Уравнение связи линейных и угловых величин

Связь угловых величин с линейными величинами в физике

К линейным величинам относят:

1. Путь;
2. Скорость;
3. Касательное ускорение;
4. Нормальное ускорение;

К угловым величинам относят:

1. Угол поворота;
2. Угловую скорость;
3. Угловое ускорение;

Связь между линейными и угловыми величинами выражается в следующих формулах:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;

Таким не хитрым образом мы познакомились с «связь угловых величин с линейными величинами в физике»!

Уравнение связи линейных и угловых величин

«Физика — 10 класс»

Угловая скорость.

Каждая точка тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время Δt разные пути. Так, АА₁ > ВВ₁ (рис. 1.62), поэтому модуль скорости точки А больше, чем модуль скорости точки В. Но радиус-векторы, определяющие положение точек А и В, поворачиваются за время Δt на один и тот же угол Δφ.

Угол φ — угол между осью ОХ и радиус-вектором определяющим положение точки А (см. рис. 1.62).

Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени радиус-векторы поворачиваются на одинаковые углы.

Чем больше угол поворота радиус-вектора, определяющего положение какой-то точки твёрдого тела, за определённый промежуток времени, тем быстрее вращается тело и тем больше его угловая скорость.

Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела υφ к промежутку времени υt, за который этот поворот произошёл.

Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению

Угловая скорость в СИ выражается в радианах в секунду (рад/с). Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси 0,0000727 рад/с, а точильного диска — около 140 рад/с.

Угловую скорость можно связать с частотой вращения.

Частота вращения — число полных оборотов за единицу времени (в СИ за 1 с).

Если тело совершает ν (греческая буква «ню») оборотов за 1 с, то время одного оборота равно 1/ν секунд.

Время, за которое тело совершает один полный оборот, называют периодом вращения и обозначают буквой Т.

Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде

Полному обороту тела соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому согласно формуле (1.26)

Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени t₀ = 0 угол φ₀ = 0, то угол поворота радиус-вектора за время t согласно уравнению (1.26)

Если φ₀ ≠ 0, то φ — φ₀ = ωt, или φ = φ₀ ± ωt.

Радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, 1 рад = 57°17’48». В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к её радиусу: φ = l/R.

Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твёрдого тела, и осью ОХ увеличивается (рис. 1.63, а), и отрицательные, когда он уменьшается (рис. 1.63, б).

Тем самым мы можем найти положение точек вращающегося тела в любой момент времени.

Связь между линейной и угловой скоростями.

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть её отличие от угловой скорости.

Мы уже отмечали, что при вращении абсолютно твёрдого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.

Установим связь между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдёт путь 2πR. Поскольку время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости точки можно найти так:

Так как ω = 2πν, то

Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше её линейная скорость. Для точек земного экватора υ = 463 м/с, а для точек на широте Санкт-Петербурга υ = 233 м/с. На полюсах Земли υ = 0.

Модуль центростремительного ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:

Запишем все возможные расчётные формулы для центростремительного ускорения:

Мы рассмотрели два простейших движения абсолютно твёрдого тела — поступательное и вращательное. Однако любое сложное движение абсолютно твёрдого тела можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного.

На основании закона независимости движений можно описать сложное движение абсолютно твёрдого тела.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Кинематика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Связь между линейными и вращательными величинами

Физика > Связь между линейными и вращательными величинами

Охарактеризовать движение намного проще, если использовать угловую скорость, вращательную инерцию, вращательный момент и т.д.

Задача обучения

• Вывести однородное круговое движение из линейных уравнений.

Основные пункты

• Если мы пользуемся массой, поступательной кинетической энергией, линейным импульсом и вторым законом Ньютона для описания линейного перемещения, то можно применить соответствующие скалярные/тензорные/векторные величины для вращательного.
• Угловая и линейная скорость соотносятся: v = ω × r.
• Для описания линейного движения применяется формула F = ma, поэтому можно использовать аналогичное для описания углового. Они взаимозаменяемые и выбор делается исключительно для удобства расчетов.

Термины

• Вращательная инерция – тенденция вращающегося объекта продолжать совершение оборотов, если на него не влияет вращательный момент.
• Равномерное круговое движение – перемещение по круговой траектории со стабильной скоростью.
• Вращательный момент – вращательный эффект силы, измеряемый в ньютонах на метр.

Определение кругового движения

К характеристике кругового движения лучше всего подходить с позиции угловой величины. Например, мы сталкиваемся с равномерным круговым движением. Скорость частички меняется, хотя движение осуществляется равномерно. Эти понятия не увязываются, потому что равномерность ассоциируется с постоянством, но скорость всегда меняется.

Каждая частичка выполняет равномерное круговое движение вокруг стабильной оси. Лучше всего для описания использовать угловые величины

Если мы оперируем терминами угловой скорости, то подобные противоречия не возникают. Скорость постоянна. По сравнению с линейной скоростью угловая передает физический смысл вращения частицы, что указывает на поступательное движение. Угловое также демонстрирует разницу между поступательным и вращательным движениями.

Соотношение между линейной и угловой скоростями

Давайте взглянем на равномерное круговое перемещение. Для длины угла наклона дуги и радиуса круга получаем: s = rθ.

Из-за того, что = 0 для равномерного кругового движения, получаем v = ωr. Таким же образом выходим на a = αr, где a – линейное ускорение, а α – угловое (в более общем случае зависимость между угловыми и линейными величинами задается как v = ω × r, a = α × r + ω × v.)

Вращательные кинематические уравнения

С учетом линейной и угловой скоростей можно выйти на 4 вращательных кинематических уравнения для постоянных α:

Масса, импульс, энергия и второй закон Ньютона

Если располагаем массой, поступательной кинетической энергией, линейным импульсом и вторым законом Ньютона для описания линейного перемещения, то можно использовать соответствующие скалярные/векторные/тензорные величины для вращательного:

• масса – вращательная инерция.
• линейный импульс – угловой момент.
• сила – вращающий момент.

Для описания линейного движения применяется формула F = ma, поэтому можно использовать аналогичное τ = = r × F для описания углового. Они взаимозаменяемые и выбор делается исключительно для удобства расчетов.