Уравнение теплопередачи через среднеинтегральный температурный напор

ТЕПЛОМАССООБМЕН

Контрольные вопросы

1. Как определяется средний температурный напор для сложных схем движения теплоносителей?

Средний температурный напор. При выводе формулы осред нения температурного напора рассмотрим простейший теплообменный аппарат, работающий по схеме прямотока. Количество теплоты, передаваемое в единицу времени от горячей жидкости к холодной через элемент поверхности dF (рис. 3), определяется уравнением

При этом температура горячей жидкости понизится на dt ₁ a холодной повысится на dt ₂ . Следовательно,

Изменение температурного напора при этом

Подставляя в уравнение (д) значение dQ из уравнения (а), по лучаем:

Обозначим ( t ₁ — t ₂ ) через Δ t и произведем разделение перемен ных:

d( Δ t )/ Δ t =—mkdF. (ж)

Если значения т и k постоянны, то, интегрируя уравнение (ж), получаем:

дг

(3)

где — местное значение температурного напора ( t ₁ — t ₂ ) относящееся к элементу поверхности теплообмена.

Из уравнения (и) видно, что вдоль поверхности нагрева темпе ратурный напор изменяется по экспоненциальному .закону. Зная этот закон, легко установить и среднее значение температурного напора .

На основании теоремы о среднем (при k = const ) имеем:

(к)

Подставляя в уравнение (к) значение mkF и e mkF из уравнений (з) и (и) и имея в виду, что согласно рис. 3 в конце поверхности нагрева Δ t = Δ t ’, окончательно имеем:

(7)

(7а)

Такое значение температурного напора называется среднелогар ифмическим и часто в литературе обозначается Δ t _лог .

Точно таким же образом выводится формула осреднения темпе ратурного напора и для противотока. Отличие лишь в том, что в правой части уравнения (г) следует поставить знак минус, и поэ тому здесь m = 1/ W ₁ — 1/ W ₂ . Окончательная формула для сред него логарифмического температурного напора при противотоке имеет вид:

(8)

При равенстве величин W ₁ и W ₂ в случае противотока ( m = 0) из уравнения (и) имеем: Δ t = Δ t ‘. В этом случае температурный напор по всей поверхности постоянен:

(л)

Формулы (7) и (8) можно свести в одну, если независимо от начала и конца поверхности через Δ t _б обозначить больший, а че рез Δ t _м меньший температурные напоры между рабочими жидкостями. Тогда окончательная формула среднелогарифмического тем пературного напора для прямотока и противотока принимает вид:

(9)

Вывод формул для среднелогарифмического температурного напора сделан в предположении, что расход и теплоемкость рабочих жидкостей, а также коэффициент теплопередачи вдоль поверхно сти нагрева остаются постоянными. Так как в действительности эти условия выполняются лишь приближенно, то и вычисленное по формулам (7), (8) или (9) значение также приближенно.

В тех случаях, когда температура рабочих жидкостей вдоль поверхности нагрева изменяется незначительно, средний температурный напор можно вычислить как среднеарифметическое из край них напоров Δ t ‘ и Δ t «:

(10)

Среднеарифметическое значение температурного напора всегда больше среднелогарифмического. Но при Δ t «/Δ t ‘>0,6 они отли чаются друг от друга меньше чем на 3%. Такая погрешность в тех нических расчетах вполне допустима.

Для аппаратов с перекрестным и смешанным током рабочих жидкостей задача об усреднении температурного напора отличается сложностью математических выкладок. Поэтому для наиболее ча сто встречающихся случаев результаты решения обычно представ ляются в виде графиков. Для ряда схем такие графики приведены в приложении (у Михеева М.А. Основы теплопередачи). При помощи их расчет среднего температурного напора производится следующим образом. Сначала по формуле (8) определяется среднелогарифмический температурный напор как для чисто противоточных аппаратов. Затем вычисляются вспо могательные величины Р и R : ‘

(11)

(12)

По этим данным из соответствующего вспомогательного гра фика (см. рис. П-5—П-15) находится поправка ε_Δе. Итак, в общем случае средний температурный напор определяется формулой

Средний температурный напор

Средний температурный напор

• Среднетемпературная головка Если температура охлаждающей жидкости изменяется в соответствии с законом о прямой (Рис. 30-4, пунктирная линия), средняя температура Эквивалент разности средних арифметических значений устройств: Cr = e; + Q / 2-w + o / 2. (ZO-5) Однако температура рабочего тела не изменяется линейно. Таким образом, уравнение (30-5) является лишь приближенным и

может использоваться для небольших изменений температуры обеих жидкостей. Определите значение D / sr для агрегата с системой прямого потока с нелинейным iz-рисом zo_4. Изменение температуры рабочей жидкости (Рисунок 30-4). -… в любом сечении A разница между температурой G высокотемпературной охлаждающей жидкости и температурой i \ низкотемпературной охлаждающей жидкости (А) (‘- («= T. Количество тепла, передаваемого от высокой

температуры к низкотемпературному теплоносителю через основную поверхность теплопередачи dF, горячего теплоносителя снижается на dt \, температура низкотемпературного теплоносителя увеличивается на dl \, а затем DQ А дт «= dQ м2 Cp2 dQ = -m ^ df = m # p9df или Дифференцируя

определяется следующим уравнением. dQ = KdFv. (В) При теплопередаче dQ температура Людмила Фирмаль

уравнение (а) и подставляя значения dt ‘и dt \ yields: DX- ^ — JO— т мл и пи м2 Cp » или dQ = -dx Я 1 Wj Cpi с пи Представляет количество (—— 1 ——) = nt ^ mlCPi rn2cP2 J dQ = -dx / n. (С) Присвойте значение dQ в (c) формуле (b). -dx / n = KdFr, или -dx / x = KdFn. (G) Если величины η и k постоянны, интегрируя уравнение (r) в интервале t \ -t \ = xi

F, т, г — ^ dx / x-pc ^ dFt т, о ‘ или lt \ XL / x a = i / s / 7 * Откуда „• _! £ ага .. • (e) мкФ Интегрировать выражение (с) Положим Q = (i! -X 2) fn и

значение n из уравнения (e). t ‘

t * fcF. (30-6) TI / TJ Однако тепловой поток Q из уравнения (30-4) равен Для Ti / T2: Значение A / sr в уравнении (30-7) называется средним логарифмическим перепадом температуры. Где xx — это разность температур между охлаждающими жидкостями на одном конце устройства, а m2 — это значение на другом конце устройства. Для оборудования с прямым потоком • Вода 2,3 мкг [(/, ‘- /!) / (/; — /; » Аналогичным образом получено уравнение для среднего значения температуры для противоточного устройства. A / co = ^ IzillLzSllzdjl. (30-9) При тех же условиях устройства с

противотоком всегда будут иметь меньшее значение Д / ^, чем А / для устройств с противотоком, поэтому устройства с противотоком будут меньше. Принимая изменение температуры каждого теплоносителя в системе по линейному закону (температурный график пунктирной линии на рисунке 30-4), средняя арифметическая разница температур немного больше, чем средний логарифм. Окончательное определение температуры охлаждающая жидкость В реальных расчетах может

потребоваться определить конечную температуру рабочего тела, проходящего через теплообменник. В этом случае известными значениями являются поверхность нагрева F, коэффициент теплопередачи / с, условный эквивалентный коэффициент и W2, а также начальные температуры t \ и t . Необходимо найти конечную температуру t \, t \ и теплопередачу Q. Прямой поток. При условии отсутствия потерь оборудования в окружающую среду количество тепла, передаваемого через элемент поверхности dF, составляет W ^ -dQ; dQ = W2 ‘(+ dtt), Откуда dft- /,) -J- + J-). Это известно dQ «/ s (/, — / J dF, тогда Интегрируя полученное уравнение по всей поверхности F устройства с прямым потоком, TI-TI UI WJ или = e

Чтобы получить конечную температуру рабочего тела, вычтите обе части уравнения из 1. f * или Из уравнения теплового равновесия Wi «2-12 = или «-E-b» («-«). Подставляя значение / 3 в полученное уравнение, вы получите! Для горячего теплоносителя Я ^ ^ WJ / = / 2) ^ Прямо, -JT J Для охлаждающей жидкости Ну, /v…/W7! L ‘/ 7 \ / 2-f2) -Фпряк ^ -, -J Количество переданного тепла определяется из следующего уравнения: Q = ttM’t — «) — Wi (ti-ti)» Фпрпм (-Ь -.) — В этом уравнении | стороны, аналитический вывод уравнения для определения конечной

температуры в противотоке выполняется так же, как в прямом потоке. , Изменение температуры горячего теплоносителя Таблица 301 Прямой поток Значение функции прямого потока KF / Вес 1 г 1 1 * 1 2 3 oO 30 10 3 2 0,96 0,95 0,91 0,89 0,81 0,66 0,5. 0 33 0,17 0,09 0,05 0,02 0,01 0,00 0,63 0,63 0,62 0,61 0,58 0,52 0,43 0,32 0,17 0,09 0,05 0,02 0,01 0,00 0,86 0,86 0,84 0,81 0,76 0,63 0,49 0,33 0,17 0,09 0,05 0,02 0,01 0,00 0,28 0,28 0,28 0,28 0,27 0,26 0,25 0,21 0,14 0,09 0,05 0,02 0,01 0,00 0,39 0,39 0,39 0,38 0,38 0,35 0,32 0,26 0,16 0,09 0,05 0,02 0,01 0,00 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,032 0,028 0,024 0,016 0,009 0,0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,09 0,09 0,08 0,06 0,04 0,02 0,01 0,00 0 0,01 0,05 • 0,1 0,2 0,5 1,0 2,0 5,0 10,0 20,0 50,0 100,0 Изменение температуры охлаждающей жидкости выглядит

Определяется прямо из таблицы. 30-1. ‘т, о к. С другой Людмила Фирмаль

следующим образом: h-h-Vi 4J w YnpoT ^ ^. да Количество переданного тепла Q-r.K-flW ^ .- ^ -). В этом уравнении i |> npoT определяется по таблице. 30-2. Таблица 30-2 Значение функции ^ prot для встречного потока 3 » 2 0,95 0,65 0,94 0,94 0,93 0,89 * 0,77 0,49 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,00 0,39 0,39 0,39 0,38 0,38 0,36 0,34 0,29 0,18 0,1 0,05 0,02 0,01 0,00 0,63 0,63 0,62 0,61 0,60 0,57 0,51 0,39 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,00 0,86 0,86 0,86 0,85 0,83 0,78 0,68 0,46 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,00 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,032 0,028 0,024 0,016 0,01 0,00 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,09 0,08 0,06 0,04 0,02 0,01 0,00 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,26 0,25 0,23 0,16 0,1 0 ‘, 05 0,02 0,01 0,00 0,0 0,01 0,05 0,1 0,2 0,5 1,0 2,0 5,0 10,0 20,0 50,0 100,0 GS

Перекрестное течение. Расчеты анализа нагревателя поперечного потока довольно сложны и основаны на работе, выполненной Нуссельтом в 1911 году. В приближенном расчете известными значениями являются поверхность устройства / \ коэффициент теплопередачи / с, условный эквивалент W1 и W2, начальная температура t \ и t . Необходимо найти конечную температуру C и количество тепла Q. Количество тепла, выделяемого горячей средой, составляет q = wl (/; — о, Конечная температура t’l ^ n-Q / W, для

холодной охлаждающей жидкости Q = W, (T, -Q, Откуда = + Q / ip *. Предполагая, что температура рабочего тела изменяется линейно, Подставляя эти значения в это уравнение вместо t \ и t \, Q = KF f’l + n-Q, ^ ^ + n + Q / ^ y ^ F (т [Q / Wi_t._Q / 2Wt) или q / kF = t \ -Q / 2wi — q / 2wit Откуда Q ——itzli-. \ / kF +1 -b1 / 21 ^ 2 Если количество теплоты Q известно, конечные температуры t 1 и t 2 могут быть определены из уравнения. Контрольные вопросы и примеры в главе XXX 1. Что называется теплообменником? 2. На какую группу можно разделить теплообменники? 3. Каков механизм движения жидкости? 4.

Основные уравнения теплообмена и теплового баланса. , 5. Что такое условный эквивалент? 6. Как изменяется температура жидкости в оборудовании и условный эквивалент? 7. График изменения температуры рабочей жидкости в устройстве. О прямом потоке и противотоке. 8. Как усредняется коэффициент теплопередачи? 9. Как определяется арифметическая средняя температура головки прибора? 10. Вывод среднего логарифмического уравнения. Температура головы. 11. Напишите уравнение для средней логарифмической

температуры для устройств постоянного тока и противоточных устройств. 12. Как определяется конечная температура рабочей жидкости в устройстве с прямым, противотоком или поперечным потоком? Пример 30-lv Противоточный водяной теплообменник типа «труба в трубе», когда нагретая вода поступает при температуре t \ = 97 ° C и расходе mx = 1 кг, определяет поверхность нагрева. Нагретая вода проходит через внутреннюю стальную трубу диаметром d2 / dj = 40/37 мм. Теплопроводность стальной трубы I = 50 Вт! (М • град). Нагретая

жидкость движется по кольцевому каналу между трубами и нагревается от температуры t’2 = 17 ° C до / «= 47 ° C. Внутренний диаметр наружной трубы составляет 54 мм. Нагретая жидкость Расход составляет t2 = 1,14 кг. Потери от теплообменника в окружающую среду игнорируются. Количество переданного тепла , Q = m ^ Cpz (/; — Q = 1,14 • 4190 (47-17) = 140 000 Вт. Температура нагретой воды на выходе

из устройства составляет = — = 97— = bss s. 1 1 млКПи 4190. Физические свойства теплоносителя-воды при одинаковой средней температуре … 1 2. 2 Далее: плотность р! = 972 кг! M * \ Кинематическая вязкость = 0,365 • 10-6 мУсек; Коэффициент теплопроводности I = • — = -0,674 Вт / (м • град); Коэффициент термодиффузии a% = = 1,66 • 10-7 мУсек; «Стандарт Прандтля Pr! = 2,2. Физические свойства воды нагревают при средней температуре, равной £ i ± ii = 21 ± L = 32 ° C, Ниже:

плотность р2 = 995 кг / л3; Кинематическая вязкость v2 = 0,776 • 10_v мсек; коэффициент теплопроводности I = 0,62 * / п / (л.с.-град.); Коэффициент термодиффузии a = = 1,495 • 10g7 мУсек; стандарт Прандтля Pr2 = 5,2. * Скорость равна * Теплая вода wi = H = —- = 0,96 м / с: Валы. «972.3.14-0.037» V- Горячая вода w, — 50, поэтому = 1. Температура стенки / st1 = 0,5 (tx + t2) = 0,5 (80 + 32) = 56 ° C. При этой температуре согласно данным табл. XI приложение PrCTi = 3,2, то Nu = 0,021 • 97300 ° 8. 2,2 ° .43 (2,2 / 3,2) ° = 262, а коэффициент теплопередачи aL от нагретой воды до стенки трубы ai = Nih & = 262,0674 = 4770 Вт / (м * град). диджей 0,037 Рейнольдс число теплой воды = 1,03-0,014 ’10e = I860a -v2 0,776 Где d3K-D- = 54-40 = 14 мм.

Предположим, tcr2 = fCTi>, и поэтому PrcST2 = 3.2. , Nu = 0,021 /? EO’8Pr? .43 (Prg / Prst) ∞’25 = 0,021 • 18600 ° 8X5,20,43 (5,2 / 3,2) °, 2B = 121, коэффициент теплопередачи a2 от стенки трубы к нагретой воде до h равны. r o = Nu2 = 12b0’62 = 5360 emftM2 deg) .. ‘y — (97-7 ‘) -‘ ^ 47) = 39,7 °; Плотность теплового

потока ql = 86,3. 39,7 = 3440 Вт / м; Длина трубы теплообменника , 140 000 • / — = 40,7 м 3440 И нагретая поверхность с прямым потоком F = 3,14 • 0,037. 40,7 = 4,73 м \ Это означает, что поверхность нагрева устройства с прямотоком увеличивается на 21% по сравнению с противотоком. Пример 30-2 В теплообменнике теплоноситель 0,25 м * с плотностью 1100 кг / м3 и теплоемкостью 3046 Дж / (кг • град) необходимо охладить в течение одного часа. Начальная температура жидкости

составляет 120 ° С. Для охлаждения используется 1 м3 воды в час при температуре 10 ° C. Для этого устройства известны коэффициент теплопередачи k = 35 Вт / (мг • град) и поверхность устройства F = 8 м2. Определите конечную температуру типичной жидкости и скорость теплового потока при прямом потоке. «Определите количество условных эквивалентов. XV / 1 / 0.25-1100.3046 OOQ. LL Wt = Vv pt cpl = — = 233 эм / град; V7, 1,0-1,0-4190. 2 = p, cp2 = -—— U 65 em / deg, f = 233/1165 = 1/5; кФ / Вт, = (35 • 8) / 233 = 1,2. Со стола. 30-1: Компания (1/5; 1,2) = 0,62.

Температура горячей жидкости на выходе из устройства в / в. — = (120-10). 0,62 = 68 ° C равно. t \ = 120—68 = 52 ° С Потребление тепла Q = (/; — Q = 233 (120-52) = 15 850 эм. Конечная температура холодного теплоносителя при r •• .T \ — /; = Q / W2 = 15 850/1165 = 13,6 ° С равных = и + 13,6 = 23,6 ° с. Пример 30-3. Если теплообменник в Примере 30-2 рассчитан в противотоке и условия теплопередачи остаются неизменными, результат будет следующим: Wx = 233 em! Град; W2 = 1165 Вт! Город \ WJW2 = 0,2; кФ! W = 1,2. вкладка ifco. Найдите значение функции 30-2 \ rprot: Филот (0,2; 1,2) = 0,65. , , , , .. • -t \ = (120-10) 0,65 =

Температура горячей жидкости на выходе устройства при 73 ° С равна «•. ■ …. •••. = 120—73 = 47 ° С ✓ * Потребление тепла q = wx (/; — q = 233 (120–47) = 17000 em. Конечная температура охлаждающей жидкости Равен … G2 = 10 + j5 = 25 ° G * Использование противотока в теплообменнике может увеличить количество тепла на 7,5% при тех же условиях, что и в системе с прямотоком.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Уравнение теплопередачи

Из самого определения процесса теплопередачи ясно, что уравнение теплопередачи должно быть получено совместным решением двух уравнений конвективной теплоотдачи и уравнения распространения тепла через плоскую стенку. В некоторых курсовых работах следует использовать уравнение теплопроводности многослойной стенки (для учета загрязнений и других отложений на поверхностях стенки).

Решение этой системы уравнений в дифференциальной форме имеет вид

В этом уравнении:

Q – тепловой поток (Вт);

k –коэффициент теплопередачи (Вт/(м2*К));

Δt – локальный температурный напор на элементарном участке поверхности теплообмена dF.

Коэффициент теплопередачи определяется по зависимости:

k = 1/(1/α1 + R + 1/α2),

в которой:

α1 и α2 – коэффициенты теплоотдачи горячего и холодного теплоносителей, а R – термическое сопротивление многослойной (однослойной) стенки.

Понятно, что для определения общего теплового потока (теплопроизводительности теплообменника) необходимо проинтегрировать это уравнение. Коэффициент теплопередачи изменяется в теплообменных аппаратах, как правило, незначительно и, поэтому, при интегрировании уравнения теплопередачи его принимают постоянным. А вот локальный температурный напор изменяется вдоль теплопередающей поверхности значительно. Поэтому, уравнение теплопередачи в расчётах используется в несколько изменённом виде, путём применения среднеинтегрального температурного напора. Понятно, для того, чтобы проинтегрировать температурный напор по площади поверхности теплообмена, необходимо предварительно определить закон изменения напора вдоль по поверхности. Изменение температурного напора вдоль по поверхности теплообмена рекуператора зависит от схемы движения теплоносителей и от соотношения водяных эквивалентов теплоносителей. Схемы движения теплоносителей прямоточного и противоточного теплообменников, а также схема для расчёта среднеинтегрального по поверхности теплообмена температурного напора приведены на рисунках.

Изменение температуры теплоносителей в противоточном рекуператоре

Изменение температуры теплоносителей в прямоточном рекуператоре

Схема расчёта среднеинтегрального (среднелогарифмического) температурного напора рекуператора

Δtс = (Δtб – Δtм)/ln(Δtб/ Δtм),

Δtб и Δtм – больший и меньший температурный напоры из двух напоров — на входе и выходе теплоносителей из теплообменника.

С учётом сделанных замечаний уравнение полной теплопередачи (теплопроизводительности) теплообменника принимает вид;