Уравнение теплопроводности для однослойной цилиндрической стенки

Теплопроводность через стенку

Под теплопередачей через стенку понимают процесс передачи теплоты между двумя средами через непроницаемую стенку любой геометрической формы в стационарном и нестационарном режимах теплообмена. Стенка может быть многослойной.

Рассмотрим стационарный режим теплопередачи через плоскую, цилиндрическую и сферическую стенки при котором теплопередача — величина постоянная и температурное поле не изменяется во времени и зависит только от координаты. В этом случае при условии постоянства теплофизических свойств тела температура в плоской стенке изменяется линейно, а в цилиндрической — по логарифмическому закону, т.е.

Q = const и T = f(x) — линейная (при плоской стенке) или логарифмическая функция (при круглой стенке).

Согласно второму закону термодинамики процесс теплопередачи идет от среды с большей температурой к среде с меньшей температурой.

Теплопередача через непроницаемую стенку включает в себя следующие процессы:

1. теплоотдачу от горячей среды к стенке;
2. теплопроводность внутри стенки;
3. теплоотдачу от стенки к холодной среде.

Теплопередача через плоскую стенку (граничные условия первого рода)

Теплопроводность — первое элементарное тепловое явление переноса теплоты посредством теплового движения микрочастиц в сплошной среде, обусловленное неоднородным распределением температуры.

Совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени называется температурным полем.

Если температурное поле не изменяется во времени, то мы имеем дело со стационарным тепловым режимом.

Тепловой поток Q [Вт] — это количество теплоты, передаваемой в единицу времени (1 Дж/с=1 Вт).

Поверхностная плотность теплового потока рассчитывается по формуле:

где Q — тепловой поток [Вт]; F — площадь стенки [м 2 ].

На основании закона Фурье q=-λdT/dx, значение плотности теплового потока для однослойной стенки будет определяться по формуле:

где δ = dx — толщина стенки, λ

λ/δ; [Вт/м 2 *К] — коэфициент тепловой проводности стенки.

а обратная величина —

R = δ/λ; [м 2. К/Вт] — термическое сопротивление стенки.

Для теплового потока формулу так же можно представить в виде:

Общее количество теплоты проходящее через площадь стены S за время t можно представить как:

Распределение температуры в плоской стенке

Рассмотрим изменение температуры в нашей стене. Так как у нас тепловой поток постоянный, то dT/dx = const=C₁; T=C₁х+С₂ (1). Определим С₁ и С₂ через граничные условия.

При х=0 T=T₁, подставим в уравнение (1) и получим T₁=С₂.
При х=δ T=T₂, подставим в уравнение (1) и получим T₂=С₁*δ+С₂, T₂=С₁*δ+T₁, получим: С₁=(Т₂-T₁)/δ. Теперь подставим в уравнение (1) найденные С₁ и С₂, получим следующее распределение температуры в нашей стене:

Если нам нужно узнать на какой глубине стены Т=То, то формула преобразуется в следующий вид:

Теплопроводность через многослойную стенку

Если у нас есть стенка из нескольких (n) слоев с разными коэффициентами теплопроводности λ_i и разной толщиной δ_i.

Термическое сопротивление стенки считается так:

Для теплового потока формула будет иметь вид:

Температура на границе слоя вычисляется по следующей формуле:

Например, если нужно вычислить температуру между 3-м и 4-м слоем, формула будет такая:

Эквивалентная теплопроводность многослойной стенки:

Теплопередача через плоскую стенку в граничащую среду (граничные условия третьего рода)

Теплопередача — это более сложный процесс теплообмена между жидкими и газообразными средами, разделенными твердой стенкой. Теплопередача включает в себя и процесс теплопроводности, и процесс теплоотдачи.

Коэффициент теплоотдачи α, Вт/(м 2 ·К) — это количество теплоты, отдаваемое в единицу времени единицей поверхности при разности температур между поверхностью и окружающей средой, равной одному градусу.

Коэффициент теплопередачи k, Вт/(м 2 ·К), характеризует тепловой поток, проходящий через единицу площади поверхности стенки при разности температуры сред, равной одному градусу:

q = k * (T_{возд.внутри} — T_{возд.снаружи}); Вт/м 2

Коэффициент теплопередачи для n слойной стенки:

Термические сопротивления теплоотдаче на внешних поверхностях стенки будут равны:

Тогда общее термическое сопротивление теплопередаче будет равно:

Температуры на поверхности стенки можно определить по формулам:

Теплопроводность через цилиндрическую стенку (граничные условия первого рода)

Теплообменные аппараты в большинстве случаев имеют не плоские, а цилиндрические поверхности, например рекуператоры типа «труба в трубе», кожухотрубные водонагреватели и т.д. Поэтому возникает необходимость рассмотрения основных принципов расчета цилиндрических поверхностей.

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:

Подставим значения граничные значение и вспомним, что разность логарифмов равна логарифму отношению аргументов, получим:

Распределение температур внутри однородной цилиндрической стенки подчиняется логарифмическому закону, и уравнение температурной кривой имеет вид:

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины трубы L, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы принимают следующий вид:

Все материалы, представленные на сайте, носят исключительно справочный и ознакомительный характер и не могут считаться прямой инструкцией к применению. Каждая ситуация является индивидуальной и требует своих расчетов, после которых нужно выбирать нужные технологии.

Не принимайте необдуманных решений. Имейте ввиду, что то что сработало у других, в ваших условиях может не сработать.

Администрация сайта и авторы статей не несут ответственности за любые убытки и последствия, которые могут возникнуть при использовании материалов сайта.

Сайт может содержать контент, запрещенный для просмотра лицам до 18 лет.

Теплопроводность цилиндрической однослойной стенки

Теплопроводность цилиндрической однослойной стенки

• Вопрос теплопроводности цилиндрических стенок имеет большое техническое значение. Решение этой задачи позволяет рассчитать теплопередачу в трубе. Трубы широко используются в качестве поверхностей нагрева для различных типов теплообменников. Предположим, что температура не изменяется вдоль оси трубы, по окружности трубы, по углу рис. 11. 5. То есть задача является одномерной, как и в случае с плоскими стенами.

Стенки выполнены из однородного материала, а его теплопроводность х Западное и независимое от температуры. Внутренние и внешние радиусы труб Г, г2 и 2 и внутренние температуры поверхностей и 2 также известны, и они не изменяются с течением времени. В стенке трубы выберите цилиндрическую поверхность радиуса r, ее площадь равна. Я2 Где b-длина трубы. Количество тепла, передаваемого через эту поверхность, может быть определено уравнением Фурье. Рисунок 11. 5. Цилиндрическая однослойная стенка. Тепло передается изнутри наружу — 2nr Р—. С г АГ Это количество тепла должно быть равно количеству, которое проходит через внутреннюю поверхность.

Параметры состояния — физические величины, однозначно характеризующие состояние термодинамической системы и не зависящие от предыстории системы. Людмила Фирмаль

Таким образом, величина постоянна, а ns зависит от величины текущего радиуса r. Это позволяет разделить переменные записанного уравнения. 11. 7 Г В рассматриваемой трубе, проходящей от радиуса r r1 до r r2, температура изменится от 3 до i 2. So. .После интеграции, Решите уравнение 11 .8 Как правило, количество передаваемого тепла связано с длиной трубы 1 метр 1 линейный метр, что более удобно .

• Плотность теплового потока на внутренней поверхности Огонь. Два Снаружи- В связи с тем, что внутренняя и наружная поверхности труб различаются по площади, плотность теплового потока и величина 9-2 равны different .To получим температуру с радиусом r толщины стенки цилиндра, интегрируем левую часть уравнения 11 .7 от текущей температуры Л, а правую часть от r до текущего значения радиуса R .г G1 После интеграции 2ла- 1нг-1нг — 21н- G1 откуда f 0 1NG .Назначьте последнее значение 2HX D, известное значение выражения 11 .8 2 .r1n — .1П-Д И затем Зависимость температуры от радиуса стенки цилиндра выражается логарифмической кривой .Подставляя значение С в Формулу 11 .7, находим формулу для градиента температуры цилиндрической стенки .От 12 1СОП Рис .

За единицу Рабочее тело — газообразное, жидкое или плазменное вещество, с помощью которого осуществляется преобразование какой-либо энергии при получении механической работы, холода, теплоты. Людмила Фирмаль

Цилиндрическая однослойная стенка .Тепло передается от внешней поверхности к внутренней поверхности Внимание В сравнении с рисунком обратите внимание на характер изменения температуры по радиусу .11-5 .Г2, 1П-П Температурный градиент цилиндрической стенки изменяется обратно пропорционально радиусу .Угол наклона прямой r к горизонтальной оси уменьшается по мере увеличения радиуса .Поэтому, когда тепловой поток направлен наружу, кривая Своп-Даун См .рис .11 .5, а направление теплового потока в трубе-выпуклое сверху рис.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку

Внешняя и внутренняя поверхности прямой цилиндрической трубы поддерживаются при постоянных температурах t’_ст и t»_ст. Изотермические поверхности будут цилиндрическими поверхностя­ми, имеющими общую ось с трубой. Температура будет меняться только в направлении радиуса, благодаря этому и поток тепла будет тоже радиальным. Труба имеет бесконечную длину. Температурное поле в этом случае будет одномерным

где r — текущая цилиндрическая координата.

В случае неравномерного распределения температур на поверх­ностях трубы температурное поле не будет одномерным и последнее уравнение не будет действительным.

На рис. 23-3 изображена труба, в которой тепловой поток направ­лен по радиальным направлениям. Возьмем участок трубы длиной l.

Тепловой поток для каждого слоя

Решая эти уравнения относительно разности температур и скла­дывая, получаем

откуда

(23-8)

или для любого числа слоев

(23-9)

Отношение называют термическим сопротивлением слоя, а

величину —полным термическим сопротивлением многослойной плоской стенки.

Иногда многослойную плоскую стенку рассчитывают как одно­родную, вводя в уравнение (23-9) эквивалентный коэффициент теп­лопроводности λ_эк:

(23-10)

Сравнивая уравнения (23-9) и (23-10), получаем

(23-11)

Эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной стенки равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки той же толщины, с теми же температурами поверхностей и про­пускающей тот же тепловой поток.

Величина λ_эк зависит от термических сопротивлений и толщин отдельных слоев.

Температуры в ◦С между отдельными слоями сложной стенки будут равны

(23-12)

Температура в каждом слое стенки при постоянном коэффициен­те теплопроводности изменяется по линейному закону, а для много­слойной плоской стенки температурный график представляет собой ломаную линию.

Поверхность F на расстоянии г от оси будет равна 2лrl. Темпера­тура внутренней поверхности равна t’_ст, наружной — t»_ст. Через поверхности проходит один и тот же тепловой поток.

Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом г и толщиной dr. Тогда можно принять поверхности, через которые проходит тепловой поток, одинаковыми и рассматривать этот элементарный слой как плоскую стенку. Разность температур между поверхностя­ми будет также бесконечно малой и рав­ной dt. По закону Фурье или для кольцевого слоя

Разделяя переменные, получаем

(а)

Интегрируя уравнение (а) в пределах от t’_ст До t»_ст и от r₁ до r₂ и при К — const, получаем

(23-13)

Как видно из уравнения, распределение температур в стенке цилиндрической трубы представляет собой логарифмическую кри­вую. Тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку, определяется заданными граничными условиями и зависит от отно­шения наружного диаметра к внутреннему.

Тепловой поток может быть отнесен к единице длины трубы и к 1 м 2 внутренней или внешней поверхности. Тогда расчетные фор­мулы принимают вид