Уравнение теплопередачи в дифференциальной форме

Дифференциальные уравнения теплопроводности и конвективного теплообмена

18 Дифференциальные уравнения

теплопроводности и конвективного

18.1 Дифференциальное уравнение теплопроводности

В соответствии с первым законом термодинамики теплота, передаваемая твёрдому телу из окружающей среды, при отсутствии работы деформации полностью трансформируется во внутреннюю энергию тела.

Уравнение теплового баланса для элемента с величиной рёбер (рисунок 18.1) в однородном твёрдом теле имеет вид:

, (18.1)

где — элементарная теплота, передаваемая через грани выделенного элемента в направлении осей x, y,z ; dU — изменение внутренней энергии элемента.

В направлении оси x через грань dydz за время dt поступает в соответствии с законом Фурье теплота

За то же время через противоположную грань, расположенную на расстоянии dx от первой и имеющую температуру , из элемента передается теплота

Результирующая теплота, подведенная теплопроводностью к элементу в направлении оси х, равна

(18.2)

Аналогично определяется результирующая теплота в направлении осей y и z :

(18.3)

Изменение внутренней энергии элемента составляет

(18.4)

C учетом (18.2-18.4) уравнение (18.1) имеет вид:

(18.5)

После сокращений в уравнении (18.5) получается:

(18.6)

Выражение (18.6) называют дифференциальным уравнением теплопроводности. Его записывают и в таком виде:

, (18.7)

где — коэффициент температуропроводности, характеризующий темп изменения температуры;

— оператор Лапласа.

Уравнение (18.7) описывает в самом общем виде процесс теплопроводности и устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры тела. Для его решения применительно к определенной задаче необходимо математическое описание конкретных условий, называемых условиями однозначности, которые включают:

временные или начальные условия, определяющие распределение температуры в теле в начальный момент;

геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела;

физические условия, задаваемые теплофизическими параметрами вещества, составляющего рабочее тело;

граничные условия, определяющие характер взаимодействия тела с окружающей средой на границе соприкосновения.

Начальные условия имеют смысл при нестационарной теплопроводности и обычно задаются законом распределения температур по всему объему тела для момента времени t = 0.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Если для любого момента времени известно распределение температур на границе тела, то это называют граничными условиями первого рода.

При граничных условиях второго рода задаётся поверхностная плотность теплового потока (а, следовательно, и температурный градиент) в каждой точке поверхности тела для любого момента времени. Температура на поверхности тела при этом неизвестна.

Граничные условия третьего рода предполагают, что известна температура окружающей среды и закономерность взаимосвязи между этой температурой и температурой тела. В условиях конвективного теплообмена связующим является уравнение Ньютона-Рихмана.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности позволяет получить температурное поле исследуемого тела для любого частного случая в любой момент времени. Такое аналитическое решение позволяет в ряде случаев избавиться от проведения сложных и дорогостоящих экспериментальных работ.

18.2 Распределение температур в однослойной

плоской стенке

Пусть теплота передается через плоскую стенку (рисунок 15.2а) толщиной d. Размеры стенки в направлении осей о-z и o-y не ограничены. Тепловой поток постоянный и не зависит от времени. Температура горячей поверхности стенки равна , температура холодной поверхности — .

Для этого случая одномерной задачи уравнение теплопроводности (18.7) имеет вид:

(18.8)

При принятых граничных условиях первого рода () последовательное интегрирование формулы (18.8) даёт:

(18.9)

Выражение (18.9) показывает линейную зависимость температуры по толщине стенки.

Для определения констант интегрирования используются граничные условия:

После подстановки констант в формулу (18.9) выражение для определения температуры в любом сечении стенки предстанет в таком виде:

, (18.10)

где x — отстояние сечения от начала координат

18.3 Теплопроводность при нестационарном режиме

Нестационарные процессы теплопроводности встречаются при нагревании и охлаждении металлических заготовок в литейном и кузнечном производствах, при обжиге кирпича, при запуске дизельных дизельных или карбюраторных двигателей, при прогреве холодных зданий, при замерзании рек и водохранилищ и т. д.

Как отмечалось в п 15.1 , нестационарная теплопроводность характеризуется уравнением

Указанная зависимость может быть определена из решения дифференциального уравнения теплопроводности (18.6) при граничных условиях третьего рода методами теории подобия.

Для одномерной нестационарной задачи изменение температуры по оси х и во времени определяется выражением, полученным из уравнения теплопроводности (18.7), которое для этого случая имеет вид:

Обработка этого выражения методами теории подобия выявляет число Фурье:

(18.11)

Обработка уравнения (18.11) , характеризующего граничные условия третьего рода, выявляет число подобия Био:

где l — характерный линейный размер геометрической системы, λ – теплопроводность стенки.

Число Био отличается от числа Нуссельта тем, что оно содержит теплопроводность материала тела, а не теплопроводность движущейся около тела жидкой или газообразной среды. Это число определяет соотношение теплоты, переданной конвективным способом, и теплоты, переданной внутри тела теплопроводностью.

Искомая функция в виде безразмерной температуры определяется в общем случае выражением

. (18.12)

В качестве примера ниже рассматривается процесс охлаждения равномерно прогретой пластины с начальной температурой t , которая омывается с обеих сторон жидкостью или газом с температурой при коэффициенте теплоотдачи a. Размеры пластины в направлении осей y и z считаются неограниченными, а физические характеристики материала пластины — теплопроводность l, теплоёмкость с и плотность r — постоянными.

Решение задачи представляется в виде:

(18.13)

где — температуры на поверхности и в центральном сечении пластины.

Отсутствие в формулах (18.13) линейного симплекса объясняется тем, что в средней плоcкости и на поверхности пластины температуры постоянны и изменяются только в направлении оси x.

Теплота, передаваемая пластиной в окружающую среду за время t, равно изменению внутренней энергии пластины за период охлаждения.

Начальная внутренняя энергия пластины, отсчитанная от внутренней энергии при температуре среды как от нуля, равна

(18.14)

Отношение теплоты, переданной за период t, к начальной внутренней энергии пластины определяется также безразмерными числами Био и Фурье:

(18.15)

Конкретные решения уравнений (18.13,18.15) обычно представлены в виде графиков или в табличной форме (cм. таблицу 18.1). При решении конкретной задачи вначале подсчитывают числовые значения определяющих критериев, а затем, пользуясь таблицей, находят искомые значения.

Решения, аналогичные вышеизложенному, имеются для других геометрических систем — цилиндрических тел, шаров и др.

Таблица 18.1 — Расчётные зависимости для пластины

18.4 Дифференциальные уравнения конвективного

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена учитывают особенности гидродинамики потока и влияние различных факторов на теплообмен между потоком и поверхностью твердого тела.

Гидродинамика потока описывается уравнением движения вязкой жидкости (уравнением Навье-Стокса) и уравнением неразрывности (сплошности) потока.

Уравнение движения учитывает влияние сил инерции (левая часть

уравнения), сил вязкостного трения (третье слагаемое в правой части), сил статического давления (второе слагаемое в правой части) и гравитационных сил (первое слагаемое в правой части). Оно определяет поле скоростей во времени, а также в пространстве, и в проекции на ось х имеет следующий вид:

где выделенное скобками в левой части выражение представляет собой полную или субстанциальную (в пространственных и временных координатах) производную от скорости . С учетом этого

(18.16а)

Аналогично записываются уравнения в проекции на оси y и z:

(18.16б)

(18.16в)

В формулах (18.16): r — плотность вязкой жидкости, — проекции скорости на соответствующие оси x, y и z , p — давление, m — коэффициент динамической вязкости.

Уравнение сплошности выводится на основе закона сохранения массы и говорит о том, что в любом сечении неразрывного потока жидкости или газа массовый расход имеет одно и то же значение:

(18.17)

В основу вывода дифференциального уравнения энергии для движущегося потока сжимаемой вязкой жидкости положен закон сохранения энергии. Это уравнение определяет изменение температуры жидкости во времени и в пространстве. В отличие от дифференциального уравнения теплопроводности в уравнении энергии учитывается то обстоятельство, что в движущемся потоке температура изменяется не только за счет нагревания или охлаждения, но и в связи с изменением положения этой жидкости в пространстве. Этим объясняется появление в правой части формулы (18.19) субстанциальной производной от скорости:

(18.19)

Дифференциальное уравнение, описывающее процесс теплообмена на границе жидкости и стенки (16.3) , уже было применено ранее в п. 16.2.

18.5 Условия гидродинамического подобия

Для двух подобных систем, в которых протекают подобные процессы, записываются уравнения движения

(18.20)

Для подобных процессов

Если выразить переменные второй системы через переменные первой системы и множители подобного преобразования, то получится

(18.21)

Тождественность уравнений (18.20) и (18.21) возможно при следующем условии:

Из равенства получается индикатор подобия и число гомохронности

Из условия получается индикатор подобия , которому соответствует число Фруда

Следующее равенство даёт индикатор подобия и число Эйлера

Из условия следует индикатор подобия и число Рейнольдса

где — кинематическая вязкость.

Из полученных чисел подобия определяющим в гидродинамических задачах является число Эйлера

(18.22)

Для стационарных гидродинамических процессов, когда фактор времени не имеет значения, выражение (18.22) упростится

(18.23)

При естественной конвекции скорость потока определить чрезвычайно сложно, поэтому часто число Фруда преобразуют в более удобное число Грасгофа, которое равно произведению числа Фруда на квадрат числа Рейнольдса и отношение плотностей свободно движущейся среды:

, (18.24)

где b — температурный коэффициент объемного расширения жидкости.

Замена отношения плотностей произведением температурного объемного коэффициента на разность температур объясняется тем, что причиной естественной конвекции является разность плотностей жидкости, которая образуется из-за изменения температуры.

Анализ уравнения сплошности (18.17) показывает, что новых чисел подобия, кроме тех, что получены из уравнений энергии, движения и теплообмена, это выражение не дает.

18.6 Тепловое подобие

Ранее, в главе 16, было показано, что из дифференциального уравнения, описывающего процесс теплообмена на границе между жидкостью и стенкой, получается число Нуссельта

Уравнения, описывающие процесс энергообмена в потоке жидкости, для двух подобных систем

Множители подобных преобразований равны

Переменные второй системы выражаются через переменные первой системы и множители подобного преобразования:

Условия подобия определяются равенством

Из первого равенства следует индикатор подобия и уже знакомое (см. п.18.3) число Фурье

Из второго равенства получается индикатор подобия и число Пекле

При делении числа Пекле на число Рейнольдса получается новый безразмерный комплекс — число Прандтля:

Условия теплового подобия процессов в общем виде выглядит так:

(18.25)

Для стационарных процессов числа подобия, имеющие в своем составе время, не являются определяющими, и уравнение (6.23) в этом случае упрощается

(18.26)

При свободной конвекции, когда вынужденное движение отсутствует, число Рейнольдса, характеризующее этот режим, отсутствует

(18.27)

Конкретный вид критериальных зависимостей для различных случаев конвективного теплообмена дан ранее в главе 17 .

Учебное пособие: Дифференциальное уравнение теплопроводимости

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Общие вопросы теории теплообмена

Неравномерное распределение температуры в металле, характерное для сварки и других видов местной тепловой обработки металла, неустойчиво. С течением времени температура в неравномерно нагретом теле выравнивается, причем более нагретые части отдают тепло непосредственно соприкасающимся с ними менее нагретым частям. Такой энергетический обмен между взаимодействующими телами или их отдельными частями с неодинаковой температурой называется теплообменом или теплопередачей. Количество энергии, переданной частицами более горячего тела частицам более холодного, называется количеством теплоты, или просто теплотой. При этом теплота переходит от точек с более высокой температурой к точкам с более низкой температурой, если процесс протекает в одном теле. При теплообмене между различными телами это положение также сохраняется, т. е. теплота переходит от более нагретых к более холодным телам. Таким образом, конечный результат теплообмена между ограниченными телами или частями одного и того же тела заключается в уравнивании их температур, после чего процесс прекращается.

Понятие «теплообмен» охватывает совокупность всех явлений, при которых имеет место перенос некоторого количества теплоты из одной части пространства в другую в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений. Для удобства принято делить перенос теплоты на простейшие виды: теплопроводность, конвекцию, теплообмен излучением, или радиацией. Эти процессы глубоко различны по своей природе и характеризуются различными законами. Соответственно этому и строится математическая теория описания каждой формы теплообмена, со своими уравнениями, своими математическими методами, аналитическими или численными, или методами аналогий.

Теплопроводность характеризуется тем, что ее действие связано с наличием вещественной среды и что теплообмен может происходить только между такими частицами тела (молекулами и атомами), которые находятся в непосредственной близости друг от друга. Явление это можно представить себе так, что теплота переходит от одной частицы к другой, однако при этом сами частицы не перемещаются. В чистом виде процесс теплопроводности наблюдается в твердых телах.

Конвекция наблюдается тогда, когда материальные частицы какого-нибудь тела изменяют свое положение в пространстве и при этом переносят содержащуюся в них теплоту. Это явление имеет место в жидкостях и газах и всегда сопровождается теплопроводностью, т. е. передачей теплоты от одной частицы к соседней, если только во всей текущей массе нет полного равенства температур. Теплообмен между средой и стенкой называют теплоотдачей.

Теплообмен излучением характеризуется отсутствием контакта между телами, обменивающимися теплотой. Примером может служить излучение Солнцем теплоты на Землю через космическое пространство, в котором, как известно, плотность вещества ничтожна. Явление теплового излучения возникает у поверхности или внутри тела в результате сложных молекулярных и атомных возмущений. При этом некоторая часть внутренней энергии тела преобразуется в электромагнитные волны (или в другом представлении в фотоны — кванты энергии) и уже в такой форме передается через пространство.

Все эти различные формы переноса теплоты не обособлены и в чистом виде встречаются лишь на отдельных участках пути прохождения теплоты. В большинстве случаев один вид теплообмена сопутствует другому и разделить их между собой очень трудно.

Одним из законов, лежащих в основе аналитической теории теплопроводности, является гипотеза Фурье, связывающая перенос теплоты внутри тела с температурным состоянием в непосредственной близости от рассматриваемого места. Поэтому при изучении теории теплопроводности прежде всего необходимо установить основные понятия, такие, как температурное поле, градиент температуры, вектор теплового потока.

Температурным полем называется совокупность значений температуры во всех точках рассматриваемого пространства (тела) в каждый фиксированный момент времени.

Температура является скалярной величиной, так как она характеризует тепловое состояние в любой точке тела, определяя степень его нагретости. Температуре нельзя приписать какое-либо направление и поэтому температурное поле является скалярным. Математическим выражением распределения температуры в теле является выражение, содержащее в качестве независимых переменных пространственные координаты и время:

в декартовой системе координат

Основной задачей аналитической теории теплопроводности является изучение пространственно-временного изменения температуры, т. е. нахождение зависимости (2.1). Уравнение (2.1) является записью наиболее общего вида температурного поля, когда температура в теле изменяется с течением времени и от одной точки к другой. Такое поле соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности и называется нестационарным температурным полем. Если тепловой режим является установившимся, то температура в каждой точке тела с течением времени остается неизменной, меняясь лишь от точки к точке. Такое температурное поле называется стационарным и температура является функцией только координат, например в декартовых координатах

Температурное поле, соответствующее уравнению (2.2), является пространственным, или трехмерным, так как температура является функцией трех координат.

Если вдоль одной из координат температура остается постоянной, то математически это условие записывается (например, для координаты z) следующим образом: дТ/дz=0. В этом случае поле называется двумерным и записывается: для нестационарного режима Т=Т(х, у, t); для стационарного режима Т=Т(х, у).

Если температура остается постоянной вдоль двух координат (например, у и z), то дТ/ду = дТ/дz = 0 и поле называется одномерным. В этом случае можно записать: для нестационарного режима Т=Т(х, t); для стационарного Т=Т(х).

Переменные х, у, z, фигурирующие в уравнении (2.1), определяют положение любой точки рассматриваемого тела, являясь координатами этой точки в выбранной системе координат. Эти переменные могут принимать бесконечное множество числовых значений, как и переменная t, характеризующая время течения процесса теплопроводности. Совокупность всевозможных числовых значений переменных х, у, z, t, каждому из которых соответствует вполне определенное значение температуры Т=Т(х, у, z, t), называется областью определения функции Т(х, у, z, t). Функция Т(х, у, z, t) в своей области определения считается обычно непрерывной, дважды непрерывно дифференцируемой по пространственным координатам (х, у, z) и непрерывно дифференцируемой по времени t.

В теле, имеющем температуру Т(х, у, z, t), можно выделить поверхность, во всех точках которой в некоторый момент времени температура одинакова. Такая поверхность называется изотермической поверхностью или поверхностью уровня. Уравнение поверхности уровня имеет следующий вид:

Т(х, у, z, t)=C или Т=С, где C=const.

В отличие от стационарных в нестационарных полях форма и расположение изотермических поверхностей с течением времени изменяются. Изотермические поверхности характеризуются следующими основными свойствами:

а) две изотермические поверхности, имеющие различные температуры, никогда не пересекаются друг с другом, так как в одной и той же
точке тела одновременно не может быть двух различных температур;

б) изотермические поверхности не имеют границ внутри тела. Они
или кончаются на поверхности, или замыкаются на себя, располагаясь
внутри тела;

в) теплота не распространяется вдоль изотермической поверхности,
а направляется от одной изотермической поверхности к другой. Это следует из положения о том, что тепловая энергия распространяется от более нагретого участка к менее нагретому.

Таким образом, можно считать, что изотермические поверхности разделяют твердое тело на тонкие «слои» — изотермические оболочки, отделяющие часть тела с температурой, большей, чем T=С, от части тела с температурой, меньшей, чем Т=С. Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм (линии, соответствующие одинаковой температуре). Они обладают теми же свойствами, что и изотермические поверхности, т. е. не пересекаются, не обрываются внутри тела, оканчиваются на поверхности либо целиком располагаются внутри самого тела. На рис. 2.1 представлен участок двумерного температурного поля с изотермами Т, Т±∆Т, Т±2∆Т и т. д.

Задание температурного поля соотношением Т=Т(х, у, z, t) не всегда дает достаточно ясное представление о поведении этого поля, а задание изотермических поверхностей (поверхностей уровня) с отметкой на них соответствующих значений температуры Т=С равносильно заданию самого поля Т=Т(х, у, z, t), при этом взаимное расположение поверхностей уровня даст наглядное представление о соответствующем поле температур. Указанный способ изображения поля особенно удобен, когда речь идет о двумерном поле.

Равенство вида Т(х, у, t) = C (всюду время t фиксировано) определяет на плоскости (х, у) некоторую кривую у = φ(х, с, t). Такие кривые называются линиями уровня (изотермами) плоского (двумерного) температурного поля Т=Т(х, у, t) (рис. 2.2).

На практике приходится иметь дело с температурными полями, обладающими специальными свойствами симметрии, облегчающими изучение таких полей.

§ 2.3 Температурный градиент

Рассмотрим две бесконечно близкие изотермические поверхности
с температурами Т и Т+∆Т(∆Т>0) и какую-либо точку М, лежащую
на одной из них (рис. 2.3).

Перемещаясь из точки М вдоль любых направлений, можно обнаружить, что интенсивность изменения температуры по различным направлениям неодинакова. Если перемещаться вдоль какого либо направления l, пересекающего изотермические поверхности, то наблюдается изменение температуры. Используя понятие производной скалярного поля по заданному направлению, можно описать его локальные свойства, т. е. изменение температуры Т при переходе от точки М к близкой точке М’ по направлению l. Скорость изменения температуры Т в точке М в направлении l характеризуется производной функции Т

Наибольшая разность температуры на единицу длины вектора перемещения [Т(М»)—Т(М)]/∆l наблюдается в направлении нормали n к изотермической поверхности (рис. 2.3). В соответствии с (2.3) максимальная скорость изменения температуры при этом равна пределу отношения изменения температуры ∆T к расстоянию между изотермическими поверхностями по нормали ∆n, когда ∆n стремится к нулю:

дТ/дп= lim [T(M»)—T(M)]/∆n= lim ∆T/∆n. (2.4)

Итак, в любой точке М изотермической поверхности можно построить некоторый вектор, направленный по нормали к этой поверхности в сторону увеличения температуры. Абсолютная величина этого вектора равна изменению температуры на единицу длины перемещения в рассматриваемом направлении — скорости возрастания температуры в этом направлении (т. е. производной от температурной функции Т по направлению нормали n). Такой вектор называют градиентом температуры в точке М или градиентом температурного поля и записывают в виде символа grad T:

в декартовых координатах (х, у, z)

grad T = ∂T/∂x i + ∂T/∂y j + ∂T/∂z k (2.5)

Для обозначения вектора (2.5) в теории поля иногда применяют символ gradT = T

Согласно сказанному выше, можно записать

длина вектора grad Т равна скорости возрастания Т в этом направлении. Здесь и всюду далее n — единичный вектор нормали.

Температурный градиент показывает, насколько интенсивно (резко) меняется температура внутри тела.

Производная от функции Т по направлению нормали n и вектор gradT связаны соотношением

дТ/дп = п grad Т. (2.7)

Вектор нормали n к поверхности T=const в точке М может иметь два противоположных направления, одно из которых можно считать внешним по отношению к данной поверхности, а другое внутренним.

Если нормаль n направить в сторону больших температур, то дТ/дп>0 и, как следует из (2.7), градиент температуры будет направлен в ту же сторону (угол между векторами n и grad T равен нулю). Если нормаль направить в сторону убывающей температуры, то производные дТ/дп Feα (1401°), а также температуре плавления (1528°), при нагреве поглощается, а при охлаждении выделяется теплота, и теплосодержание изменяется скачкообразно.

Теплоемкость твердого тела (истинная или при данной температуре) с ватт/г°С представляет предел отношения количества теплоты ∆S, сообщенного телу, к соответствующему изменению температуры ∆Т при бесконечном уменьшении этого изменения с=dS/dT.

Для расчетов иногда удобно принимать среднюю теплоемкость в данном промежутке температур, представляющую отношение количества теплоты S2—S1, сообщенного телу, к соответствующей разности температур T2—T1. Так, например, средняя теплоемкость железа в промежутке от 0 до 1500° составляет 256/1500=0.73 ватт/г С°.

Так как в сварочных процессах масса свариваемого металла изменяется несущественно удобно в расчетах использовать удельную объемную теплоемкость, численно равную произведению массовой теплоемкости на плотность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается так называемым дифференциальным уравнением теплопроводности, на основе которого строится математическая теория теплопроводности. В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, сочетаемый с законом Фурье.

Выделим в теле некоторую часть объема V, ограниченную замкнутой поверхностью S, через которую происходит тепловое взаимодействие выделенной части с окружающей ее средой — остальной частью тела. Имеет место следующее утверждение: количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за время dt вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме:

где Q — изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме V за время dt, Дж; Q1 — количество теплоты, введенное в выделенный объем путем теплопроводности за время dt, Дж; Q2 — количество теплоты, которое выделилось в объеме V за время dt вследствие внутренних источников теплоты, Дж.

Это утверждение вместе с законом Фурье положено в основу вывода
дифференциального уравнения теплопроводности — основного уравнения аналитической теории теплопроводности.

Пусть V — выделенный объем произвольной формы части тела, ограниченный замкнутой поверхностью S (не обязательно изотермической); n — единичный вектор внешней нормали к точкам поверхности S (рис. 2.5); Т(х, у, z, t) — температура тела в точке (х, у, z) в момент времени t. Вычислим общее количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за малый промежуток времени dt, имея в виду, что Q=Q1+Q2. Для вычисления Q1 воспользуемся законом Фурье в скалярной форме. Количество теплоты, подведенное в выделенный объем через элементарную площадку dσ за время dt, равно

dQ1 =λ∂T/∂n·dσ·dt = λ·n·gradT dσ· dt =- qndσ·dt (2.14)

где q =— λ grad T—вектор плотности теплового потока.

Количество теплоты, протекающее за время dt через площадь поверхности S, выразится интегралом

(2.15)

где qn — проекция вектора q на нормаль п.

Поверхностный интеграл (2.15) можно преобразовать в объемный по формуле Остроградского — Гаусса, связывающей двойной интеграл по поверхности S с тройным интегралом по объему V, ограниченному этой поверхностью:

(2.16)

(2.17)

Выделение или поглощение теплоты внутри объема V удобно хаpактеризовать с помощью плотности (мощности) тепловых источников. Под плотностью тепловых источников понимают такую функцию F(x, у, z, t), когда в элементарном объеме dV за промежуток времени dt выделяется количество теплоты, равное

dQ2= F(x, у, z, t)dVdt= F(M, t)dVdt. (2.18)

Тогда за промежуток времени dt в теле объемом V выделится количество теплоты

(2.19)

Здесь F(M, t)>0; если F(M, t) 0. Тогда, интегрируя обе части неравенства по некоторой области V, содержащей точку М, получим противоречие с условием (2.23).

Так как q=—λgradT, то равенство (2.24) можно записать следующим образом:

cp(dT/dt)=div(λgvadT)+F(M, t). (2.25)

Получено уравнение, которому должна удовлетворять функция Т(х, у, z, t), представляющая собой температуру некоторого тела. Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье.

Для изотропного гомогенного тела параметры с, ρ, λ постоянные; далее, так кaк div(grad T)= ∆T, где ∆ — оператор Лапласа, то окончательно запишем

где а= λ/(ср) — коэффициент пропорциональности, называемый температуропроводностью, м2/ч.

Тогда, в декартовых координатах уравнение (2.26) имеет вид

dT/dt=a(∂2 T/ ∂x2 + ∂2T/∂y2 +∂2T/∂z2)+[1/(cp)]F(x, у, z, t). (2.27)

В отличие от λ, которая характеризует теплопроводящую способность тела, а характеризует теплоинерционные свойства тела и является мерой скорости выравнивания температурного поля в рассматриваемой среде. Действительно, по определению, а=λ/(ср), где сρ — объемная изобарная теплоемкость. Отсюда температуропроводность а прямо пропорциональна теплопроводности λ и обратно пропорциональна аккумуляционной способности сρ вещества. Особенно наглядным становится физический смысл а в уравнении теплопроводности, когда отсутствует внутреннее тепловыделение и ∂T/∂t=a∆T(M, t). Зная вблизи точки М(х, у, z) зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет нарастать (или спадать) температура в этой точке при переходе к следующему моменту времени. При этом, чем больше а (т. е. чем меньше сρ), тем пропорционально быстрее меняется во времени температура. Таким образом, а характеризует способность вещества изменять с большей или меньшей скоростью свою температуру во времени.

Уравнение (2.26) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, в котором независимыми переменными являются время и три пространственные координаты, а зависимой переменной— функция Т (температура). Это уравнение первой степени (линейное), поскольку зависимая переменная Т входит в него только в первой степени. Но вместе с тем оно является уравнением второго порядка, так как дифференциальный оператор Т содержит производные второго порядка от Т по пространственным переменным. Функция F считается заданной функцией, в общем случае функцией координат и времени.

Может, в частности, оказаться, что температура рассматриваемого тела в любой его точке не изменяется во времени, т. е. является функцией только координат (установившееся состояние). Тогда ∂T/∂t=0 и уравнение (2.26) принимает вид

где плотность тепловых источников F (М) уже не зависит от времени.

Уравнение (2.27) называется уравнением Пуассона.

Если внутри тела отсутствуют тепловые источники и температурное поле стационарно, то имеем уравнение (в декартовых координатах)

∆Т(М)=∂2T/ ∂x2 + ∂2T/∂y2 +∂2T/∂z2 =0 , (2.28)

Основные дифференциальные уравнения теплообмена

Основные дифференциальные уравнения теплообмена

• Для объяснения процесса теплообмена в материальной среде в общем случае могут быть использованы дифференциальные уравнения, такие как непрерывность, движение и энергия. Для специфических процессов передачи тепла, «граничные условия» необходимо добавить к названному equations. In в некоторых случаях система дифференциальных уравнений перечислена и Можно разрешить граничные условия (IV, V, Глава VII).

В этой главе представлен вывод дифференциальных уравнений для непрерывности движения и энергии и объясняется содержание и значение понятий «Граничные условия» [112]. § 1.Уравнение неразрывности основой этого уравнения является закон сохранения массы. Для неподвижного элемента потока ДхДг / ДГ он присваивается потоку жидкости (рисунок Р-1), закон сохранения массы может быть выражен в следующем виде: коэффициент накопления скорости скорости=приход — — — масса масса масса 2 лица уравнения (Р-1） коэффициент объема перпендикулярно оси x:.

Скорость массового вылета через забой Он находится на расстоянии x 4-Dx от начала координат и равен (ri’x) / x + Dx At / Az. Людмила Фирмаль

Скорость поступления массы через плоскость на расстоянии x от начала координат равна (px) 1x D ’ / Az. Скорость массового вылета через забой、 Он находится на расстоянии x 4-Dx от начала координат и равен (ri’x) / x + Dx At / Az. Вы можете написать аналогичное выражение для других 2 пар лиц. Массовая скорость накопления Элемент объема равен (AxDr / Az) -/^.Получаем формулу (P-1) AxAyAg — ^ = Ay Az | x — (px) / x + Dx] + + Ax Ar Cree!！） » | )- (Ри) у)|»₄Д₄.] + ДХ АУ [(Ри»р)/,|(р» р) / х| DG1 — (п-2） Разделите все члены уравнения (Р-2) на объем элемента и перейдите к limit. As результат, (P-W) рисунок P-1.Уравнение (PZ) для вывода непрерывного уравнения называется уравнением .

Непрерывность. значение pw-это вектор массовой скорости. Виде векторной форме уравнение(ПЗ)является J = (В. ПВ термин (Р-4)(з-ПВ) называется расходящимся ПВ, иногда называют див ПВ. Заметим, что вектор pw является массовым потоком, а его расходимость-скоростью массовой диффузии (оттока) на единицу объема. Формула (с-4)、 Плотность неподвижного элемента объема равна скорости притока массы к этому элементу, деленной на объем другой формы. Вы можете создавать уравнения (PZ)и писать производные.

Перенесите все производные N * dt вправо, как показано в (р-3).в результате, поскольку левая часть формулы (Р-5)является существенной производной、 Уравнение может быть выражено в следующем виде:^ = — p (V-W). Непрерывное уравнение (P-6) в форме (P-6)представляет собой скорость изменения плотности. Когда наблюдатель движется、 Вместе с liquid. In в некоторых случаях p = = const (несжимаемая жидкость), уравнение (11-6) принимает вид (V-w)= 0. (P-7) левая часть уравнения (P-6) При движении вдоль потока жидкости объем не изменяется. § 2.

Уравнение движения уравнение баланса импульса объемного элемента DxDg / Az (рисунок а-2） Жидкость может быть описана в следующем виде: скорость накопления импульса в элементе, скорость прихода импульса в элементе объема Движение от объемного элемента сумма сил, действующих на объемный элемент (Р-8) в общем случае в нестационарном состоянии жидкость может входить и выходить из элемента через все 6 граней в любом направлении. Поскольку формула (Р-8) является вектором, можно записать компоненты уравнений движения в каждом координатном направлении x, y. d. для этого построим формулу для компонента x каждого члена уравнения (P-8), а также запишем компоненты/и Z.

Выразите скорость поступления количества через параметры потока Перемещение внутри элемента volume и к компоненту x (рисунок P-2). Существует 2 механизма передачи Y-импульса. а) передача конвекция осуществляется с помощью электричества Единицей объема движущейся жидкости является движение движущейся жидкости RNS ’K2K vyURvv» ei » i. b) молекулярный транспорт осуществляется молекулами под действием градиента скорости.

Частота поступления Импульс за счет конвективного переноса через левую сторону элемента перпендикулярен оси x, на расстоянии x от начала координат, равном PWA>ₓ]ₓAi/ Az. (ля） Расстояние от начала координат x вправо в Dx равно px1xhx |l₊DxD^ Az. b) скорость достижения импульса с фронта элемент, перпендикулярный оспе y, равен| » Dx Az. © аналогичным образом можно записать значение скорости прихода или ухода импульса других 3 плоскостей элемента объема. Жидкости (см. рис. П-2).

Скорость накопления импульса (компонента х) в элементе объема при конвективном переносе определяется суммированием всех 6 плоскостей величины(а). (B), © DyDr (Р> ХД> х | х-РГ «ХС» ДХ |х-РГ)+ DxDg (Ри ^ Х1″ —П ^ xki-дл + ДХ (антирадина WX с | з-ршхюх|х ₊ д.)).(11 −9) скорость поступления импульса (X компонент) путем молекулярного переноса С левой стороны элемента* xx1xL!/ Равно Lg. (a.) правая бортовая escape-плита thx | x + DX Az / Az. скорость прибытия с фронта (bA) составляет Tyₓ| yAxAz. (в.) похожие Таким образом, вы можете записать значение других 3 граней элемента. обратите внимание, что он изменяет импульс(x-компонент), действуя через плоскость, перпендикулярную оси Y.

Суммируя величины (a₂), (6j) и (b.) всех 6 граней элементов, вы получаете a // Az (mxx | x mxx | x4-dx) «b Ax Az (mx | yh xy xy | y4-q^). B 4-Dx A //(tx | r-mVX | rVDg) (II-10) mx здесь- вертикальное напряжение на конце элемента, который перпендикулярен x-axis. It направлена вдоль оси X. Это напряжение возникает из-за силы трения вязкой жидкости при неоднородном воздействии. Распределение скорости в потоке. величина HH представляет собой тангенциальное или касательное напряжение к плоскости элемента, перпендикулярной y-axis. It направлена вдоль оси X.

Это напряжение. Возникает из-за трения. Чаще всего наиболее важными силами являются силы, возникающие от силы тяжести на единицу давления жидкости p и массы G. проекция на общую ось x Элементы, которые применяются к этим силам в общей сложности ДуДг(р|х—р|х₊дх)+р§хAhLuДг должны быть равны. (Р-11) давление движущейся жидкости определяется уравнением состояния. Это скалярная величина. Скорость накопления импульса по элементам объема в целом (x-компонент) (слева от уравнения П-8) может быть выражена в следующем виде: ДхДуДг^^ .

В значениях уравнения (A-8) все члены делятся на Lxk & 2 и имеют тенденцию быть Ax, A(/и Ar, ноль). в результате получаем x-компоненту уравнения движения в виде (P-12). Аналогично, компонент y и компонент r — (w w ’+ n, где rpd, pk / y-компоненты векторов массовой скорости pw, а xx»ëch и gz-компоненты ускорения силы тяжести и т. д.). dr v, — dx » do и iz являются компонентами вектора V-p, который называется градиентом p (обычно обозначается как град p). П ^ ’Л ^ Л П ^ Я- ’Г, rshL10₂, иил’ᵥu.’z и др.-9 компонентов конвекции 2 элемента PW и W импульса продукта pww. T. v. v «v.», ХХг, Xyxi! Как таковой-9 компонент Т, известных как Тензор напряжений.

Уравнение (I-12, II-13, II-14) Присутствует в более удобной векторной форме-pw =-(v〜pww] — dr V•P — скорость роста импульса на единицу объема-IV•D) скорость роста импульса Конвекция на единицу объема + pg из-за давления на элемент, который не является единицей объема-(П-15) увеличение импульса из-за молекулярного движения на единицу объема Гравитация к элементу на единицу объема, где[y-pww]и (v — ’d — не простая дивергенция, потому что сумма pww и m-тензоры. y-pww можно просмотреть, сравнив его с терминами, описанными в§ 1.Количество лы-каркаса является расход воздуха и объем жидкости в единице объема, [в-pwwl.

Скорость потери импульса (вектора) за счет потока жидкости на единицу объема. Уравнение (II-12) может быть преобразовано с помощью следующего уравнения неразрывности: Таким образом, можно получить компоненты y и z, а также формулу (II-16). Если объединить все 3 компонента в 1 векторное уравнение, P Dx = — — — VP — — — [V•tl + Pg- Ускорение давления, сила трения, силы гравитационной массы. От вязкости. Состояние, действующее на действие, оказываемое на объем элементов, приходящийся на единицу элемента .

Единица объема единица объема объема (Р-17) в этом виде уравнение движения устанавливает, что малые объемные элементы, движущиеся вместе с жидкостью, ускоряются за счет действия. Сила. То есть мы проверяем 2-й закон Ньютона в виде: масса х ускорение=сумма сил. Мы видим, что уравнение равновесия импульса совершенно эквивалентно Второй закон Ньютона. Заметим, что 2 формы уравнений движения (11-15) и (11-17) аналогичны 2 формам непрерывного уравнения (Р-4) и (II-6). Эта форма указывает на равновесие элементов объема, закрепленных в пространстве, а во 2-й-на равновесие элементов, движущихся вместе с движущейся жидкостью. Исключить термин (V-t) из Формулы (II-17).

Для этого используем следующие зависимости:〜2Н-b — | — i ’(V»»); (P-18) diVy 2-2h — ^ + ₃ — h(v -^); t. nfv-w); SEUHdwᵤ\, (11-19) (11-20) (H-21) (11, 11, 22) (11-23). Закон трения Стокса гласит: сила, возникающая в результате деформации падающей жидкости и газа, пропорциональна скорости деформации. Вывод этих уравнений утомителен Это не показано здесь, но в специальной литературе(151.

Его можно найти в 6 системах уравнений (II-18 h-P-23). он упрощен для случая, когда поток движется в направлении оси. поскольку он ограничен 2 пластинами, перпендикулярными оси x и y(рис. 1-4), wₓ является функцией координат y only. In в этом случае и подставляется выражение (P-24) (P-18 H-P-23) в выражение. (P-16) и распространение результата на компоненты y и z дает Fromdt0ₓ2. ^ — Й (в)] / dwz по компания 4″] 4 — Ryokh»(второй-25) Д-3 л 1 ДУ ДХ ДХ ду т п з х л 4-ре АВП \ \ ду 1 дз / 4-(P-26) d I’dexg 1 dg dx 1 ′ 4 1 n dx A (H-27)эти уравнения являются непрерывным уравнением, уравнением p = p (p) и зависимостью плотности вязкости P = c (p) состояний и территорий.

В этих условиях полностью определяются компоненты давления, плотности и скорости текучей среды, протекающей изотермически. Особенно важным в фактическом расчете является частный случай Полученное уравнение. Постоянная плотность p и вязкость / i, (V-w)= 0 (см. уравнение P-7) и течение жидкости, включая уравнения Sh-17, P-18 и P-19、 (II-28) декартово координатное уравнение (P-28) формат (P-30) (P-31) уравнение (P-29, P-30 и P-31) называется уравнением Навье・Стокса. Частный случай (V-t)= 0 уравнение (II-17) принимает вид: уравнение VP+Р/Г (П-32) (П-32) называется уравнением Эйлера.

Это уравнение используется, когда влияние вязкости потока жидкости пренебрежимо мало. § 3. Уравнения механической энергии уравнение движения может быть использовано для описания взаимного преобразования форм энергии в определенном месте в текущей жидкости. Создайте уравнения, которые похожи по форме (II-17) ввести скалярную величину, обусловленную локальной скоростью w PD?（-2 ’»’2）⁼-（в» ВП)-(Ш ’(В-Тл)+ п (’г ).(11-33) это скалярное уравнение описывает скорость W2] изменение кинетической энергии на единицу массы текучих элементов, движущихся вниз по течению.

Перепишите уравнение (Р-33) в более удобную форму Исследование; использование непрерывного уравнения для представления существенной производной символа d / dx. Каждый термин, описывающий действие давления и вязкости является、 2.Фиксированный элемент dx \ 2 для объема текучей жидкости /для скорости нарастания кинетической энергии на единицу объема, опишите все члены полученного уравнения С = — г. — (Х£?W-2 скорость подачи кинетической энергии массовым потоком работ, выполняемых давлением окружающей среды на объем (V•pw) элементов-p (- V * w）.

Обратимое преобразование частоты, чтобы внутренняя энергия работа сила давления(ВЛР-ш)) — скорость производства работы вязких сил в одном томе — (элемент — Т: уш) невзаимные ставка Преобразование вязкой силы трения в работу внутренней энергии+ P (w•g) зависит от скорости, с которой работа под действием силы тяжести проникает в объем элемента (P-34) физический смысл p•V * f) и (t: Vw) будет объяснено позже. Значения этих членов нельзя оценить без изучения уравнений энергетического баланса; это делается в следующем разделе.

Термины (- t： Vw) всегда положительно. Это связано с тем, что его можно описать как сумму квадратов некоторых членов—r: v»’) = r *ᵤ,= — | — bSiZ / 2 3I2 (Vw) 6M, (P-35)где i и / или X, y, r, IE. i,/ = x, y, r и 6 / Y = 1 Для = / и 6m = 0 для i ^ = j:1 2Г1. 1 dg *] 3 [dx’du(P-36)функция ФО называется функцией диссипации. Эта функция представляет собой количество тепла Вследствие необратимого действия внутренней (вязкой) силы трения возникает в потоке вязкой жидкости и выражается градиентом скорости.

• Таким образом, термин (- t: Vw) всегда положителен . Это означает, что во всех потоках жидкости механическая энергия расщепляется на тепловую, поэтому фактический процесс необратим. Если нет термина (t: Vw), то все формы энергии、 Входящие в уравнение (11-34) — динамика, внутренность и потенциал могут быть полностью переданы каждому other. To уравнение (P-34)мы говорим, что члены p (V-w) и (t: Vw) присутствуют «В жидкости может происходить внутренний нагрев(охлаждение).

Поэтому, когда они говорят «изотермическая система», они имеют в виду то, что происходит тепло Потому что (поглощение) не вызывает значительных изменений температуры. Явление, рассматриваемое термином p (V-w), может вызвать значительное изменение температуры газа. Компрессоры, турбины, ударно-аэродинамические трубы и др., растягиваются очень быстро. Это явление объясняется члена (например: Фольксваген) — это Причина возникновения значительных перепадов температуры только в высокоскоростном потоке.

Для движения нужно добавить уравнение состояния в виде F (p, p, T) −0. Людмила Фирмаль

Например, если существует большой градиент скорости при быстром выдавливании во время высокоскоростного полета (Штемпелевать) и носить lubrication. As уже упоминалось, что система состояний в виде непрерывного уравнения (P-3), движения (P-25, P-26, P-27) и p = p (p、 Изотермический процесс протекания fluid. As плотность и изменение давления, как изменения температуры(неизотермический процесс), система непрерывных уравнений и Для идеального газа форма уравнения состояния равна p = p%T. (P-37)§ 4.

Центр уравнение энергии уравнение Энергия-это закон сохранения энергии. Рассмотрим фиксирующие элементы объема, через который равномерно протекает жидкость. Мы пишем этот закон для жидкости, содержащейся в выбранном интерьере Скорость накопления внутренней энергии и кинетической энергии объемного элемента в заданный момент времени, скорость поступления внутренней энергии и кинетической энергии за счет конвекции .

Внутренняя и кинетическая энергия улетучиваются за счет конвекции, скорость подвода тепла за счет теплопроводности, скорость работы системы в окружающей среде(Р-38） В Формуле (Р-38) кинетическая энергия относится к кажущейся кинетической энергии жидкости (Р & 2 на единицу объема).Внутренняя энергия жидкости-это сумма внутренних Внутренняя потенциальная энергия-это кинетическая энергия теплового движения молекул и взаимодействия между молекулами.

Внутренняя энергия жидкости зависит от ее локальной температуры、 Плотность. Потенциальная энергия тока явно не включена в Формулу (Р-38) и включена в термин»работа».Напишите формулу для каждого из членов в Формуле (Р-38). Скорость накопления внутренней и кинетической энергии элементами объема kxkybz (см. Рисунок II-2) равна Az (pu ±±-pu * y (I1-39)).Где u-внутренняя энергия жидкости на единицу Массы; w-локальная скорость жидкости. Внутренняя энергия образующегося объемного элемента и скорость поступления кинетической энерги、.

Скорость. Производство работы для 3 составляющих силы тяжести на единицу массы элемента равно-PA xA pAz(wₓgₓ+ wy gy-f-gz). (11-42) знак минус (р-42) равен、 Генерируется против силы тяжести, то есть w и g обращены в противоположном направлении. Рабочая скорость для статического давления Р, приложенного к 6 граням элемента kxbykz, Ар / Аз <(payj | х₊ДЛ—(pWₓ)ИЖ +Дхbz <(pwy)| у₊—(р^) у)4- + НХ АП <(pw₂)|,₊АГ-( Р ^ ’Jlz). (Р-43) аналогичным образом найти скорость производства работ по вязким силам Лу. АР <(rₓₓwₓ+ адррес xhu шу 4 — а — >р)| х₊Dн—(тххwₓ4-xₓᵥwᵤ4-xxrwₜ)| х> + + ДХ ДГ <(tₛₓxyzand>р |г₊₄|,- (т-VX и WX с〜\〜XUUWU +Т»Р 1£ ’:) |₁(>Ч «+ДхДI/ <(Т»Wₓ+Хrw, Дж +x₁rSouth)|, дд₂—(^ х + Т»+Ци wₜ) [J. (11-44, где полученная формула подставляется в .

Формулу (A-38), и все члены полученной формулы делятся на DxD / / Dg, исходя из Dx, D / / и Dg до предела、 В результате получаем уравнение энергии] «(J⁺$■ ’+ l) + P+ U’ e⁺ + U ’e’ >—(- £P+ + P+Pz) — [■£(*xx «’ x•t-Thu+ XWWW) — + + + + + + + + + + + + + + + П (т, х» х + авторитет Вайоминг-гы> ₂ 4—£-(х, xwₓ+xₜyWy 4-r₂₂₂₂)]. (11-45) это уравнение может быть записано в более компактном векторном Тензорном формате.

Это процент приращений энергии на единицу. Объемная доля энергоснабжения на единицу объема за счет конвекции — (V•7)+доля энергоснабжения на единицу объема за счет теплопроводности+ P (w * g) — (V•pw)-(V [Г• (w)) (P-46) рабочий расход жидкости на единицу объема под действием силы тяжести рабочий расход жидкости на единицу объема под давлением Преобразование уравнений энергии с использованием уравнений непрерывности ПРОНЦА и уравнений движения для работы жидкости на единицу объема с помощью вязких сил.

Эта операция выполняется таким же образом Как это было сделано при переходе от формы уравнения движения (Р-12) к форме с использованием уравнения неразрывности (Р-16). делаем дифференциал, показанный слева от уравнения (P-46), перенесите туда конвективный член и после перестановки получите X ^ — 4 — (v-p^)] =- (v-p^) — (V- [T-wl). (1147) первый член в левой части уравнения (P-47) (у 4-г — и? Существенная производная от). 2-й равен нулю на основе уравнения неразрывности (II-4).Перепишите уравнение (P-47) с учетом вышеизложенного («4-Н=(ⁱⁱ⁴⁸）.

Полученные здесь 2 формы уравнений энергии (11-46) и (Р-48) соответствуют 2 формам уравнений континуума, полученных ранее (11-4) и (Р-6), и 2 формам уравнений движения. (II-15) и (II-17).Уравнение (Р-46) объясняет энергетический обмен жидкостей с точки зрения стационарного наблюдателя, а (р-48) объясняет этот обмен, наблюдаемый исследователями. Движется вместе с потоком. Уравнение (P-48) — это сумма и+и?

О написанных уравнениях обмена. Ранее было получено уравнение переноса 1 для этого суммарного члена(P-33). Перепишите его в следующем виде: P ^(t: «2)₽(v ’ш) — (V-Pw)+ P (WG) — (V•[Г■W1)+(T 😕 Вт.) (11-49) если вычесть уравнение (р-48) из уравнения (Р-49), то получим уравнение обмена внутренней энергии.、 в виде o&L— — — (V•7) — — — p Dx-это дополнительная норма внутренней энергии воды к энергии на единицу тепло-и влагосодержания воды на единицу объема. п (В•Ш) — (Т: ов). (Р-50) если скорость нарастания является скоростью нарастания скорости нарастания внутренней энергии внутренней энергии, и является обратимой из-за несжатия временного интервала, то скорость нарастания внутренней энергии одинакова.

Объемная единица уравнения объема (Р-50) называется уравнением тепловой энергии или просто уравнением энергии. Термин p-pcᵥ-форма выражается в виде Dx Dx. Где cp-удельная теплоемкость. Постоянный объемный процесс на единицу массы; элемент в виде d, d 1 l dt L dT. dT, где Я= — л -, yy -* -, qz-член (m: Vw) по уравнению (P-35).С учетом приведенной выше формулы (Р-50） ФТ?,- £(■£Ч (’sHt1£)»-sⁱ>частный случай формулы (П-51) является очень важным.

Например, теплопроводность X равна В зависимости от температуры P = const (Vw = 0)уравнение (P-51) представляет собой форму (P-52) идеального сжимаемого газа (P-53) твердого тела w = 0, так что dT dLTi-d2T\ dx — ° \ dh2 du2 ⁺ — dz2J ’(P-54), где a = — — — — коэффициент теплопроводности. pCv cD-cₚ-c, c-твердая теплоемкость. Или〜= a ^T. (P-55) из Формулы (P-55) называется формулой Теплопроводность Фурье. Если температура не изменяется со временем, то формула (11-54) принимает вид a3g. a3g, — = 0dh2gdu2⁺a?3-или V2r= 0. (P-57) последнее уравнение Это называется уравнением Лапласа. § 5.

Основные дифференциальные уравнения для граничных условий непрерывности (PZ), движения (11-12, 11-13, P-14) и энергии (11-51、 Закон сохранения импульса (momentum) и energy. In кроме того, эти уравнения содержат подтверждение гипотезы экспериментами с законом вязкого трения Кейпа-Ньютона и законом Фурье. Общие решения перечисленных дифференциальных уравнений в частных производных не представляют собой физических solutions. To решая определенные гидродинамические и тепловые задачи, необходимо сформулировать границы .

Поставьте задачу из указанного уравнения, то есть граничное условие или условие единственности. Определение граничного условия состоит в первую очередь из формулировки начального условия, то есть спецификации Значение интересующей функции в уравнении, которое обычно обозначается в первый момент, когда m = 0, а во второй, граничное условие задается на поверхности Ограничьте перемещение жидкости.

Для скорости вязкой жидкости такое условие, как известно, состоит в том, что скорость жидкости на неподвижной поверхности твердого тела равна нулю. Движущаяся жидкость находится в Контакте, то есть w = 0.Для движущихся твердых тел, скорость жидкости на этой поверхности, очевидно, должна быть равна скорости поверхности. Эти Состояние «прилипания» вязких жидкостей является следствием того факта, что всегда существует молекулярная когезия между поверхностью твердого тела и фактической жидкостью. В результате слой жидкости, непосредственно прилегающий к твердой стенке, полностью задерживается, как если бы он был прикреплен к стене.

Для уравнения энергии для целевой функции- Для температуры могут быть установлены следующие граничные условия: 1.Тип 1 граничное условие, когда температура устанавливается на Граничной поверхности жидкости. Общий случай Температура границы зависит от координат и времени граничной точки. 2.Граничные условия типа 2, где плотность теплового потока задается на поверхности, то есть производная От температуры перпендикулярно поверхности(в зависимости от времени и координат точек поверхности); 3.

Граничные условия типа 3, где предполагается тепловой поток Пропорционально разности температур между стенкой и жидкостью-a-i DP-в этом состоянии необходимо установить коэффициент теплоотдачи a и температуру среды Tf. Отклонения от этих условий Это наблюдается в бедных газах, и проскальзывание жидкости на поверхности должно быть принято во внимание. (С-58) 4.Граничные условия типа 4.Это суммируется в параллельной задаче. Равенство температуры и теплового потока на границе раздела фаз при решении задачи теплообмена двух сред (твердое тело-жидкость, объект-жидкость, жидкость-жидкость).

Его теплопередача представлена уравнением энергии 7 ′ ₁ / g-7’a | g. (11-59) -. (11-60) dp Gr dp dp / gr эти условия допускают различные изменения в зависимости от физической ситуации Состояние interface. So например, если контакт между двумя твердыми телами не идеален, условие (11-59) может включать скачок температуры. Если вы находитесь на границе .

Секция имеет источник тепла (Сток) (химическая реакция, фазовый переход), а условие (от 11 до 60) включает тепловой поток, возникающий в результате наличия поверхности Источник. Некоторые из физически важных граничных условий не включены в классификацию описанных граничных условий above. So например, при передаче тепла излучением тепловой поток будет.

Она пропорциональна разнице между температурой стенки и температурой газа 4 degrees. In вывод, необходимо отметить 1 очень важное обстоятельство. Течения жидкости в граничных условиях Это зависит от формы и размера твердого тела, взаимодействующего с потоком (диаметр трубы, толщина пластины и др.).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института