Методика введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным
Разделы: Математика
Изучение уравнений в среднем звене начинается с введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным.
Равенство двух функций, рассматриваемых в общей области определения, называется уравнением. Переменные, входящие в уравнение, обозначаются латинскими буквами x, y,z, t … Уравнение с одной переменной х в общем, виде записывается так f(x)= g(x).
Всякое значение переменной, при котором выражения f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.
Решить уравнение – это, значит, найти все его корни или доказать, что их нет.
Например, уравнение 3+x=7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной 3+x=7 верное равенство.
Уравнение (x-1)(x-2)=0 имеет 2 корня 1 и 2.
Уравнение x 2 +1=0 не имеет действительных корней, так как сумма двух положительных чисел не равняется 0.
Для того, чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать: во-первых, правила, формулы или алгоритмы решения уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.
Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
- преобразования данного уравнения к простейшим;
- решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.
Если вторая часть является алгоритмической, то первая часть — в значительной степени — эвристической, что и представляет наибольшую трудность для учащихся. В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, поэтому важно знать с помощью каких преобразований это возможно. Здесь необходимо в доступной для ребенка форме дать понятие равносильности.
Уравнения, имеющие одни и теже корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Например, уравнения x+2=5 и x+5=8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3.Равносильны и уравнения x 2 +1=0 и 2x 2 +5=0 — ни одно из них не имеет корней.
Уравнения х-5=1 и х 2 =36 не равносильны, так как первое имеет только один корень х=6, тогда как второе имеет два корня 6 и –6.
К равносильным преобразованиям относятся:
1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число или одно и тоже целое алгебраическое выражение, содержащее неизвестное, то новое уравнение будет равносильно данному.
2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение равносильно уравнению x 2 – 1 = 6x
3) Если в уравнении произвести раскрытие скобок и привести подобные слагаемые, то получится уравнения, равносильно данному.
Обучение решения уравнений начинается с простейших линейных уравнений и уравнений сводящихся к ним. Дается определение линейного уравнения и рассматриваются случаи, когда оно имеет одно решение; не имеет решений и имеет бесконечное множество решений.
Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах = b, где а и b — действительные числа, а — называют коэффициентом при переменной, b — свободным членом.
Для линейного уравнения ах = b могут представиться при случае:
- а 0, в этом случае корень уравнения равен b/a
- а = 0; b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0х = b, что верно при любом х, т.е. корнем уравнения служит любое действительное число;
- а = 0; b 0; в том случае уравнение принимает вид 0х = b, оно не имеет корней.
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
Так в 7 классе можно применить следующие уравнения:
1)
Это уравнение сводиться к линейному уравнению.
Умножением обеих частей на 12 (наименьшее общее краткое знаменателей 3, 4, 6, 12), получим:
8 + 3x + 2 – 2x = 5x –12,
8 + 2 + 12 = 5x – 3x + 2x,
2) Покажем, что уравнение 2 (х + 1) – 1 = 3 — (1 — 2х) не имеет корней.
Упростим обе части уравнения:
2х + 2 – 1 = 3 – 1 + 2х,
Это уравнение не имеет корней, т.к. левая часть 0 х равна 0 при любом х, а значит не равна 1.
3) Покажем, что уравнение 3(1 – x) + 2 = 5 – 3x имеет бесконечное множество корней.
При прохождении темы “линейные уравнения с двумя переменными” можно предложить учащимся графический способ решения уравнения. Данный метод основан на пользовании графиков функций, входящих в уравнение. Суть метода: найти абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Основывается на выполнение следующих действий:
1) Преобразовать исходное уравнение к виду f(x) = g(x), где f(x) и g(x) функции, графики, которых можно построить.
2) Построить графики функций f(x) и g(x)
3) Определить точки пересечения построенных графиков.
4) Определить абсциссы найденных точек. Они и дадут множество решений исходного уравнения.
5) Записать ответ.
Преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет легко определить число корней уравнения. Недостаток в том, что корни в общем случае определяются приближенно.
Следующим этапом в изучении линейных уравнений, являются уравнения с модулями, причем некоторые решения выполняются несколькими способами.
Решение уравнений, содержащих знак модуля и уравнений с параметрами можно назвать деятельностью, близкой к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.
Особой интерес представляют уравнения, содержащие знак модуля.
По определению модуля числа a, имеем:
Число –a может быть отрицательным при a>0; -a положительным при a -1, тогда
,
Видим, что число 0 принадлежит промежутку. Значит, является корнем. Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и -4.
На простых примерах рассмотрим алгоритм решения уравнений с параметрами: область допустимых значений, область определения, общие решения, контрольные значения параметров, типы частных уравнений. Способы их нахождения будут устанавливаться в каждом виде уравнений отдельно.
На базе введенных понятий определим общую схему решения всякого уравнения F(a;x)=0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):
- устанавливаются область допустимых значений параметра и область определения;
- определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
- для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
- находятся общие решения x=f1 (a),…, fk (a) уравнения F(a;x)=0 на соответствующих множествах Аf1,…, Аfk значений параметра;
- составляется модель общих решений, контрольных значений параметра;
- на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми общими решениями (области однотипности);
- для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений
- Особое место в алгебре отводится линейным уравнениям с параметрами.
Рассмотрим несколько примеров.
1. | 2х – 3 = m+1, |
2х – 3 = + 4 m + 1,
Умножим обе части уравнения на 3, получим
6х — m•х + 12m + 12,
, 6 – m ? 0, m ? 6.
Уравнение 2х – 3 + m (х/3 + 4) + 1 имеет множество решений, заданных формулой при всех значениях m, кроме 6.
2. , при m 2, x 1, n 0.
mx – n = 2x – 2 + 2n + 3xn,
mx – 2x – 3xn = — 2 + 2n +n,
mx – 2x – 3xn = 3n – 2,
x (m – 2 – 3n) = 3n – 2, при m 2, x 1, n 0.
Рассмотрим случай, где a = 0, тогда
m = 3n +2, при n 0
n = .
m = 3 • + 2,
x(4 – 2 – 3 ) = 3 • — 2,
x – любое число, кроме x = 1.
б) 3n – 2 0
0 • x = b. В этом случае уравнение не имеет решений.
2) a 0
m – 2 – 3n 0
m 2 + 3n.
x = , при x ? 1,
1,
3n – 2 m – 2 – 3n,
3n + 3n 2 – 2 + m,
6n m (n )
В этом случае уравнение решений не имеет.
Значит, при n = и m = 4, x – любое число, кроме 1; при n = 0, m = 6n
(n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 уравнение решений не имеет. Для всех остальных значения параметров x = .
Ответ: 1. n = , m = 4 – x ? R\.
2. n = 0, m = 6n (n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 – решений нет.
3. n 0, m 6n, m 3n + 2, m 2 – x = .
В дальнейшем предлагается рассмотреть решение задач методом составления линейных уравнений. Это сложный процесс, где надо уметь думать, догадываться, хорошо знать фактически материал.
В процессе решения каждой задачи надо четко размечать четыре этапа:
- изучение условия задачи;
- поиск плана решения и его составление;
- оформление найденного решения;
- критический анализ результата решения.
Теперь рассмотрим задачи, при решении которых применяются линейные уравнения.
1. Сплав меди и цинка содержит меди на 640 г. Больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6/7 содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Какова была масса сплава первоначально?
Пусть в сплаве было х г. цинка, тогда меди (640 + х) г. после того, как выделили 6/7 меди и 60% цинка, осталось 1/7 меди и 40% цинка, т.е. 0,4 части. Зная, что масса сплава оказалась равной 200 г., составим уравнение.
1/7 (х + 640) + 0,4•х = 200,
х + 640 + 2,8•х =1400,
Значит, цинка было 200 г., а меди 840 г.
(200 + 640 = 840). 1) 200 + 840 = 1040 (г.) – масса сплава. Ответ: первоначальная масса сплава 1040 г.
2. Сколько литров 60% серной кислоты нужно прибавить к 10 л 30% кислоты, чтобы получить 40% раствор?
Пусть число литров 60% кислоты, которое прибавим х л, тогда раствора чистой кислоты будет л. А в 10 л 30% раствора чистой кислоты будет л. Зная, что в полученных (10 + х) смеси будет чистой кислоты л, составим уравнение.
+=,
60х + 300 = 40х + 400,
60х – 40х = 400 – 300,
Значит, нужно прибавить 5 л 60% кислоты.
При изучении темы “Решение линейных уравнений” рекомендуется некоторая историческая справка.
Задачи на решение уравнений первой степени встречаются еще в вавилонских клинописных текстах. В них же есть некоторые задачи, приводящие к квадратным и даже кубическим уравнениям (последние, по-видимому, решались с помощью подбора корней). Древнегреческие математики нашли геометрическую форму решения квадратного уравнения. В геометрической же форме арабский математик Омар Хайям (конец XI – начало XII века н. э.) исследовал кубическое уравнение, хотя и не нашел общей формулы для его решения. Решение кубического уравнения было найдено в начале XVI века в Италии. После того, как Сципиан дель Ферро решил один частный вид таких уравнений в 1535 году, итальянец Тарталья нашел общую формулу. Он доказал, что корни уравнения x 3 + px + q = 0 имеют вид x =.
Это выражение обычно называют формулой Кардано, по имени ученого, узнавшего ее от Тартальи и опубликовавшего в 1545 году в своей книге “Великое искусство алгебраических правил”. Ученик Кардано – молодой математик Феррари решил общее уравнение четвертой степени. После этого на протяжении двух с половиной столетий продолжались поиски формулы для решения уравнений пятой степени. В 1823 году замечательный норвежский математик Нильс Хендрик Абель (1802-1829) доказал, что такой формулы не существует. Точнее говоря, он доказал, что корни общего уравнения пятой степени нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действий и операций извлечения корня. Глубокое исследование вопроса об условиях разрешимости уравнений в радикалах провел французский математик Эварист Галуа (1811-1832), погибший на дуэли в возрасте 21 года. Некоторые проблемы теории Галуа решил советский алгебраист И.Т.Шафаревич.
Наряду с поисками формулы для решения уравнения пятой степени велись и другие исследования в области теории алгебраических уравнений. Виета установил связь между коэффициентами уравнений и его корнями. Он доказал, что если x1,…,xn – корни уравнения x n + a1x n-1 +…+an=0, то имеют место формулы:
Литература:
- Журнал “Математика в школе” 6, 1999
- Приложение к газете “Первое сентября”- математика 20, 1999.
- С.И. Туманов “Алгебра”, пособие для учащихся 6-8 классов.
- Н.И. Александров; И. П.Ярандай “Словарь-справочник по математике”.
- О.Б. Епишева; В.И. Крупич “Учить школьников учиться математике”.
- Е.И.Ямщенко “Изучение функций”.
- А.И. Худобин; М.Ф. Шуршалов “Сборник задач по алгебре и элементарным функциям”.
- Ш. А. Алимов, В.А. Ильин “Алгебра 6-8 классы”.
Поверните устройство
- Классы
- ЕГЭ (профиль)
- 01. Простейшие уравнения
- Теория: 03 Уравнения, сводящиеся к линейным — 2
Нам дано уравнение \(\displaystyle |5x-30|=5<\small . >\)
Для его решения воспользуемся правилом.
Уравнение с модулем
Если \(\displaystyle a\ge 0\) неотрицательное число, то уравнение
равносильно двум уравнениям
\(\displaystyle f(x\,)= a \) и \(\displaystyle f(x\,)=<\bf ->a <\small . >\)
В нашем случае \(\displaystyle f(x\,)=5x-30 \) и \(\displaystyle a=5 <\small . >\)
Так как \(\displaystyle 5\ge 0 <\small , >\) то, применив правило, получаем два линейных уравнения:
Линейные уравнения — алгоритмы и примеры решений с объяснением для 6 класса
Простые равенства с неизвестными — первоначальный этап знакомства с линейными уравнениями. Примеры с объяснением для 6 класса основываются не только на решении последних, но и на базовых определениях, а также использования формул сокращенного умножения для понижения степени до единицы. Математики рекомендуют начать с теории, а затем перейти к ее практическому применению.
Общие сведения
Уравнение — совокупность чисел и переменных. Иными словами, тождеством, содержащим неизвестные величины, называется математическая запись, в которой следует определить значения переменных, превращающих это выражение в истинное. Например, переменная t в выражении 2t=6 эквивалентна 3, поскольку 2*3=6.
Линейное — тождество, в котором максимальный показатель степени при неизвестной величине всегда эквивалентен единице.
В математике существует термин «корень уравнения». Он означает, что для решения равенства необходимо найти все допустимые значения, превращающие его в истинное тождество. Далее следует разобрать классификацию линейных выражений с переменными.
Классификация уравнений
Прежде чем рассматривать примеры уравнений по алгебре в 7 классе (изучаются подробнее, чем в 6-м), необходимо разобрать их классификацию, поскольку она влияет на алгоритм нахождения корней. Они бывают трех типов:
Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.
Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.
Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.
Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.
Обыкновенные тождества
Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:
Следует отметить, что также составляются примеры линейных уравнений для тренировки в 7 классе. Необходимо разобрать решение одного из них «7 (t-1)(t+1)-7t (t-1)=8». Решать его нужно по вышеописанному алгоритму:
Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.
Выражения с параметром
Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:
Реализацию методики необходимо рассмотреть на практическом примере «t-2+pt=0», где р — параметр тождества. Решать выражение нужно по такому алгоритму:
Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p)
Понижение степени
Некоторые уравнения представлены степенью при неизвестной, превышающую единицу. К ним относятся следующие виды: квадратные, кубические и бикубические. Каждый из трех видов имеет собственный алгоритм нахождения корней.
Однако некоторые из них можно свести к линейному типу. Для этого применяется метод разложения на множители. Он подразумевает алгебраические соотношения, при помощи которых выражение легко записывается в обыкновенной линейной форме. К ним относятся следующие:
Первая и вторая формула называется квадратом суммы или разности соответственно. Третья — разность квадратов. Кроме того, бывают случаи, при которых невозможно применить эти тождества. Для этого требуется выносить общий множитель за скобки, тем самым понижая степень. Для нахождения корней существует определенная методика:
Реализация алгоритма нужно проверить на практическом примере, т. е. следует решить уравнение «3t^2-3=0». Найти его корни можно, воспользовавшись вышеописанной методикой:
Кубические и бикубические должны сводиться к квадратным, а затем преобразовываться в линейные, поскольку формулы кубов суммы и разности, при их разложении на множители, дают вторую степень. Однако существует еще один частный случай, о котором не упоминалось при классификации линейных выражений с неизвестными — системы уравнений.
Системы линейного типа
Система уравнений — совокупность выражений с неизвестными, которые имеют общие решения. Методика для вычисления корней имеет следующий вид:
Однако для практического применения вышеописанной методики необходимо разобрать систему уравнений, состоящую из двух тождеств (5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0). Решать ее нужно по вышеописанной методике:
В третьем пункте математики рекомендуют разложить тождество на множители, поскольку необходимо всегда понижать степень при неизвестной величине. Во всех трех случаях описаны простые примеры, которые позволяют перейти к более сложным заданиям.
Следует отметить, что еще одним методом решения системы уравнений считается построение графиков функций, входящих в ее состав. Методика поиска решений сводится к простым шагам, которые можно править относительно предыдущего алгоритма таким образом:
В последнем пункте методики находятся корни системы уравнений. Далее рекомендуется их подставить в исходные выражения для проверки.
Таким образом, линейные уравнения применяются в различных физико-математических дисциплинах и прикладных науках. Для их решения существуют определенные методики, позволяющие выполнить эту операцию за короткий промежуток времени и не допустить ошибок.
http://ege.01math.com/maths/theory?subcategory_id=796
http://kupuk.net/uroki/algebra/lineinye-yravneniia-algoritmy-i-primery-reshenii-s-obiasneniem-dlia-6-klassa/