Уравнение температурного поля температурный градиент

Температурный градиент. Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела (или системы тел) температура

Температурное поле

Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела (или системы тел) температура неодинакова. В общем случае процесс распространения теплоты теплопроводностью в теле сопровождается измене­нием температуры, как в пространстве, так и во времени. Температурное состояние тела (или системы тел) можно охарактеризовать с помощью температурного поля.

Температурным полем называют совокупность значений температу­ры во всех точках тела для каждого времени.

Поскольку температура различных точек тела определяется ко­ординатами x, y, z и временем τ, то в общем случае уравнение температурного поля имеет вид:

(1)

Различают стационарные и нестационарные температурные поля. Если температура в точках тела не изменяется во времени, то такое температурное поле называют стационарным или установившимся, если же температура меняется во времени, то поле называют нестационар­ным или неустановившимся.

Температура в теле может меняться в направлении одной, двух или трех координатных осей. В соответствии с этим различают одно­мерные (линейные), двухмерные (плоскостные) и трехмерные (пространственные) температурные поля.

В соответствии с изложенной классификацией температурных по­лей уравнение (1) описывает трехмерное нестационарное поле.

Уравнение трехмерного стационарного поля имеет вид:

; (2)

Уравнение одномерного нестационарного поля принимает вид:

; (3)

Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационар­ного температурного поля:

; ; (4)

Температурный градиент

Геометрическое место точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру, называется изотермической поверхностью.

Так как одна и та же точка тела не может одновременно иметь различные температуры, то изотермические поверхности не пересекаются, они либо обрываются на поверхности тела, либо замыкаются сами на себя внутри тела. Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм, которые обла­дают теми же свойствами, что и изотермические поверхности.

На рис.1 приведены изотермы, температуры которых отличаются на Δt. Температура в теле изменяется только в направлениях, пересекающих изотер­мические поверхности (направление x). При этом наибольший перепад темпера­туры на единицу длины происходит в направлении нормали n к изотермической поверхности. Предел отношения измене­ния температуры Δt к расстоянию между изотермами по нормали Δn при усло­вии, что Δn→ 0 , называют темпе­ратурным градиентом, т.е.

(5)

Температурный градиент — векторная величина. За положительное направление вектора gradt принимается направление по нор­мали к изотермической поверхности в сторону возрастания температу­ры. Скалярную величину gradt мы также будем называть темпера­турным градиентом. Значение gradt не одинаково для различных то­чек изотермической поверхности, оно больше там, где расстояние между изотермическими поверхностями меньше.

Проекции вектора gradt на координатные оси Ox, Oy, Oz равны:

(6)

Тема 9.Теплопроводность

9.1. Температурное поле. Уравнение теплопроводности

Будем рассматривать только однородные и изотропные тела, т.е. такие тела, которые обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передачи теплоты в твердом теле, температура тела будет изменяться по всему объему тела и во времени. Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

где:t –температура тела;

x,y,z -координаты точки;

Такое температурное поле называется нестационарным ∂t/∂ i ¹ 0, т.е. соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности

Если температура тела функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным:

t = f(x,y,z) , ∂t/∂ i = 0 (9.2)

Уравнение двухмерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f(x,y,τ) ; ∂t/∂z = 0 (9.3)

для стационарного режима:

t = f(x,y) , ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i = 0 (9.4)

Уравнение одномерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f(x,τ) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i ¹ 0 (9.5)

для стационарного режима:

t = f(x) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i = 0 (9.6)

Изотермической поверхностью называется поверхность тела с одинаковыми температурой.

Рассмотрим две изотермические поверхности (Рис.9.1) с температурами t и t + ∆t. Градиентом температуры называют предел отношения изменения температуры∆t к расстоянию между изотермами по нормали ∆n, когда стремится к нулю:

Температурный градиент-это вектор, направленной по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры t по нормалиn:

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени называется тепловым потоком – Q, [Вт=Дж/с].

Тепловой поток, проходящий через единицу площади называют плотностью теплового потока – q = Q / F, [Вт/м 2 ]

Для твердого тела уравнение теплопроводности подчиняется закону Фурье:

Тепловой поток, передаваемая теплопроводностью, пропорциональна градиенту температуры и площади сечения, перпендикулярного направлению теплового потока.

q = -λ ∙ ∂t/∂n ∙n_o = -λ∙gradt , (9.9)

где: q – вектор плотности теплового потока;

Численное значение вектора плотности теплового потока равна:

q = -λ∙ ∂t/∂n = -λ∙|gradt| , (9.10)

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим способность тела проводит теплоту, Она зависит от рода вещества, давления и температуры. Также на её величину влияет влажность вещества. Для большинства веществ коэффициент теплопроводности определяются опытным путем и для технических расчетов берут из справочной литературы.

Температурное поле. Градиент температуры. Тепловой поток

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕПЛОТЕХНИКИ. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА

Теоретические основы теплотехники. Теплопередача: Учебное пособие. –: Изд., 2010. – 118 с.

В учебном пособии изложена теория основных разделов дисциплины. Выделены важнейшие положения, законы, методы теплотехнических расчетов. По каждой теме имеются вопросы и задания для контроля знаний, примеры решения задач. Приложение содержит справочный материал.

Пособие подготовлено на кафедре теоретической и промышленной теплотехники, соответствует программе дисциплины и предназначено для студентов специальности 100700 «Промышленная теплотехника» и 100500 «Тепловые электрические станции» Института дистанционного образования.

Ю.В. Видин – зав. каф. теоретических основ теплотехники Красноярского политехнического университета, профессор, кандидат технических наук;

С.В. Голдаев – старший научный сотрудник научно-исследовательского
института прикладной математики и механики при Томском госуниверситете, кандидат технических наук.

ВВЕДЕНИЕ

Ускорение научно – технического прогресса связано с полным удовлетворением потребностей страны в топливно-энергетических ресурсах. Наряду с увеличением добычи топлива и производства энергии эта задача решается путем осуществления активной энергосберегающей политики во всех отраслях народного хозяйства. Большинство современных производств сопровождаются теплотехнологическими процессами, от правильного ведения которых зависит производительность и качество выпускаемой продукции. В связи с этим, а также проблемами создания безотходной технологии и охраны окружающей среды значительно возросла роль теплотехники как науки, теоретическую базу которой составляют термодинамика и теплопередача.

Теплопередачаизучает законы переноса теплоты. Исследования показывают, что теплопередача является сложным процессом. При изучении этот процесс расчленяют на простые явления. Задачей курса является изучение простых и сложных процессов переноса теплоты в различных средах.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Способы переноса теплоты

Теплота самопроизвольно передается от тел с более высокой температурой к телам с более низкой температурой. При отсутствии разности температур теплообмен прекращается и наступает тепловое равновесие.

Различают три способа переноса теплоты: теплопроводность, конвекцию и тепловое излучение.

Теплопроводность – передача теплоты при контакте между телами и частицами тела. Теплопроводностью тепло передается по твердым телам, в жидкостях и газах.

Конвекция – перемещение массы жидкости или газа из среды с одной температурой в среду с другой температурой. Если движение вызвано разностью плотностей нагретых и холодных частиц – это естественная конвекция, если разностью давлений – вынужденная конвекция. Конвекцией теплота передается в жидкостях и газах.

Тепловое излучение – процесс распространения теплоты от излучающего тела с помощью электромагнитных волн. Он обусловлен температурой и оптическими свойствами излучающего тела (твердых тел, трех- и многоатомных газов).

В твердых телах теплота передается только теплопроводностью. Только излучением теплота передается между телами, расположенными в вакууме. Конвекцию невозможно отделить от теплопроводности.

Совместный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом.

Конвективный теплообмен между поверхностью и омывающей ее средой называется теплоотдачей.

Передача теплоты одновременно двумя или тремя способами называется сложным теплообменом.

Передача теплоты от одной среды к другой через разделяющую их стенку называется теплопередачей.

Температурное поле. Градиент температуры. Тепловой поток

Температурное полетела или системы тел – это совокупность мгновенных значений температур во всех точках рассматриваемого пространства. В общем случае уравнение температурного поля имеет вид

где t – температура; x , y, z, — координаты; t — время.

Такое температурное поле называется нестационарным. Если температура с течением времени не изменяется, то температурное поле называется стационарным. Тогда

t = f (x , y, z),

Температура может быть функцией одной, двух и трех координат; соответственно температурное поле будет одно-, двух- и трехмерным. Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля: t = f (x ).

Поверхность, объединяющая точки тела с одинаковой температурой, называется изотермической. Изотермические поверхности не пересекаются, они либо замыкаются на себя, либо заканчиваются на границе тела. Пересечение изотермических поверхностей с плоскостью дает на ней семейство изотерм: t, t — D t,
t + D t (рис. 1.1).

Направление, по которому расстояние между изотермическими поверхностями минимальное, называется нормалью (n) к изотермической поверхности.

Производная температуры по нормали к изотермической поверхности называется температурным градиентом

.

(1.2)

Температурный градиент – вектор, направленный по нормали к изотерме в сторону увеличения температуры.

Общее количество теплоты, переданное в процессе теплообмена через изотермическую поверхность площадью F в течение времени t,обозначим Q_t , Дж.

Количество теплоты, переданное через изотермическую поверхность площадью F в единицу времени, называется тепловым потоком Q, Вт.

Тепловой поток, переданный через единицу поверхности, называется плотностью теплового потока

Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности в сторону уменьшения температуры (рис. 1.1).