Уравнение связывающее между собой независимую переменную

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х

Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию уи ее производные или дифференциалы.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения, называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или интегралом)дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решениемдифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных условиях.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменным.

Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

Затем интегрируем обе части данного равенства:

Пример.

Найти общее решение уравнения:

Разделим переменные:

Проинтегрируем обе части равенства:

— общее решение дифференциального уравнения.

Линейные уравнения.

Линейные уравнения – это уравнения вида:

Где и — функции от . В частном случае

и могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки и — новые функции от . Дифференциала этого равенства по

Пример.

Найти общее решение уравнения

Выполним замену , и продифференцируем

это равенство по , подставив в

Т. к. одну из вспомогательных функций или

можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения

Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя получим:

или

(произвольную постоянную С принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Подставив теперь выражение для в уравнение

получим

или разделяя переменные и

интегрируя, будем иметь

Зная и , найдем

Ряды.

Бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения, называется числовым рядом.

Если этот предел существует и конечен , то ряд называют сходящимся.

Если же этот предел бесконечен или вовсе не существует, то ряд называют расходящимся.

Условие называется необходимым условием сходимости ряда.

Признаки сходимости рядов:

Пусть даны два ряда с положительными членами

И пусть для всех значений k =1, 2 … выполняются неравенства

А) если 1 ряд сходится, то и сходится 2 ряд;

Б) если 2 ряд расходится, то и расходится 1 ряд

2. Признаки Даламбера и Коши

Пусть дан ряд с положительными членами

u1+u2+u3+…+un+…

И пусть существует конечный предел

а) если 1,то ряд расходится;

г) если =1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым;

Пусть дан ряд с положительными членами

u1+u2+u3+…+un+…

И пусть существует конечный предел

а) если 1,то ряд расходится;

г) если =1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым;

Степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд вида:

Эти ряды являются частным случаем функциональных рядов. Общий член ряда имеет вид:

Числа c_n называют коэффицентами степенного ряда. Рассматривают также ряды

Называемые степенными рядами в точке х₀.

…

Называется рядом Тейлора.

Если в ряде Тейлора положим , то получим частный случай ряда Тейлора , который называется рядом Маклорена.

… (1)

Разложить функцию в ряд Маклорена.

t wx:val=»Cambria Math»/> x «>

Решение. Найдем производные и значения функции и производных в точке х=0:

подставим полученные значения в формулу (1) , получим:

Контрольные задания.

11. Вычислить угол между векторами s w:val=»28″/> a «> и , если и

12. Вычислить длину вектора — , если и

13. Вычислить длину вектора + , если ,

14. Вычислите проекцию вектора на ось , если угол между осью и направлением вектора равен , а | |=12

15. Даны векторы и , угол между ними . Построить вектор 2 — и определить его длину , если | |=2 ; | |=3

16. Даны векторы и . Найти длину вектора 3 -2 .

17. Дано векторы | |=5 ; | |=4 и =( ) = .
Найти: а) ; б) .

18. Построить вектор , если A ; B и найти его длину .

19. Найти скалярное произведение векторов и и угол между ними.

20. Найти модуль вектора = 2 -3 , если | |=2 ; | |=1 и ( )=

Дифференциальное уравнение- уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные

1. Дифференциальное уравнение- уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные .

Символически дифференциальное уравнение выглядит:

F(x,y,y’,y’’…,y ( n ) )=0 или .

2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение:

F(x,y,y’)=0- дифференциальное уравнение первого порядка.

F(x,y,y’,y’’)=0- дифференциальное уравнение второго порядка.

3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение, обращает его в верное тождество.

Для того чтобы решить дифференциальное уравнение надо его проинтегрировать.

Дифференциальное уравнение первого порядка.

Общее и частное решения.

Это уравнение можно привести к виду y’=f(x,y).

После вычисления возникает постоянная С. Поэтому решение фактически зависит не только от х, но и от С, т.е. y=f(x,C). Придавая С различные значения, мы получаем множество различных решений дифференциального уравнения. Эти решения (y=f(x,C)) называются общим решением дифференциального уравнения.

Придавая С различные значения получаем различные решения дифференциального уравнения. Так как С имеет бесконечное множество значений, то и решений будет бесконечное множество (которые отличаются друг от друга путем сдвига на несколько единиц).

Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на координатной плоскости ХОУ.

Пусть в дифференциальном уравнении заданы дополнительные условия, что при х=х0 функция принимает значение у=у0. Это дополнительное условие называется начальным условием и записывается: а). у=у0 при х=х0; б). ; в). у(х0)=у0.

Геометрически начальное условие означает некоторую точку (х0,у0) на плоскости ХОУ.

Подставляя в начальное условие , находим вполне определенные значения постоянной С. Тогда является частным решением уравнения.

Геометрически частное решение обозначает: начальное условие задает некоторую точку на плоскости и из семейства кривых (общее решение) выбирается та единственная кривая, которая проходит через эту точку.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (теорема Коши).

Если в дифференциальном уравнении y=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области Д на плоскости ХОУ, то какова бы ни была внутренняя точка (х0,у0) этой области, данное уравнение имеет единственное решение , удовлетворяющее начальному условию у=у0 при х=х0.

Геометрически смысл заключается в следующем: каждой точке (х0,у0) области Д соответствует только одна интегральная кривая, проходящая через эту точку (каждой точке соответствует только одно частное решение).

Замечание. “Найти частное решение”=“Решить задачу Коши”.

Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать либо через производные F(x,y,y’)=0, либо через дифференциалы

Дифференциальное уравнение- уравнение с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

— — через производную.

— — через дифференциал.

В этих уравнениях в произведениях стоят функции, каждая из которых зависит от одной переменной (х или у). Т.е. уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно преобразовать так, чтобы в одной его части была только одна переменная, а в другой – только другая.

Замечание. При решении дифференциальное уравнение ответу можно придать различную форму в зависимости от того, как записана произвольная постоянная С.

—

; -интегрируем и получаем решение.

—

;

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция f(x,y) называется однородной функцией n–го измерения, если при любом выполняется условие: .

Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.

P(x,y)dx=-Q(x,y)dy;

Однородное уравнение всегда можно привести к виду и с помощью замены однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными (; y=xt; y’=t+xt’).

Линейные дифференциальные уравнения

ЛДУ- уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)– первого порядка относительно у и у’.

Для решения ЛДУ применяем замену: y=UV, тогда y’=U’V+UV’

Далее U’+P(x)U=0, получаем два уровнения с разделяющимися переменными:

1). U’+P(x)U=0 находим U. 2). UV’=Q(x) находим V. . С ставится только при вычислении второго уравнения.

Замечание. Выражение, стоящее в скобках, можно прировнять к нулю, т.к. одну из функций можно взять произвольной, другую – определяем на основании ЛДУ.

УБ- дифференциальные уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)*y n , где

— т.к. при этих значениях уравнение будет линейным.

УБ решаются так же, как и линейные.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем виде записываются: F(x,y,y’,y’’)=0

Как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка существуют общее и частное решения. Но, если для дифференциальных уравнений первого порядка решение зависело от одной константы С, то для дифференциальных уравнений второго порядка решение зависит от двух постоянных: — общее решение.

Если заданы начальные условия (у=у0, у=у0 при х=х0), то получаем частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям.

Начальные условия так же могут задаваться в виде:

у=у0 при х=х0; у=у1 при х=х1.

Три случая понижения порядка

1. Случай непосредственного интегрирования

y’’=f(x)- решение этого уравнения находится путем двукратного интегрирования.

; ; ;

Высшая математика

Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные y′, y′′,… y (n) .

Обыкновенное ДУ — это дифференциальное уравнение с одной независимой переменной.

Порядок ДУ — это порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решение или интеграл ДУ — это всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в ДУ, превращает его в тождество.

График решения — это интегральная кривая.

Основная задача интегрального исчисления — это нахождение решения ДУ.

Общее решение ДУ F(x, y, y′,…, y (n) ) = 0 — это такое решение y = f(x, c₁, c₂, …, c_n), которое содержит столько независимых произвольных постоянных c_i, i = 1, 2, … n, каков порядок этого ДУ.

Общий интеграл ДУ — это общее решение заданное в неявном виде Ф(x, y, c₁, c₂, …, c_n) = 0.

Частное решение ДУ — это всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных.

Решение дифференциальных уравнений, примеры здесь

Решение ДУ первого порядка

— уравнение с разделяющимися переменными.
Метод решения: непосредственное интегрирование.

— однородное уравнение.
Метод решения:

— обобщенное однородное уравнение.
Метод решения:

— линейное по y(x) уравнение.
Метод решения:

— линейное по x(y) уравнение.
Метод решения:

— уравнение Бернулли.
Метод решения:

— уравнение в полных дифференциалах.
Метод решения: интегрирование системы

Решение ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка

Метод решения: последовательное интегрирование.
Метод решения: .
Метод решения: .
Метод решения: .
Метод решения:

Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения:
D>0, , действительные, разные.
Вид общего решения: .
Корни характеристического уравнения: , действительные, равные, кратность 2.
Вид общего решения: .
Корни характеристического уравнения: , комплексные.
Вид общего решения: .
Корни характеристического уравнения: .
Вид общего решения: .

ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения: действительные, разные k₁≠k₂≠k₃≠…≠k_n.
Вид общего решения или вклад в общее решение:
Корни характеристического уравнения: действительные, кратности r≤n, k₁=k₂=k₃=…=k_r=k.
Вид общего решения или вклад в общее решение:
Корни характеристического уравнения: комплексные, разные,
α₁≠α₂≠…≠α_n, β₁≠β₂≠…≠β_n.
Вид общего решения или вклад в общее решение:
Корни характеристического уравнения: комплексные кратности r, k₁=k₂=…=k_r=k=α+iβ.
Вид общего решения или вклад в общее решение: