от уровня потребления в предыдущем году y_t-1.

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Коэффициенты при эндогенных и — при экзогенных переменных называются структурными коэффициентами модели.Все переменные в модели могут быть выражены в отклонениях и от среднего уровня, и тогда свободный член в каждом уравнении отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма преобразуется в приведенную.

Приведенная форма моделипредставляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

(3)

коэффициенты приведенной формы модели.

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Приведенная форма позволяет выразить значения эндогенных переменных через экзогенные, однако аналитически уступает структурной форме модели, т.к. в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация –это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Структурная модель (2) в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных и m экзогенных переменных, содержит n(n-1+m) параметров. Приведенная модель (3) в полном виде содержит nm параметров. Таким образом, в полном виде структурная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма модели. Поэтому n(n-1+m) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены через nm параметров приведенной формы модели.

Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

Модель идентифицируема,если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.

Модель неидентифицируема,если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели. Модель (2) в полном виде всегда неидентифицируема.

Модель сверхидентифицируема,если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе приведенных коэффициентов можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Обозначим Н – число эндогенных переменных в i— ом уравнении системы, D – число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение. Тогда условие идентифицируемости уравнения может быть записано в виде следующего счетного правила:

D+1 = Н – уравнение идентифицируемо;

D+1 Н – уравнение сверхидентифицируемо.

Это счетное правило отражает необходимое, но не достаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Пример. Рассмотрим следующую макроэкономическую модель:

где M – доля импорта в ВВП;

N – общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин;

S – число удовлетворенных прошений;

E – фиктивная переменная, означающая, является ли курс доллара искусственно завышенным или нет;

Y – реальный ВВП;

X – реальный объём чистого экспорта;

t – текущий период;

t-1 – предыдущий период.

Проверим данную модель на идентификацию и определим, каким методом могут быть рассчитаны её коэффициенты (в случае, если модель сверх – или точно идентифицируема).

Сначала рассмотрим общие характеристики структурной формы. Здесь три эндогенные переменные – M_t, N_t и S_t, они стоят в левых частях уравнений. Кроме того, в правых частях находятся четыре предопределенные переменные – одна лаговая (M_t-1) и три экзогенные – E_t-1, Y_t и X_t. Теперь проверим каждое уравнение.

Уравнение I. В этом уравнении присутствуют три эндогенные переменные (M_t, N_t и S_t), но отсутствуют две предопределенные переменные — Y_t и X_t. Поэтому Н=3, D=2, и необходимое условие идентификации выполняется, поскольку D+1=H. Это означает, что первое уравнение точно идентифицируемо.

Уравнение II. В этом уравнении присутствуют три эндогенные переменные (M_t, N_t и S_t), но отсутствуют три экзогенные — Е_t—1, M_t-1 и X_t. Поэтому Н=3, D=3, D+1>H и второе уравнение по необходимому условию является сверхидентифицируемым.

Уравнение III. В этом уравнении, как и в других уравнениях, присутствуют все три эндогенные переменные, но отсутствуют три экзогенные — Е_t—1, M_t-1 и Y_t . Поэтому Н=3, D=3, D+1>H, и третье уравнение системы является сверхидентифицируемым.

Проверим каждое уравнение на выполнение достаточного условия идентификации. Для этого сначала запишем расширенную матрицу системы в виде следующей таблицы:

Как видим, в эту матрицу включены коэффициенты при всех переменных и не включены свободные члены, поскольку они могут быть исключены из системы, если задавать все переменные в отклонениях от среднего значения. Кроме того, здесь все переменные перенесены в правые части уравнений.

Достаточное условие идентификации для соответствующего уравнения будет выполнено, если ранг подматрицы, построенной только из коэффициентов при переменных, отсутствующих в этом уравнении, равен количеству эндогенных переменных в системе минус единица.

Рассмотрим подробно этот процесс для первого уравнения системы. Первому уравнению соответствует первая строка расширенной матрицы, поэтому первую строку не следует включать в подматрицу. Из остальной части расширенной матрицы оставим только столбцы, которые имеют нули в первой строке. Получаем подматрицу:

,

определитель которой не равен нулю, поскольку . Таким образом, ранг подматрицы равен двум, т.е. числу эндогенных переменных в системе минус единица. Достаточное условие идентификации для первого уравнения выполнено.

Аналогично рассмотрим другие уравнения. Подматрица для второго уравнения имеет вид:

.

Её ранг также равен двум, поскольку определитель, составленный, например, из первого и третьего столбцов, очевидно, не равен нулю.

Подматрица для третьего уравнения имеет вид:

.

Она также имеет ранг, равный двум.

Таким образом, достаточное условие идентификации выполнено для каждого уравнения системы. Поскольку среди уравнений системы нет неидентифицируемых, а второе и третье уравнения являются сверхидентифицированными, то и модель в целом сверхидентифицирована. Для определения параметров первого уравнения должен быть применен косвенный МНК (поскольку оно точно идентифицировано), а для других уравнений – двухшаговый МНК.

Приведенная форма модели имеет вид:

Здесь — случайные члены. Как обычно, в правой части приведенной формы стоят только предопределенные переменные. Для определения параметров ПФМ применяется обычный МНК.

Оценивание параметров структурной модели

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили два метода оценивания коэффициентов структурной модели: косвенный МНКи двухшаговый МНК.

Косвенный МНК (КМНК) применим в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура следующая:

1. Структурная модель преобразуется в приведенную форму.

2. Для каждого уравнения приведенной формы обычным МНК оцениваются коэффициенты δ_ij

3. Коэффициенты приведенной модели трансформируются в параметры структурной модели.

Рассмотрим применение КМНК для модели:

Для построения модели имеем таблицу:

№ п/п
Средние	6,2	2,4	3,4

Приведенная форма модели имеет вид:

где случайные ошибки приведенной формы модели.

Для каждого уравнения приведенной формы применим традиционный МНК и определим δ— коэффициенты. Для простоты работаем в отклонениях, т.е. Тогда система нормальных уравнений для первого уравнения системы составит:

Для приведенных данных система составит:

Отсюда получаем первое уравнение ( и аналогично второе):

Перейдем к структурной форме следующим образом: исключим из первого уравнения приведенной формы x₂ , выразив его из второго уравнения приведенной формы и подставив в первое уравнение:

Первое уравнение структурной формы:

Аналогично исключим из второго уравнения x₁ выразив его через первое уравнение и подставив во второе:

второе уравнение структурной формы.

Структурная форма модели имеет вид:

Эту же систему можно записать, включив в нее свободный член уравнения, т.е. перейти от переменных в виде отклонений от среднего к исходным переменным и

Тогда структурная модель имеет вид:

Если к каждому уравнению структурной формы применить традиционный МНК, то результаты могут сильно отличаться. В данном примере будет:

Двухшаговый МНК.ДМНК используется для сверхидентифицируемых систем. Основная идея ДМНК: на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Здесь дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

— все уравнения системы сверхидентифицируемые;

— система содержит также точно идентифицируемые уравнения.

В первом случае для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Во втором случае структурные коэффициенты для точно идентифицируемых уравнений находятся из системы приведенных уравнений.

Она получена из предыдущего примера наложением ограничения Поэтому первое уравнение стало сверхидентифицируемым.

На первом шаге найдем приведенную форму модели. С использованием тех же исходных данных получим систему:

На основе второго уравнения этой системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной т.е. Подставим в это уравнение значения и в форме отклонений от средних значений, запишем в виде таблицы:

-1,4	-0,4	0,103	-1,297	-2	2,594	1,682
-0,4	-2,4	0,042	-0,358	-1	0,358	0,128
0,6	-1,4	-0,035	0,565	0,319
-0,4	1,6	0,02	-0,38	-0,38	0,144
1,6	2,6	-0,13	1,47	2,94	2,161
5,512	4,434

После того, как найдены оценки заменим в уравнении фактические значения их оценками найдем значения новой переменной Применим МНК к уравнению:

.

В целом рассматриваемая система будет иметь вид:

Второе уравнение не изменилось по сравнению с предыдущим примером.

ДМНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК.