Уравнение свободного незатухающего гармонического колебания

Уравнение незатухающих гармонических колебаний, формула

При любых колебаниях отклонение системы вызывает появление восстанавливающей силы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия.

Линейный закон силы: Гармонические колебания характеризуются соотношением: Восстанавливающая сила F_в пропорциональна отклонению у.

Отклонению у отвечает сила F, определяемая жесткостью системы

Противоположно направленная восстанавливающая сила равна

Отсюда после перестановки следует

Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний

Решение этого дифференциального уравнения дается формулой отклонения, что можно доказать, дважды продифференцировав отклонение y по t.

Гармонические колебания

О чем эта статья:

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

• сама колебательная система
• источник энергии
• устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x max .

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На планете Земля g = 9,8 м/с 2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

• Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
• Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Свободные гармонические колебания

Вы будете перенаправлены на Автор24

В физике колебаниями считают не только повторяющиеся периодически процессы, но и другие изменения состояния, которые повторяются во времени.

Систему, совершающую колебания называют колебательной.

Колебательные процессы классифицируют в зависимости от разных признаков, например, по физической природе процесса или механизма его возникновения. Так деление колебаний происходит на:

• механические;
• электромагнитные;
• электромеханические (смешанные);
• иногда выделяют квантовые колебания.

Колебания считают периодическими, если значения всех изменяющихся физических параметров, при помощи которых описывают состояние системы, повторяются спустя равные промежутки времени.

Важным с точки зрения математического и физического описания является деление колебаний на:

Свободными называют колебания, происходящие в отсутствии внешних воздействий на систему, совершающую колебания. Они появляются в результате однократного (при $t=0$) действия на колебательную систему, которое выводит ее из состояния равновесия.

Вынужденными считают колебания, которые возникают в результате регулярного внешнего действия на колебательную систему.

Колебания какой-либо величины называют гармоническими, если ее изменение во времени описывают при помощи законов синуса или косинуса, например:

$l=A\cos (\omega t+\delta)(1)$,

где $A=const$ — амплитуда колебаний.

Гармонически изменяющаяся величина удовлетворяет дифференциальному уравнению вида:

которое называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Свободные механические гармонические колебания

Допустим, что материальная точка гармонически колеблется параллельно оси $OX$ рядом с положением равновесия (начало координат разместим в нем). В этом случае связь координаты и времени можно задать уравнением:

$x=A\sin (\omega t+\varphi_0)(3),$

где $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний точки.

Скорость движения по оси $OX$ нашей точки получим дифференцированием функции $x(t)$ по времени:

Готовые работы на аналогичную тему

где $v_0=A\omega$ — является амплитудой скорости.

Ускорение материальной точки в рассматриваемом нами случае определим как:

где амплитуда ускорения точки равна $a_m=A\omega^2$.

Из закона Ньютона, учитывая выражение для ускорения (5) мы видим, что на материальную точку массы $m$ действует сила, равная:

$F_x=ma_x=-m a_m\sin (\omega t+\varphi_0)=-m \omega^2x(6).$

Уравнение (6) указывает на то, что сила, действующая на материальную точку, прямо пропорциональна ее смещению от положения равновесия и имеет направление в сторону равновесия:

$\vec F=-m\omega^2 x\vec i$,

где $\vec i$ орт оси $OX$.

Зависимость вида (6) для силы, свойственна для сил упругости. Силы, обладающие другой природой (не силы упругости), но подчиняющиеся зависимости (6) именуют квазиупругими.

Кинетическая энергия свободных гармонических прямолинейных колебаний равна:

$E_k=\frac<1><2>mv^2=\frac<1><2>m \omega^2 A^2\cos^2 (\omega t+\varphi_0)= \frac<1><4>m \omega^2 A^2(\cos (2\omega t+2\varphi_0)) (7).$

При свободных гармонических колебаниях изменение кинетической энергии материальной точки происходит периодически и минимальное ее значение равно нулю, а максимальное $E_k max=\frac<1><2>m \omega^2 A^2$.

Частота колебаний кинетической энергии равна $2\omega$.

Потенциальную энергию колебаний материальной точки под воздействием потенциальной силы найдем как:

$U=-\int_0^x F_x dx=\frac<1><2>m\omega^2 x^2=\frac<1><2>m \omega^2 A^2\sin (\omega t+\varphi_0)= \frac<1><4>m \omega^2 A^2(\cos (2\omega t+2\varphi_0+\pi)) (8).$

Согласно полученному уравнению (8) изменение потенциальной энергии по гармоническому закону происходит с частотой $2\omega$. При этом минимальная ее величина в состоянии равновесия равна нулю, максимальная составляет $\frac<1><2>m \omega^2 A^2$.

Колебания потенциальной и кинетической энергий идут в противофазе, то есть сдвиг между их колебаниями составляет $\pi$.

При свободных гармонических колебаниях полная механическая энергия материальной точки сохраняется:

$E=E_k+U=\frac<1><2>m \omega^2 A^2=const.$

Свободные электромагнитные колебания

Свободные электрические колебания можно реализовать в идеальном колебательном контуре, который состоит из:

• конденсатора, емкость которого равна $C$;
• катушки индуктивности ($L$).

Элементы в контуре соединены последовательно. Контур будем считать идеальным, поскольку его сопротивление равно нулю. Только в таком контуре можно создать незатухающие свободные колебания.

Конденсатор заряжают, после этого замыкают на катушку. При замыкании в контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и силы тока в катушке. Изменяющееся электромагнитное поле распространяется в пространстве (скорость распространения равна скорости света). Обычно контур считают малым, при этом в каждый момент времени сила тока во всех его частях одинакова. Данный ток считают квазистационарным.

Свободные электрические колебания в рассматриваемом контуре будут гармоническими только, если сопротивление контура можно считать равным нулю.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда можно представить:

Величина $\frac<1>=\omega^2$ — циклическая частота в квадрате.

Решением уравнения (9) является функция $q(t)$, равная:

$q(t)=q_0\sin (\omega t \varphi_0)(10)$,

где $q_0$ — амплитуда заряда конденсатора; $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний заряда на конденсаторе.

Принимая во внимание, что связь заряда и силы тока:

получим закон $I(t)$ при свободных гармонических колебаниях:

$I=I_0\cos (\omega t+\varphi_0) = I_0\sin (\omega t+\varphi_0+\frac<\pi><2>) (12),$

где $I_0=\omega q_0=\frac<\sqrt>$ — амплитуда силы тока.

Сравнение выражений (10) и (12) указывает на то, что ток в контуре опережает по фазе заряд на $\frac<\pi><2>$.

При свободных гармонических колебаниях в нашем контуре, в рамках одного периода колебаний, происходит переход энергии электрического поля конденсатора ($E_e$) в энергию магнитного поля катушки (E_m) и назад:

Закон сохранения в виде (13) указывает нам на то, что полная энергия электромагнитных колебаний в идеальном контуре постоянна во времени.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 22 05 2021