Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
трехчленные уравнения и уравнения вида
(ax + b)(ax + b + c)(ax +
+ b + 2c)(ax + b + 3c) = d , левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:
Трёхчленные уравнения | |
Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии | |
Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени | |
Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени | |
Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени |
Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .
Трехчленные уравнения
Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида
a f 2 (x)+ b f (x) + c = 0, | (1) |
а также уравнения вида
(2) |
где a, b, c – заданные числа, а f (x) – некоторая функция.
Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим
y = f (x), | (3) |
тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :
ay 2 + by + c = 0 . | (4) |
Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .
Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.
Покажем, как это осуществляется на примерах.
Пример 1 . Решить уравнение
(x 2 – 2x) 2 – – 2(x 2 – 2x) – 3 = 0 . | (5) |
Решение . Если обозначить
y = x 2 – 2x , | (6) |
то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение
y 2 – 2y – 3 = 0 . | (7) |
В первом случае из равенства (6) получаем:
Во втором случае из равенства (6) получаем:
Пример 2 . Решить уравнение
(8) |
Решение . Если обозначить
, | (9) |
то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
2y 2 – 3 y – 2 = 0 . | (10) |
В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:
Во втором случае из равенства (9) получаем:
Ответ :
Пример 3 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
(12) |
то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
y 2 – 5y – 6 = 0 . | (13) |
В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:
Во втором случае из равенства (12) получаем:
Ответ :
Пример 4 . Решить биквадратное уравнение
x 4 – x 2 – 12 = 0 . | (14) |
Решение . Если обозначить
y = x 2 , | (15) |
то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение
y 2 – y – 12 = 0 . | (16) |
В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (15) получаем:
Пример 5 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
y = x 2 – 3x, | (18) |
уравнение (17) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
y 2 + 2y – 8 = 0 . | (19) |
В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (18) получаем:
Ответ :
Пример 6 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
, | (21) |
уравнение (20) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
3y 2 – 2y – 1 = 0 . | (22) |
В первом случае из равенства (21) получаем уравнение
Во втором случае из равенства (21) получаем:
Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
(ax + b)(ax + b + + c)(ax + + b + 2c)(ax + + b + 3c) = d , | (23) |
где a, b, c, d – заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b , а разность равна c .
Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.
y = ax + b. | (24) |
Тогда уравнение (23) примет вид:
y (y + c)(y + + 2c)(y + 3c) = d . | (25) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:
[y (y + 3c)][(y + + c)(y + 2c)] = d . | (26) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:
[y 2 + 3cy][y 2 + + 3cy + 2c 2 ] = d . | (27) |
Если теперь в уравнении (27) обозначить
z = y 2 + 3cy , | (28) |
то уравнение (27) станеи квадратным уравнением
z 2 + 2c 2 z – d = 0 . | (29) |
Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно x .
Пример 7 . Решить уравнение
(2x + 3)(2x + 5)(2x + + 7)(2x + 9) = 384 . | (30) |
Решение .Если обозначить
y = 2x + 3, | (31) |
уравнение (30) превращается в уравнение
y (y + 2)(y + + 4)(y + 6) = 384 . | (32) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):
[y (y + 6)][(y + + 2)(y + 4)] = 384 . | (33) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:
[y 2 + 6y][y 2 + + 6y + 8] = 384 . | (34) |
Если теперь обозначить
z = y 2 + 6y , | (35) |
то уравнение (34) станет квадратным уравнением
z 2 + 8 z – 384 = 0 . | (36) |
В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:
которое корней не имеет.
Во втором случае из равенства (35) получаем:
В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:
Во втором случае из равенства (31) получаем:
Ответ :
Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным
Разберем показательные уравнения, сводящиеся к квадратным. Их могут ученики кратко называть «квадратные показательные уравнения», хотя это название не точное. Однако, многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax 2 +bx+c=0.
Показательные уравнения, приводимые к квадратным на примерах
Уравнение 1
Решить уравнение:
1) 4 x +2 x+1 -3=0. Представим 4 x в виде степени с основанием 2.
(2 2 ) x +2 x ∙2 1 -3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:
вводим новую переменную: пусть 2 x =y;
y 2 + 2 y -3 =0.
Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=1 2 -1∙(-3)=1+3=4=2 2 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Возвращаемся к переменной х:
1) 2 x =-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).
2) 2 x = 1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
2 x = 2 0 ;
Уравнение 2
2) 0,25 2x -5∙0,5 2x +4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,25 2x — в виде степени с основанием 0,5.
(0,5 2 ) 2x -5∙0,5 2x +4=0;
(0,5 2x ) 2 -5∙0,5 2x +4=0.
0,5 2x =y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:
y 2 — 5 y+ 4 =0;
Дискриминант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙1∙4=25-16=9=3 2 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
y1+y2= 5 , y1+y2= 4 . Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1, y2=4 и возвращаемся к переменной х:
1) 0,5 2x = 1 ; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
0,5 2x = 0,5 0 ;
2) 0,5 2 x =4; приведем степень 0,5 2 x к основанию 2, применив формулу: (1/a) x =а -х
2 -2 x =2 2 ; приравниваем показатели:
Уравнение 3
Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а -х =1/a x и a x ∙a y =a x + y .
Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.
Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Итак, решение показательных уравнений, которое мы разбирали в предыдущем уроке, пополнилось еще одним методом — приведением показательного уравнения к обычному квадратному уравнению. Такие уравнения называют — показательные уравнения, сводящиеся к квадратным.
Как решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным — примеры
Основные понятия по теме
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения с неизвестной, которая расположена строго под знаком тригонометрической функции.
Квадратные тригонометрические уравнения являются такими уравнениями, которые имеют вид:
a sin 2 x + b sin x + c = 0
Здесь a отлично от нуля.
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, обладают следующими признаками:
- Наличие в уравнении тригонометрических функций от одного аргумента, либо таких, которые можно просто свести к одному аргументу.
- Присутствие в уравнении единственной тригонометрической функции, либо все функции можно свести к одной.
Правила решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным
Рассмотрим случай, когда преобразованное уравнение записано таким образом:
a f 2 ( x ) + b f ( x ) + c = 0
При этом а отлично от нуля, f ( x ) является одной из функций sin x , cos x , tg x , ctg x .
Тогда данное уравнение путем замены f ( x ) = t сводится к квадратному уравнению.
Существует ряд правил, позволяющих решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Данная информация будет полезна при выполнении самостоятельных работ и практических заданий в десятом классе.
sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α · ctg α = 1 tg α = sin α cos α ctg α = cos α sin α 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α ▸
Формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α sin α cos α = 1 2 sin 2 α cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α tg 2 α = 2 tg α 1 — tg 2 α ctg 2 α = ctg 2 α — 1 2 ctg α ▸
Последовательность действий при решении тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:
- выражение одной тригонометрической функции с помощью другой путем применения основных тождеств;
- выполнение подстановки;
- преобразование уравнения;
- введение обозначения, к примеру, sin x = y;
- решение квадратного уравнения;
- обратная замена;
- решение тригонометрического уравнения.
Рассмотрим решение тригонометрического уравнения:
6 cos 2 x — 13 sin x — 13 = 0
cos 2 α = 1 — sin 2 α
В результате уравнение преобразуется таким образом:
6 sin 2 x + 13 sin x + 7 = 0
Заменим sin x на t. Зная, что ОДЗ синуса sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , запишем, t ∈ [ — 1 ; 1 ] . Тогда:
6 t 2 + 13 t + 7 = 0
Заметим, что t 1 не соответствует условиям. Выполним обратную замену и получим решение уравнения:
sin x = — 1 ⇒ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ .
Разберем другой пример:
5 sin 2 x = cos 4 x — 3
Воспользуемся уравнением двойного угла для косинуса:
cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α
cos 4 x = 1 — 2 sin 2 2 x
Подставим значения и преобразуем уравнение:
2 sin 2 2 x + 5 sin 2 x + 2 = 0
Заменим sin 2 x на t. Зная, что ОДЗ для синуса sin 2 x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно записать:
2 t 2 + 5 t + 2 = 0
Заметим, что t 1 является посторонним, так как не соответствует условию. Путем обратной замены получим:
sin 2 x = — 1 2 ⇒ x 1 = — π 12 + π n , x 2 = — 5 π 12 + π n , n ∈ ℤ .
Примеры решения задач с пояснениями
Найти корни уравнения:
tg x + 3 ctg x + 4 = 0
При tg x · ctg x = 1 имеем, что:
Заменим tg x на t. Зная, что ОДЗ тангенса tg x ∈ ℝ , запишем:
t + 3 t + 4 = 0 ⇒ t 2 + 4 t + 3 t = 0
Вспомним, что дробь может обладать нулевым значением при нулевом числителе и знаменателе, отличном от нуля. В результате:
Путем обратной замены получим:
Ответ: x = — arctg 3 + π n , x = — π 4 + π n , n ∈ ℤ .
Решить тригонометрическое уравнение на интервале ( — π ; π ) :
2 sin 2 x + 2 sin x — 2 = 0
Заменим sin x на t. В результате уравнение преобразуется:
2 t 2 + 2 t — 2 = 0
Определим дискриминант уравнения:
Таким образом, корни равны:
Исходя из того, что t = sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно сделать вывод о лишнем корне t 2 . В результате:
sin x = 2 2 ⇔ x = π 4 + 2 π n
x = 3 π 4 + 2 π m , n , m ∈ ℤ .
Выполним проверку корней на соответствие условиям задания:
— π π 4 + 2 π n π ⇔ — 5 8 n 3 8 ⇒ n = 0 ⇒ x = π 4 .
— π 3 π 4 + 2 π m π ⇔ — 7 8 m 1 8 ⇒ m = 0 ⇒ x = 3 π 4 .
Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π n ; 3 π 4 + 2 π m ; n , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу π 4 ; 3 π 4 .
Дано тригонометрическое уравнение, которое нужно решить на отрезке ( 0 ; π ) :
2 sin 2 x + 2 = 5 sin x
Заметим, что область допустимых значений определяет х как произвольное число. Перенесем члены в левую часть:
2 sin 2 x + 2 — 5 sin x = 0
Данное уравнение является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. Тогда уравнение будет преобразовано таким образом:
2 t 2 — 5 t + 2 = 0
Исходя из того, что sin x ≤ 1 , sin x = 2 является лишним корнем. Таким образом:
Решениями sin x = a являются:
x = arcsin a + 2 π k
x = π — arcsin a + 2 π k
Здесь k ∈ ℤ . В результате, корнями уравнения sin x = 0 , 5 являются:
x = 5 π 6 + 2 π k
Определим, какие корни соответствуют интервалу:
0 π 6 + 2 π k π ⇔ — π 6 2 π k 5 π 6 ⇔ — 1 12 k 5 12
Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае из этих корней подходящими являются лишь те, что соответствуют условию k = 0:
Рассмотрим другие решения:
0 5 π 6 + 2 π k π ⇔ — 5 π 6 2 π k π 6 ⇔ — 5 12 k 1 12
Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае выберем решение при k = 0:
Ответ: корни уравнения π 6 + 2 π k , 5 π 6 + 2 π k , при k ∈ ℤ ; решения, соответствующие интервалу π 6 , 5 π 6 .
Решить уравнение на промежутке [ π ; 3 π ) :
ctg 2 x + 1 cos x — 11 π 2 — 1 = 0
Вспомним формулу приведения:
cos x — 11 π 2 = — sin x
Также пригодится формула:
ctg 2 x + 1 = 1 sin 2 x
1 sin 2 x — 1 — 1 sin x — 1 = 0 ⇔ 1 sin 2 x — 1 sin x — 2 = 0
Заменим 1 sin x на t. В результате:
Путем обратной замены получим:
sin x = — 1 ⇔ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ sin x = 1 2 ⇔ x = π 6 + 2 π k ; x = 5 π 6 + 2 π m , k , m ∈ ℤ .
Определим подходящие решения:
Ответ: корни уравнения — π 2 + 2 π n ; π 6 + 2 π k ; 5 π 6 + 2 π m ; n , k , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу 3 π 2 ; 13 π 6 ; 17 π 6 .
Определить корни уравнения на отрезке ( π ; 2 π ) :
cos ( 2 x ) + 3 2 sin x = 3
Область допустимых значений предусматривает произвольные значения для х. На первом этапе следует преобразовать уравнение с помощью формулы косинуса двойного угла и перенести члены уравнения в левую сторону:
1 — 2 sin 2 x + 3 2 sin x — 3 = 0 ⇔ 2 sin 2 x — 3 2 sin x + 2 = 0
Заметим, что в результате получено уравнение, которое является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. В результате:
2 t 2 — 3 2 t + 2 = 0
t 1 , 2 = 3 2 ± 2 4
Исходя из того, что sin x ≤ 1 , делаем вывод о лишнем корне sin x = 2 . В результате:
Решения для уравнения sin x = a следующие:
x = arcsin a + 2 π k
x = π — arcsin a + 2 π k
Здесь k ∈ ℤ . В результате получим следующие решения для sin x = 2 2 :
x = 3 π 4 + 2 π k
Определим подходящие корни:
π π 4 + 2 π k 2 π ⇔ 3 π 4 2 π k 7 π 4 ⇔ 3 8 k 7 8
Заметим, что k ∈ ℤ . Тогда указанные корни не соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .
Определим корни, которые подходят к задаче:
π 3 π 4 + 2 π k 2 π ⇔ π 4 2 π k 5 π 4 ⇔ 1 8 k 5 8
Зная, что k ∈ ℤ , можно сделать вывод об отсутствии корней, которые соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .
Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π k , 3 π 4 + 2 π k , где k ∈ ℤ , решения, соответствующие интервалу, отсутствуют.
Требуется найти решения тригонометрического уравнения:
3 tg 4 2 x — 10 tg 2 2 x + 3 = 0
Корни нужно записать в соответствии с интервалом — π 4 ; π 4
Область допустимых значений в данном случае:
Заменим tg 2 2 x на t, при t ⩾ 0 . Уравнение будет преобразовано таким образом:
3 t 2 — 10 t + 3 = 0
Путем обратной замены получим:
Можно сделать вывод о выполнении условия относительно области допустимых значений при найденных значениях х . Тогда остается отобрать нужные корни:
— π 4 π 6 + π 2 n 1 π 4 ⇒ — 5 6 n 1 1 6 ⇒ n 1 = 0 ⇒ x = π 6
Вычислим еще три решения, которые включены в заданный интервал:
x = — π 12 ; — π 6 ; π 12 .
Ответ: корнями уравнения являются ± π 6 + π 2 n , ± π 12 + π 2 m , n , m ∈ ℤ , из них соответствуют промежутку — π 6 ; — π 12 ; π 12 ; π 6 .
http://mathematics-repetition.com/pokazatelnye-uravneniya-svodyachshiesya-k-kvadratnym/
http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/10/kak-reshat-trigonometricheskie-uravneniya-svodyashhiesya-k-kvadratnym—primery