Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
трехчленные уравнения и уравнения вида
(ax + b)(ax + b + c)(ax +
+ b + 2c)(ax + b + 3c) = d , левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:
Трёхчленные уравнения | |
Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии | |
Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени | |
Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени | |
Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени |
Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .
Трехчленные уравнения
Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида
a f 2 (x)+ b f (x) + c = 0, | (1) |
а также уравнения вида
(2) |
где a, b, c – заданные числа, а f (x) – некоторая функция.
Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим
y = f (x), | (3) |
тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :
ay 2 + by + c = 0 . | (4) |
Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .
Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.
Покажем, как это осуществляется на примерах.
Пример 1 . Решить уравнение
(x 2 – 2x) 2 – – 2(x 2 – 2x) – 3 = 0 . | (5) |
Решение . Если обозначить
y = x 2 – 2x , | (6) |
то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение
y 2 – 2y – 3 = 0 . | (7) |
В первом случае из равенства (6) получаем:
Во втором случае из равенства (6) получаем:
Пример 2 . Решить уравнение
(8) |
Решение . Если обозначить
, | (9) |
то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
2y 2 – 3 y – 2 = 0 . | (10) |
В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:
Во втором случае из равенства (9) получаем:
Ответ :
Пример 3 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
(12) |
то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
y 2 – 5y – 6 = 0 . | (13) |
В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:
Во втором случае из равенства (12) получаем:
Ответ :
Пример 4 . Решить биквадратное уравнение
x 4 – x 2 – 12 = 0 . | (14) |
Решение . Если обозначить
y = x 2 , | (15) |
то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение
y 2 – y – 12 = 0 . | (16) |
В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (15) получаем:
Пример 5 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
y = x 2 – 3x, | (18) |
уравнение (17) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
y 2 + 2y – 8 = 0 . | (19) |
В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (18) получаем:
Ответ :
Пример 6 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
, | (21) |
уравнение (20) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
3y 2 – 2y – 1 = 0 . | (22) |
В первом случае из равенства (21) получаем уравнение
Во втором случае из равенства (21) получаем:
Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
(ax + b)(ax + b + + c)(ax + + b + 2c)(ax + + b + 3c) = d , | (23) |
где a, b, c, d – заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b , а разность равна c .
Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.
y = ax + b. | (24) |
Тогда уравнение (23) примет вид:
y (y + c)(y + + 2c)(y + 3c) = d . | (25) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:
[y (y + 3c)][(y + + c)(y + 2c)] = d . | (26) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:
[y 2 + 3cy][y 2 + + 3cy + 2c 2 ] = d . | (27) |
Если теперь в уравнении (27) обозначить
z = y 2 + 3cy , | (28) |
то уравнение (27) станеи квадратным уравнением
z 2 + 2c 2 z – d = 0 . | (29) |
Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно x .
Пример 7 . Решить уравнение
(2x + 3)(2x + 5)(2x + + 7)(2x + 9) = 384 . | (30) |
Решение .Если обозначить
y = 2x + 3, | (31) |
уравнение (30) превращается в уравнение
y (y + 2)(y + + 4)(y + 6) = 384 . | (32) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):
[y (y + 6)][(y + + 2)(y + 4)] = 384 . | (33) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:
[y 2 + 6y][y 2 + + 6y + 8] = 384 . | (34) |
Если теперь обозначить
z = y 2 + 6y , | (35) |
то уравнение (34) станет квадратным уравнением
z 2 + 8 z – 384 = 0 . | (36) |
В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:
которое корней не имеет.
Во втором случае из равенства (35) получаем:
В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:
Во втором случае из равенства (31) получаем:
Ответ :
Урок подготовки к ОГЭ «Уравнения сводимые к квадратным»
план-конспект урока по алгебре (8, 9 класс) на тему
На этом уроке представлены разные типы уравнений, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. Материал представлен для повторения от простого к сложному.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
urok_podgotovki_k_oge_uravneniya_svodimye_k_kvadratnym.doc | 270.5 КБ |
Предварительный просмотр:
На этом уроке подробно рассмотрены все уравнения решение которых сводится к квадратным уравнениям.
УРАВНЕНИЯ, СВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ
Решение дробно-рациональных уравнений основано на утверждении, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Пример 1. Решить уравнение.
Пример 2. Найти корни уравнения.
Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого выражение попробуем разложить на множители, а выражение разложим по формуле суммы кубов.
Корней нет. Т.к. , то ветви параболы направлены вверх, и при любых значениях .
- Уравнения высших степеней.
Уравнения, степень которых выше второй, обычно решаются двумя основными методами: введением новой переменной и разложением на множители.
- Метод введения новой переменной.
Уравнения вида , где называют биквадратными уравнениями.
Пример 1. Решаем на доске.
по теореме обратной теореме Виета.
Вернемся к переменной .
Это уравнение решений не имеет, т.к.
Пример 2. Решаем в тетрадях, проверяем на доске.
Вернемся к переменной .
Ответ: , , ,
- Метод разложения на множители.
- Вспомним метод группировки при разложении на множители.
Делаем в тетрадях, проверяем устно.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
, ,
Домашнее задание: Подготовка к экзамену по математике ГИА 9 (новая форма) 2011 г.
Методические рекомендации. [2]. Задача 10.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка урока «Преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня»
Отработка определения и свойств квадратного корня.
Конспект урока с использованием ЭОР по теме «Квадратные уравнения. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.»
Конспект урока с использованием ЭОР по теме «Квадратные уравнения. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.» 8 класс.
Презентация к уроку обобщения и систематизации по теме: «Квадратные уравнения: Решение задач с помощью квадратных уравнений»
Презентация к уроку обобщения и систематизации по теме: «Квадратные уравнения: Решение задач с помощью квадратных уравнений».
Урок алгебры по подготовке к ГИА. Тема: «Решение квадратных и дробно-рациональных неравенств методом интервалов». 9-й класс
Урок разработан для подготовки детей к Годовой Итоговой Атестации.
Урок алгебры на тему: «Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из произведения.»
Урок объяснения нового материала.
Урок подготовки к ОГЭ «Уравнения сводимые к квадратным»
На этом уроке представлены разные типы уравнений, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. Материал представлен для повторения от простого к сложному.
Конспект урока в 8 классе по теме «Квадратные уравнения и способы их решения» с использованием коллективной образовательной технологии на уроках алгебры.
Урок в 8 классе по теме «Квадратные уравнения и способы их решения» с использованием коллективной образовательной технологии на уроках алгебры имеет целью отработать навыки решения квадратны.
Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется уравнение вида:
$$ ax^4+bx^2+c = 0, a \neq 0 $$
Алгоритм решения биквадратного уравнения
Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 \ge 0$.
Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$
Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.
Если $D \gt 0$, $z_ <1,2>= \frac<-b \pm \sqrt
Если D = 0,$z_0 = -\frac<2a>$. Проверить условие $z \ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.
Если $D \lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.
Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = \pm \sqrt
Шаг 4. Работа завершена.
Шаг 1. $z = x^2 \ge 0, z^2+7z-30 = 0$
$z_1 = -10 \lt 0, z_2 = 3 \gt 0 $
Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_ <1,2>= \pm \sqrt<3>$
Метод разложения на множители
Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.
Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_
Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.
Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_
Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.
При разложении многочлена
- множители вида (x-a) называют линейными множителями ;
- множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D \lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями .
Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.
Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.
Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:
- вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
- группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
- формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
- метод неопределённых коэффициентов;
- выделение полного квадрата и т.п.
Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.
Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$
$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$
Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \frac<1><2>$
Метод замены переменной
Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:
$Исходное \quad сложное \quad уравнение \iff <\left\< \begin
Например, для биквадратных уравнений:
$$ ax^4+bx^2+c = 0 \iff <\left\< \begin
Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:
$$ ax+b \sqrt
И, в общем виде, для любой рациональной степени n:
$$ ax^<2n>+bx^n+c = 0 \iff <\left\< \begin
В других случаях замена переменной не настолько очевидна.
Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.
Раскроем скобки:$ x^2-x = \frac<24>
$$ z = \frac<24>
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ \left[ \begin
При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.
Выделение полного квадрата
Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:
$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$
Такое разложение не всегда возможно.
Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:
$$ = a \Biggl(x+\frac <2a>\Biggr)^2 — \frac <4a>= a \Biggl(x+ \frac <2a>\Biggr)^2- \frac
Нами выделен полный квадрат $(x+\frac<2a>)^2$.
Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).
А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D \ge 0$.
Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$
Выделим полный квадрат и разложим на множители:
$$ \left[ \begin
Примеры
Пример 1. Решите биквадратные уравнения:
Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$
$$ z = \frac<-7 \pm 9> <4>= \left[ \begin
Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:
Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 \Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:
Делаем замену: $x+4 \sqrt
Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 \Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:
Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 \Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:
Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:
$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 \Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 \Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
Делаем замену: $ \frac<4>
Решаем уравнение относительно z:
$$ \frac<4>
$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 \Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$
$$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$
$$ z = \frac<7 \pm 9> <4>= \left[ \begin
Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:
$$ x^2+3 = 4 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_ <1,2>= \pm 1$$
Пример 4*. Решите уравнения:
Приведём это уравнение к биквадратному.
В линейных множителях (x+a) выберем все a =
Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)
Замена переменных $z = x+a_
Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:
$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 \Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 \Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$
Получили биквадратное уравнение.
Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение:
$$ D = 100+4 \cdot 936 = 3844 = 62^2, t = \frac<10 \pm 62> <2>= \left[ \begin
Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:
$$ z = \pm \sqrt
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ x = z-4 = \pm 6-4 = \left[ \begin
$$ z- \frac<1>
$$ z^2-2,1z-1 = 0 \Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = \frac<2,1 \pm 2,9> <2>= \left[ \begin
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
В первом уравнении $D = 0,4^2-4 \lt 0$, решений нет.
Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $\Rightarrow \left[ \begin
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2018/04/03/urok-podgotovki-k-oge-uravneniya-svodimye-k-kvadratnym-0
http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/reshenie-uravnenij-svodyashchihsya-k-kvadratnym/