Уравнение связки и пучка плоскостей

Взаимное расположение плоскостей

Параллельные плоскости

Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей и заданных общими уравнениями:

Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеарности их нормалей Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то т.е. существует такое число что

Плоскости совпадают, если помимо этих условий справедливо Тогда первое уравнение в (4.23) имеет вид т.е. равносильно второму, поскольку

Таким образом, плоскости (4.23) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число что но Плоскости (4.23) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: и

Условия параллельности и совпадения плоскостей (4.23) можно записать в виде

Отсюда следует критерий параллельности или совпадения двух плоскостей (4.23):

Поверхности уровня линейного четырехчлена

Поверхностью уровня функции трех переменных называется геометрическое место точек координатного пространства в которых функция принимает постоянное значение, т.е.

Для линейного четырехчлена уравнение поверхности уровня имеет вид

При любом фиксированном значении постоянной уравнение (4.24) описывает плоскость. Рассмотрим поведение семейства поверхностей уровня, отличающихся значением постоянной. Поскольку коэффициенты и не изменяются, то у всех плоскостей (4.24) будет одна и та же нормаль Следовательно, поверхности уровня линейного четырехчлена D представляют собой семейство параллельных плоскостей (рис.4.19). Поскольку нормаль совпадает с градиентом (см. пункт 3 замечаний 4.2), а градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, то при увеличении постоянной поверхности уровня (4.24) переносятся параллельно в направлении нормали.

Пересекающиеся плоскости

Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей (4.22) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:

При этом условии система уравнений

имеет бесконечно много решений, которые определяют прямую пересечения плоскостей, заданных уравнениями (4.23).

Угол между плоскостями

Угол между двумя плоскостями можно определить как угол между их нормальными векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя плоскостями удовлетворяет условию

Если — нормали к плоскостям и соответственно (рис.4.20,а), то величина угла между этими плоскостями вычисляется по формуле:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей (4.23) является условие ортогональности их нормалей, т.е.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла (рис.4.20). Величина двугранного угла удовлетворяет условию

получаем острый двугранный угол , образованный плоскостями (4.23), если 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> (рис.4.20,а), и тупой в противном случае: (рис.4.20,б). Другими словами, по формуле (4.26) находится тот двугранный угол, образованный плоскостями, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полупространствам, определяемым данными плоскостями. На рис.4.20 изображены пересекающиеся плоскости, положительные и отрицательные полупространства отмечены знаками + или – соответственно.

Пример 4.10. Найти величину того угла, образованного плоскостями и внутри которого лежит точка

Решение. По уравнениям плоскостей находим нормали а также величину угла между нормалями, используя (4.26):

Подставляя координаты точки в левые части уравнений плоскостей, выясняем, каким полупространствам принадлежит эта точка. Для плоскости имеем 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> значит, точка лежит в положительном полупространстве, определяемом плоскостью Для плоскости имеем 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> значит, точка лежит также в положительном полупространстве, определяемом плоскостью Поскольку точка принадлежит одноименным полупространствам (положительным), то искомый угол — это угол смежный найденному углу

Пучки плоскостей

Собственным пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую ( ось пучка ).

Несобственным пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной плоскости (осью несобственного пучка плоскостей считается бесконечно удаленная прямая).

Любые две плоскости и определяют пучок плоскостей, содержащий заданные плоскости и Если плоскости и пересекаются, то прямая пересечения является осью собственного пучка (рис.4.21,а). Если плоскости и параллельны, то они определяют несобственный пучок параллельных плоскостей (рис.4.21,б).

Пусть заданы уравнения двух плоскостей (4.23):

Линейной комбинацией этих уравнений называется уравнение

где числа — коэффициенты линейной комбинации. Его можно записать в форме

Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю, т.е. при одновременном выполнении условий

Эти значения параметров считаются недопустимыми.

Уравнение (4.27) называется уравнением пучка плоскостей, содержащего плоскости

При любых допустимых значениях параметров уравнение (4.27) задает плоскость, принадлежащую пучку, и наоборот, для любой плоскости пучка найдутся такие значения параметров что уравнение (4.27) будет задавать эту плоскость.

Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.

Пример 4.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей и через точку

Решение. Искомая плоскость входит в пучок плоскостей, задаваемый уравнением (4.27)

Подставляя координаты точки получаем:

Возьмем, например, и подставим в уравнение пучка:

Итак, искомое уравнение получено.

Связки плоскостей

Собственной связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную точку ( центр связки ).

Несобственной связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной прямой (центром несобственной связки плоскостей считается бесконечно удаленная точка).

Уравнение собственной связки плоскостей с центром имеет вид

где — произвольные параметры, одновременно не равные нулю.

Уравнение связки плоскостей (собственной (рис.4.22,а) или несобственной (рис.4.22,6)) можно получить в виде линейной комбинации уравнений трех плоскостей:

где — коэффициенты линейной комбинации. Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Эти значения параметров считаются недопустимыми.

Уравнение (4.28) называется уравнением связки плоскостей, содержащей три плоскости

При любых допустимых значениях параметров уравнение (4.28) задает плоскость, принадлежащую связке, и наоборот, для любой плоскости связки найдутся такие значения параметров что уравнение (4.28) будет задавать эту плоскость.

Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

— уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Нормальное уравнение плоскости

Пусть задана плоскость α и пусть — единичный, вектор нормали к плоскости α проведенный из начала координат. Обозначим р — расстояние от начала координат до плоскости α.

Для любой точки М(х,у,z) α

=p

Так как = (х,у,z),

= (cosα, cosβ, cosγ), где α, β, γ – углы, образованные вектором соответственно с осями OX, OY и 0Z, то отсюда получаем

– нормальное равнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Обозначим через d расстояние от точки M₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости α, заданной общим уравнением вида (*).

Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть плоскости α₁ и α₂ заданы уравнениями:

Теорема. Тогда и только тогда плоскости α₁ и α₂:

2) параллельны и различны, когда

A₁=λA₂, В₁=λВ₂, С₁=λС₂, D₁ λD₂;

3)пересекаются, когда коэффициенты А₁, В₁, С₁ не пропорциональны коэффициентам А₂, В₂, С₂

Пучок и связка плоскостей

Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка.

Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересе-кающиеся плоскости α₁ и α₂ .

Тогда уравнение пучка имеет вид

А₁х + B₁y + C₁z + D₁ + λ(A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0, где λ R.

Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S₀ (x₀,y₀,z₀) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S₀ имеет вид

где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.

Угол между двумя плоскостями

Пусть даны плоскости α₁ и α₂ своими общими уравнениями. Тогда под углом φ между плоскостями α₁ и α₂ понимают наименьший угол, на который надо повернуть одну из плоскостей до ее совпадения с другой плоскостью. Поэтому . Очевидно, что либо φ=( ^, ), либо φ= (- ^, ), где и — нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ соответственно. В любом случае

В частности, если φ = π/2, то

— условие перпендикулярности двух плоскостей.

IV ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Уравнение прямой в пространстве

Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α₁ и α₂. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений

(1)

— общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде.

Пусть l – прямая. Тогда ее положение в пространстве однозначно определяется заданием ее направляющего вектора =(m,n,р) и точкой М₀(х₀,у₀,z₀), через которую прямая проходит. Возьмем произвольную точку М(х,у,z) l. Тогда и, значит,

Переходя к координатам, получим

— параметрические уравнение прямой.

Выражая параметр t, получим

— каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀ y₀,z₀) параллельно вектору =(m,m,р).

Последнее уравнение равносильно

— общее уравнение прямой.

— уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой.

— каноническое уравнение прямой.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы каноническими уравнениями

Обозначим = = (х₂—x₁,y₂—у₁,z₂—z₁), =(m₁,n₁,р),

= (m₂,n₂,р₂).

1) если прямые совпадают, то все три вектора , , коллинеарны.

2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а вектор им не коллинеарен.

3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , , не коллинеарны, и все три вектора компланарны

4) ecли прямые скрещиваются, то векторы , , некомпланарны.

Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых l₁ и l₂ равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .

— необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

— необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l₁ и l₂ пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо ( ^, ) либо (- ^, ). Следовательно,

37. Уравнение пучка плоскостей

Определение: совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется Пучком плоскостей. Существует следующее утверждение: если

Условия двух непараллельных плоскостей, пересекающихся по некоторой линии L, а a и b — какие угодно, неравные нулю числа, то

A (A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + B (A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0

Это уравнение определяет плоскость, проходящую через прямую L, а при произвольных a и b – пучок плоскостей.