Уравнение связывающие напряженности и потенциал

Связь между напряженностью и потенциалом

Из выше сказанного следует, что электрическое поле характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью (силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика). Выясним как они связаны между собой. Пусть положительный заряд q перемещается силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал , на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал (рис. 13.16).

Напряженность поля Е на всем малом пути dx можно считать постоянной. Тогда работа перемещения С другой стороны . Из этих уравнений получаем

(13.22)

Знак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала направлен в сторону возрастания потенциала.

Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля —напряжённостью и его энергетической характеристикой — потенциаломрассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q Edl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = — dW_п = — q d ,где d — изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: Edl = -d или в декартовой системе координат

E_x dx + E_y dy + E_z dz = -d , (1.8)

где E_x, E_y, E_z — проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

.

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.

E= — grad = -Ñ .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность Eнаправлена в сторону убывания потенциала.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q (рис. 1.6). Потенциал поля в точке М, положение которой определяется радиус-вектором r, равен = q / 4pe₀er. Направление радиус-вектора rсовпадает с направлением вектора напряженности E, а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора

.

Проекция же градиента потенциала на направление вектора t, перпендикулярного вектору r, равна

,

т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( = const).

В рассмотренном случае направление вектора rсовпадает с направлением
рис. 1.6

силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков. Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям.

рис. 1.7

При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. На рис. 1.7 приведена двухмерная картина электрического поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали — штриховыми.

Подобное изображение позволяет сказать, в какую сторону направлен вектор напряжённости электрического поля; где напряжённость больше, где меньше; куда начнёт двигаться электрический заряд, помещённый в ту или иную точку поля. Так как все точки эквипотенциальной поверхности находятся при одинаковом потенциале, то перемещение заряда вдоль нее не требует работы. Это значит, что сила, действующая на заряд, все время перпендикулярна перемещению.

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 3831 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

Рассмотрим две точки имеющие координаты (x, y, z) и (x + Δx, y ,z) и между которыми перемещается единичный заряд. Работа, которую необходимо совершить против сил электростатического поля, для переноса заряда из одной точки в другую, численно будет равна разности потенциалов в этих точках:

Согласно формуле (4 приведенной по ссылке) на том же отрезке работа по перемещению единичного заряда (q / = 1) можно выразить формулой:

Где Е_х – проекция вектора напряженности на координатную ось Х.

Приравняв правые части уравнений получим:

По аналогии и для других координат:

К эквипотенциальным поверхностям вектор напряженности Е электростатического поля нормален. В случае если вместо направляющих координат x, y, z взять нормаль n к эквипотенциальным поверхностям, то составляющие вектора Е_х, E_y, E_z можно будет заменить на Е, тогда:

Величина dφ/dn называется градиентом потенциала, имеет обозначение grad φ и характеризует быстроту изменения потенциала в направлении силовой линии. Исходя из этого, предыдущее выражение можно записать как:

Вектор напряженности Е численно равен градиенту потенциала, но направлен в сторону падения потенциала – в противоположную сторону.

Давайте определим напряженность электростатического поля между двумя бесконечными заряженными пластинами, расстояние между которыми равно d, а их потенциалы постоянны и равны φ₁ и φ₂. Поскольку заряды на пластинах распределены равномерно, электростатическое поле между пластинами одновременно (напряженность поля Е одинакова во всех точках между пластинами). Силовые линии перпендикулярны пластинам, а эквипотенциальные поверхности параллельны им. Применив к данному случаю уравнение (2) получим:

Где φ₁ — φ₂ = U – разность потенциалов между пластинами, которую часто называют напряжением.

Напряжение (разность потенциалов) – важная характеристика электростатического поля, так как при любых расчетах важно знать не абсолютные значения потенциалов в каких – либо двух точках поля, а разность потенциалов между ними. Когда говорят о потенциале в определенной точке поля, подразумевают разность потенциалов между данной точкой и другой, потенциал которой условно могут считать равным нулю (например, потенциал Земли принимают равным нулю).

Разность потенциалов и потенциал (электрическое напряжение U) в системе СИ принято измерять в вольтах:

Разность потенциалов между двумя точками будет равна 1 В, если для перемещения заряда 1 Кл между ними совершается работа 1 Дж.

В системе СГС аналогичная единица обозначается как 1 СГС_U. Соотношение между этими единицами: 1 СГС_U = 300 В.

Из формулы 3 следует, что напряженность электрического поля в системе СГС измеряется в единицах СГС_Е, а в системе СИ в вольтах на метр (В/м), что соответствует Н/Кл.

Пример

К пластинам плоского конденсатора приложено напряжение 600 В. Поверхностная плоскость зарядов на пластинах σ = 3,20·10 -4 Кл/м 2 . Необходимо определить расстояние между пластинами.

Решение

Напряженность поля конденсатора равна:

Где d – расстояние между пластинами, U – напряжение на них.

Выразим напряженность поля через поверхностную плоскость σ заряда на пластинах конденсатора:

Где ε = 1 (так как диэлектрик воздух), ε₀ – электрическая постоянная.

Приравняв правые части приведенных уравнений получим:

Связь между напряженностью и разностью потенциалов — понятия и формулы

Разность потенциалов

Для того чтобы понять связь между напряженностью и потенциалом, нужно рассмотреть некоторые определения. Так, указанный параметр представляет собой скалярную величину, какая равна соотношению между энергией заряда в поле к непосредственно заряду. То есть, f=W/q есть энергетический тип характеристики поля в определенной точке. Для разности потенциалов формула имеет вид U=f1-f2=A/q. Здесь A является работой, затрачиваемой на переходы зарядного элемента по поверхности, а q есть кулоновский заряд.

При этом электростатическая величина не зависит от количества заряда, каков находится в поле. То есть, энергия будет зависеть от выбора координатной системы и находится с точностью до постоянной. В зависимости от условий задачи за начало отсчета выбирается один из рассматриваемых вариантов:

1. Потенциал планеты Земля.
2. Бесконечно удаленная точка поля, которой можно обозначить любую часть пространства.
3. Отрицательная пластина емкостного или аналогичного конденсатора.

Численно он будет равняться работе по перемещению единичного плюсового заряда из точки электрического поля через бесконечность. Единица измерения указанного электрического параметра выражается в вольтах.

Разность потенциалов это в физике есть напряжение, которое также входит в раздел электрической динамики. Под ним понимают разницу значений в начальной и финальной точке траектории. Оно численно эквивалентно работе электростатического поля при перемещениях единичного положительного заряда вдоль силовых линий.

Физическая связь

Формула напряженности имеет вид E=U/delta (d). Это обозначает скорость изменения параметра вдоль направления d. Из указанного соотношения можно отметить:

• Вектор напряженности всегда направляется на уменьшение электрического и динамического потенциалов.
• Электрическое поле появляется в те моменты, когда можно связать разность потенциалов.
• Напряженность поля равняется соотношению вольта к метру, если между 2 точками на расстоянии 1 м друг от друга имеется разность в 1 В.

Для равномерно распределенного показателя важно наличие эквипотенциальных поверхностей. Их свойства заключаются в том, что работа при перемещении заряда вдоль такой поверхности не происходит, а вектор напряженности перпендикулярно расположен к ЭПП в любой точке.

Именно благодаря такому параметру можно отыскать некоторые физические величины. Напряженность помогает установить изменение скорости потенциального перемещения вдоль линий магнитного поля во времени. Энергетические характеристики используют в других разделах электродинамики и физики.

Неоднозначность определения

Так как величина определяется с точностью до произвольной постоянной (при этом все величины не изменятся), физический смысл имеет только разность, а не сама физическая единица.

При этом все остальные заряды по модулю при таких операциях как бы заморожены. Перемещение чаще всего воображаемое, хотя если остальные заряды закреплены или пробный очень мал, и при этом переносится относительно быстро, то формула определения разности потенциальных изменений верна.

Иногда для того, чтобы убрать неоднозначность, стоит применить некоторые естественные условия. Нередко такую физическую величину определяют так, чтобы она была равна нулю на бесконечности для любого числа точечных зарядов. Тогда для всех конечных систем зарядов выполнится аналогичное условие, а над константой можно не особо задумываться и принимать любую точку.

Также некоторые сложности имеются при употреблении терминов напряжение и электрический потенциал. Они имеют разный смысл, при этом нередко употребляются как синонимичные для электростатического потенциала. При неимении изменяющихся магнитных полей напряжение будет равняться разности потенциалов.