Уравнение температурной зависимости сопротивления проводника и полупроводника

Зависимость сопротивления проводника от температуры

Практически в электротехнике выло выявлено, что с увеличением температуры сопротивление проводников из металла возрастает, а с понижением уменьшается. Для всех проводников из металла это изменение сопротивления почти одинаково и в среднем равно 0,4% на 1°С.

Если быть точным, то на самом деле при изменении температуры проводника изменяется его удельное сопротивление, которое имеет следующую зависимость:

где ρ и ρ₀, R и R₀ — соответственно удельные сопротивления и сопротивления проводника при температурах t и 0°С (шкала Цельсия), α — температурный коэффициент сопротивления, [α] = град -1 .

Изменение удельного сопротивления проводника приводит к изменения самого сопротивления, что видно из следующего выражения:

Зная электронную теорию строения вещества можно дать следующее объяснение увеличению сопротивления металлических проводников с повышением температуры. При увеличении температуры проводник получает тепловую энергию, которая несомненно передается всем атомам вещества, в результате чего .возрастает их тепловое движение. Увеличившееся тепловое движение атомов создает большее сопротивление направленному движению свободных электронов (увеличивается вероятность столкновения свободных электронов с атомами), от этого и возрастает сопротивление проводника.

С понижением температуры направленное движение электронов облегчается (уменьшается возможность столкновения свободных электронов с атомами), и сопротивление проводника уменьшается. Этим объясняется интересное явление — сверхпроводимость металлов. Сверхпроводимость, т. е. уменьшение сопротивления металлов до нуля, наступает при огромной отрицательной температуре —273° С, называемой абсолютным нулем. При температуре абсолютного нуля атомы металла как бы застывают на месте, совершенно не препятствуя движению электронов.

График звисимости сопротивления металлического проводника от температуры представлен на рисунке 1.

Рисунок 1. График зависимости удельного сопротивления металлического проводника от температуры

Необходимо сказать, что сопротивление электролитов и полупроводников (уголь, селен и другие) с увеличением температуры уменьшается.

Температурная зависимость сопротивления электролита объясняется также в основном изменением удельного сопротивления,однако всегда температурный коэффициент сопротивления — α

Поэтому кривая зависимости сопротивленя электролита от температуры имеет вид, представленый на рисунке 2.

Рисунок 1. График зависимости удельного сопротивления электролита от температуры

Ддя полупроводников характер изменения удельного сопротивления от температуры будет схож с таковым для элетролитов.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Изучение температурной зависимости сопротивления металла и полупроводника

Лабораторная работа Э—4

ИЗУЧЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА И ПОЛУПРОВОДНИКА

Цель работы: экспериментально определить температурный коэффициент сопротивления металла и ширину запрещённой зоны полупроводника.

По электрическим свойствам вещества разделяют на три класса: проводники, диэлектрики и полупроводники [2–4]. Типичными проводниками являются металлы, у которых удельное электрическое сопротивление r 1014 Ом×м, относятся к диэлектрикам. Полупроводниками являются ряд элементов III–VI групп таблицы элементов (B, Ge, Si, As, Te и т. д.), а также большое число химических соединений (GaAs, GaP, ZnS, SiC и др.). В зависимости от внешних условий (температура, давление) одно и то же вещество может относиться к разным классам. Например, германий при температуре жидкого азота 77 К – диэлектрик, при комнатной температуре – полупроводник, а в жидком состоянии является проводником.

Квантовая теория твердого тела дает более обоснованную классификацию веществ. Согласно этой теории, электроны в атоме могут иметь только определенные значения энергии, которые называют энергетическими уровнями. Именно эти уровни при объединении отдельных атомов в кристалл образуют разрешённые энергетические зоны. Промежуток, разделяющий такие зоны, называют запрещённой зоной (рис. 4.1). Энергетическая зона считается заполненной, если все уровни зоны заняты электронами. При этом, согласно принципу Паули, на одном энергетическом уровне может находиться не более двух электронов, имеющих противоположно направленные спины. Зона считается свободной, если все уровни этой зоны не заняты.

Рис. 4.1. Энергетические зоны:

ВЗ – валентная; СЗ – свободная; DW – ширина запрещённой зоны. Штриховкой отмечена заполненная часть зоны (при абсолютной температуре Т = 0 К).

Если в веществе валентные электроны, ответственные за все электрические свойства, образуют полностью заполненную зону (её называют валентной зоной) так, что последующая разрешённая зона свободна (её называют зоной проводимости), то электропроводность такого вещества равна нулю, и оно является диэлектриком. Действительно, движение электронов под действием внешнего электрического поля (электрический ток), предполагает увеличение энергии электронов, то есть переход их на более высокий незанятый энергетический уровень. В случае же полностью заполненной валентной зоны таких уровней нет, значит, в веществе с такой зонной структурой электрон не может ускоряться внешним электрическим полем.

Для того чтобы перевести электроны из валентной зоны в зону проводимости, им следует сообщить энергию, не меньшую, чем ширина запрещённой зоны DW. Часть электронов приобретает эту энергию при облучении вещества светом или за счёт теплового движения атомов. Поэтому при обычных температурах (T » 300 К) в зоне проводимости есть некоторое количество электронов. В зависимости от их концентрации вещество может быть либо диэлектриком, либо полупроводником, причём различие между этими классами определяется значениями DW и температуры T. Для полупроводников при комнатной температуре ширина запрещённой зоны DW составляет 0,02 – 2 эВ, а для диэлектриков – больше 2 эВ.

Температурная зависимость проводимости полупроводников определяется изменением концентрации носителей тока – электронов, перешедших в зону проводимости. При увеличении температуры их количество экспоненциально возрастает, поэтому сопротивление R чистых полупроводников уменьшается с ростом температуры T по закону

, (4.1)

где A – величина, слабо зависящая от температуры; k = 1,38×10–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Проводники имеют другую зонную структуру. Валентные электроны частично заполняют зону (рис. 4.1), при этом электроны могут свободно перемещаться под действием внешнего электрического поля. Валентная зона является в данном случае зоной проводимости. В проводнике концентрация свободных электронов не зависит от температуры – в этом основное отличие проводника от полупроводника и диэлектрика. Для проводников зависимость сопротивления от температуры значительно слабее, чем для диэлектриков. Она определяется рассеянием энергии электронов при взаимодействии с дефектами и фононами (квантами упругих волн) кристаллической решетки. С ростом температуры увеличивается число фононов, что ведет к снижению длины свободного пробега электронов проводимости в металле. При этом электрическое сопротивление R проводников увеличивается по линейному закону

где R0 – сопротивление проводника при 0 ºС, at – температурный коэффициент сопротивления (ТКС), t – температура в градусах Цельсия.

Описание метода исследования

Зависимость сопротивления проводника от температуры (4.2) в координатах
R ↔ t изображается прямой линией, угловой коэффициент которой

По величине k1 можно определить значение температурного коэффициента сопротивления исследуемого проводника:

. (4.4)

Значение сопротивления проводника R0 находится путем экстраполяции полученной линейной зависимости до температуры 0 ºС.

Для полупроводника зависимость сопротивления от температуры нелинейная, поэтому для её нахождения используют координаты lnR ↔ , где Т – температура по шкале Кельвина. Действительно, логарифмируя уравнение (4.1), получаем

. (4.5)

График функции lnR от является линейным с угловым коэффициентом:

. (4.6)

Это позволяет найти ширину запрещённой зоны полупроводника по формуле:

Таким образом, если экспериментально найти зависимость сопротивления проводника и полупроводника от температуры, то можно рассчитать для первого – ТКС at, для второго – ширину запрещённой зоны DW.

Оборудование: регулируемый источник постоянного напряжения, миниблоки «Исследование температурной зависимости сопротивления проводника и полупроводника», «Ключ», мультиметры.

Электрическая схема установки показана на рис. 4.2, описание миниблока – на рис. 4.3, а монтажная схема – на рис. 4.4.

Рис. 4.2. Электрическая схема:

1 – регулируемый источник постоянного напряжения («0 … +15 В»); 2 – электронагреватель; 3 – термопара; 4, 5 – исследуемые образцы проводника и полупроводника; 6 – миниблок «Исследование температурной зависимости сопротивления проводника и полупроводника»; 7 – переключатель; 8 – блок «Ключ»; 9 – мультиметр в режиме измерения сопротивления; 10 – мультиметр в режиме измерения температуры

Электронагреватель 2 подключен к регулируемому источнику постоянного напряжения 1 («0…+15 В»). При включении источника начинается нагрев исследуемых образцов. Для измерения сопротивления образцов 4, 5 в режиме непрерывного нагрева их поочередно подсоединяют к мультиметру 9 с помощью переключаТемпературу образцов измеряют с помощью термопары 3, напряжение с которой подаётся на клеммы измерителя температуры (мультиметр 10).

Рис. 4.3. Миниблок «Исследование температурной зависимости сопротивления проводника и полупроводника»:

1 – клеммы термопары для подключения к мультиметру; 2 – нагреватель печи;

Rпр – вывод проводника;

Rпп – вывод полупроводника

Рис. 4.4. Монтажная схема установки:

6, 8, 9, 10 – см. рис. 4.2

1. Заполнить табл. 4.2 (см. бланк отчёта).

2. Собрать электрическую цепь по монтажной схеме, приведённой на рис. 4.4. При подсоединении термопары к мультиметру необходимо учитывать полярность подключения проводов.

3. Включить в сеть блоки питания генераторов и мультиметров. Нажать кнопку «Исходная установка».

4. Установить необходимые режимы измерений мультиметров. Учесть, что при измерении сопротивления проводника переключатель диапазонов ставится в положение 200 Ом, а полупроводника – 2 кОм или 20 кОм.

5. С помощью миниблока «Ключ» подключая поочередно к мультиметру проводник (положение А) и полупроводник (положение B), измерить их сопротивление при комнатной температуре. Результаты измерений записать в табл. 4.3 (см. бланк отчёта).

6. Кнопками «Установка напряжения 0 … +15 В» установить по индикатору 7–8 делений.

7. По мере нагрева образцов, измерять по п. 4 их сопротивления через каждые 5 ºС до 70 ºС. Результаты измерений записать в табл. 4.3.

8. Выключить из сети блоки питания генераторов напряжений и мультиметров.

Обработка результатов измерений

1. По данным табл. 4.3 построить график температурной зависимости сопротивления проводника от температуры в координатах R ↔ t. Ось температуры следует начинать с 0 ºС.

2. Экстраполируя полученную линейную зависимость до пересечения с осью ординат, найти сопротивление проводника R0 при температуре 0 ºС.

3. По полученному графику рассчитать среднее значение углового коэффициента k1. Для этого на концах экспериментальной прямой выбрать две точки 1 и 2 и спроецировать их на координатные оси. Тогда

. (4.8)

4. По формуле (4.4) вычислить величину среднего температурного коэффициента сопротивления at исследуемого проводника.

5. По данным табл. 4.3 построить для полупроводника график в координатах lnR ↔ . Линейный характер этого графика подтверждает экспоненциальный характер зависимости сопротивления полупроводника от температуры.

6. По этому графику определить среднее значение углового коэффициента прямой k2 аналогично п. 3:

. (4.9)

7. По формуле (4.7) вычислить ширину запрещенной зоны полупроводника DW. Записать её значение в джоулях и электрон-вольтах.

Оценка погрешностей измерений

1. Систематическая относительная погрешность при косвенном многократном измерении температурного коэффициента сопротивления находится по известным правилам. За исходную функцию удобно взять выражение, полученное из формулы (4.2)

. (4.10)

; (4.11)

здесь , – систематическая относительная погрешность мультиметра при измерении сопротивления и температуры (табл. 4.2).

2. Случайная относительная погрешность косвенных измерений величины at находится по тому же правилу, что и в п. 1. В качестве исходной функции удобно взять расчётную формулу (4.4). Тогда

, (4.12)

где , – доверительные границы случайной абсолютной погрешности среднего углового коэффициента и сопротивления проводника при температуре 0 ºС.

Поскольку зависимость сопротивления проводника от температуры является функцией линейной и изображается прямой, то погрешности и наиболее просто найти графическим способом по формулам:

, (4.13)

, (4.14)

где – коэффициент Стьюдента, P – доверительная вероятность, N – число измерений, RA, RB – см. на рис. 4.5. Провести параллельно экс­перименталь­ной прямой по обе стороны две прямые A и B по возможности ближе так, чтобы большинство точек, (кроме про­махов) оказалось внутри.

СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДНИКА И ПОЛУПРОВОДНИКА

Отчёт

По лабораторной работе № 3

«Изучение температурной зависимости

сопротивления проводника и полупроводника»

Выполнил (а): И.Р.Сагидулин

Студент II курса группы ЗМ -207

Работа защищена с оценкой

______________ Т.Ю. Васинькина

ИЗУЧЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДНИКА И ПОЛУПРОВОДНИКА

ЦЕЛЬ: определение температурного коэффициента сопротивления (ТКС) проводника и ширины запрещенной зоны полупроводника.

ОБОРУДОВАНИЕ: регулируемый источник постоянного напряжения, миниблоки «Исследование температурной зависимости сопротивления проводника и полупроводника» и «Ключ», мультиметры.

По электрическим свойствам вещества разделяют на три класса: проводники, диэлектрики и полупроводники. Типичными проводниками являются металлы, обладающие малым удельным сопротивлением – менее 10 -6 Ом·м. Удельное электрическое сопротивление полупроводников r обычно лежит в пределах 10 -6 …10 -14 Ом·м. Материалы, у которых величина r больше 10 -14 Ом·м, относятся к диэлектрикам. Полупроводниками являются ряд элементов III-VI групп таблицы элементов Д.И.Менделеева (B, Ge, Si, As, Te и т.д.), а также большое число химических соединений (GaAs, GaP, ZnS, SiC и др.). В зависимости от внешних условий (температура, давление) одно и то же вещество может относиться к разным классам. Например, германий при температуре жидкого азота 77 К – диэлектрик, при комнатной температуре – полупроводник, а жидкий Ge – проводник.

Теория дает более обоснованную классификацию веществ. Согласно квантовой теории электроны в атоме могут иметь только определенные значения энергии, которые называют энергетическими уровнями. Именно эти уровни при объединении отдельных атомов в кристалл образуют разрешенные энергетические зоны. Промежуток, разделяющий такие зоны, называют запрещенной зоной (рис. 1). Энергетическая зона считается заполненной, если все уровни зоны заняты электронами. При этом согласно принципу Паули на одном энергетическом уровне может находится не более двух электронов, имеющих противоположно направленные спины. Зона считается свободной, если не заняты все уровни этой зоны.

Рис. 1. Энергетические зоны.

Обозначения энергетических зон:

В3 – валентная; С3 – свободная;

∆W – запрещенная. Штриховкой отме-

чена заполненная часть зоны (при

температуре Т = 0 К).

Если валентные электроны атомов, ответственные за электрические свойства вещества, образуют полностью заполненную (валентную) зону так, что последующая разрешенная зона (зона проводимости) свободна, то электропроводность такого вещества равна нулю, и он является диэлектриком. Действительно, при протекании тока в веществе происходит движение электронов под действием внешнего электрического поля, что предполагает увеличение энергии электронов, т.е. переход их на более высокий незанятый энергетический уровень. Эти уровни отсутствуют в случае заполненной валентной зоны, а значит в веществе с такой зонной структурой электрон не может ускоряться внешним электрическим полем.

Для того, чтобы перевести электроны из валентной зоны в зону проводимости, им следует сообщить энергию, не меньшую, чем ширина запрещенной зоны ∆W.

Часть электронов приобретает эту энергию при облучении вещества светом или за счет теплового движения атомов. Поэтому при обычных температурах (Т ≈ 300 К) в зоне проводимости есть некоторое количество электронов. В зависимости от их концентрации вещество может быть либо диэлектриком, либо полупроводником, причем различие между этими классами определяется значениями ширины запрещенной зоны ∆W и температуры Т. Для полупроводников при комнатной температуре ∆W составляет 0,02 – 2 эВ, а для диэлектриков – больше 2 эВ.

Температурная зависимость проводимости полупроводников определяется изменением концентрации носителей тока – электронов, перешедших в зону проводимости. При увеличении температуры их количество экспоненциально возрастает, поэтому сопротивление R чистых полупроводников уменьшается с ростом температуры Т по закону

где A – величина, слабо зависящая от температуры; k = 1,38 ·10 -23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Проводники имеют другую зонную структуру. Валентные электроны заполняют зону примерно наполовину (см. рис. 1), при этом электроны могут свободно перемещаться под действием внешнего электрического поля. Валентная зона является зоной проводимости. В проводнике концентрация свободных электронов не зависит от температуры – в этом основное отличие проводника от полупроводника и диэлектрика. Для проводников зависимость сопротивления от температуры значительно слабее, чем для диэлектриков. Она определяется рассеянием энергии электронов при взаимодействии с ионами кристаллической решетки. С ростом температуры увеличивается амплитуда колебаний ионов, что ведет к снижению длины свободного пробега электронов проводимости в металле. При этом электрическое сопротивление R проводников увеличивается по линейному закону

где t – температура в градусах Цельсия; R₀ – сопротивление проводника при 0 ° С;

a — температурный коэффициент сопротивления (ТКС).

Методика определения величины ТКС проводника

и ширины запрещенной зоны полупроводника

Уравнение (2) температурной зависимости сопротивления проводника в координатах R – t изображается прямой линией, угловой коэффициент которой К₁ = R₀a. По величине К₁ можно определить значение ТКС исследуемого проводника:

где R₀ – значение R при температуре 0 ° С определяют путем экстраполяции линейной зависимости до t = 0 ° С.

Величину углового коэффициента экспериментальной зависимости также определяют по графику или с помощью метода наименьших квадратов (см. приложение 1).

Для полупроводника зависимость сопротивления от температуры нелинейная, поэтому для определения ее параметров используют функциональные шкалы ln R – 1/Т. Действительно, логарифмируя уравнение (1), получаем

(4)

Эта зависимость ln R от 1/Т является линейной с угловым коэффициентом К₂ = ∆W/2k, что позволяет найти ширину запрещенной зоны полупроводника по формуле

Таким образом, для определения величины ТКС проводника и ширины запрещенной зоны полупроводника ∆W достаточно получить экспериментально температурные зависимости их сопротивления.

Электрическая схема установки показана на рис. 2.

Рис. 2. Электрическая схема:

1- регулируемый источник постоян-

ного напряжения (0…+15 В);

2- электронагреватель; 3 — термопара

4, 5 – исследуемые образцы провод-

ника и полупроводника; 6 – блок

«Исследование температурной зави-

симости сопротивления проводника

и полупроводника»; 7 – переключа-

тель; 8 – блок «Ключ»; 9 — цифровой

мультиметр в режиме измерения сопротивления (режим W 2 кОм, входы COM, VW); 10 – цифровой мультиметр в режиме измерения температуры (режим °С, входы 5)

Электронагреватель 2 подсоединен к регулируемому источнику постоянного напряжения 1 (0…+15 В). При включении источника напряжения начинается нагрев исследуемых образцов. Для измерения сопротивления образцов 4, 5 в режиме непрерывного нагрева их поочередно подсоединяют к цифровому мультиметру 9 с помощью переключателя 7. Температуру образцов измеряют с помощью термопары 3, сигнал с которой подается на мультиметр 10 (разъем для подключения термопары).

Порядок выполнения работы

1. Соберите электрическую цепь. При подсоединении термопары к мультиметру необходимо учитывать полярность подсоединения проводов.

2. Включите кнопками «Сеть» питание блока генераторов напряжения и блока мультиметров. Нажмите кнопку «Исходную установка».

3. Установите необходимые режимы измерения мультиметров. Учесть, что при измерении сопротивления проводника переключатель диапазона ставится в положение 200 Ом, а полупроводника – 2 кОм.

4. Измерьте сопротивление проводника (R_пр) и полупроводника (R_пп) при комнатной температуре подключая с помощью миниблока «Ключ» поочередно к мультиметру проводник (положение А) и полупроводника (положение В). Результаты измерений R_пр и R_пп и температуры t (0 ° С) запишите в таблицу.

1. Кнопками установки напряжения «0…15 В» установите по индикатору 7-8 делений.
2. По мере нагрева образцов, измеряйте по п. 4 их сопротивление через каждые 5 ° С до температуры 70 ° С. Все результаты измерений записывайте в таблицу.
3. Выключите кнопками «Сеть» питание блока генераторов напряжения и блока мультиметров.

Обработка результатов измерения

1. По данным таблицы постройте график температурной зависимости сопротивления проводника от температуры в координатах R-t. Ось температуры необходимо начать с 0 ° С.

2. По графику определите сопротивление R₀ при температуре t = 0 ° С, а также угловой коэффициент прямой К₁ и его относительную погрешность d_К.

R = R₀(1+at) Þ =

3. По формуле (3) вычислите величину температурного коэффициента сопротивления a исследуемого проводника.

4. Оцените ее относительную погрешность по формуле , где погрешность d_R величины R₀ определяется разбросом точек относительно проведенной прямой либо приборной погрешностью мультиметра 1% .

1. По данным таблицы постройте два графика: один в координатах R-t, а второй – в координатах (ln R – 1/Т). Линейный характер второго графика показывает, что зависимость сопротивления полупроводника от температуры действительно экспоненциальная.

2. Определите по второму графику угловой коэффициент прямой К₂ и его относительную погрешность d_К.

3. По формуле (5) вычислите ширину запрещенной зоны полупроводника ∆W.

4. Укажите относительную погрешность величины ∆W: dw = d_К.