Уравнение теплопроводности для однослойной цилиндрической стенки имеет вид

Б) Однослойная цилиндрическая стенка

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в однослойной цилинд­рической стенке (трубе) с внутренним диаметром d₁ = 2r₁ и наружным диаметром d₂ = 2r₂ (рис.6).

На поверхностях стенки заданы постоянные температуры t₁ и t₂. Ко­эффициент теплопроводности в заданном интервале температур считаем постоян­ным. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.

Рис.6. Цилиндрическая стенка. Г.У. 1 рода.

В данной задаче дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе коор­динат. Так как q_v = 0 и ∂t/∂τ = 0, то поделив правую и левую часть уравнения (19) на а получим:

(46)

Ось трубы совмещена с осью Оz, т.е. при фиксированном радиусе температура вдоль трубы не изменяется, поэтому

(а)

Кроме того, т.к. температуры на наружной и внутренней по­верхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являют­ся цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Тогда темпера­тура не должна, зависеть от угла φ, т.е.

(б)

Следовательно, t есть функция только r, т.е. темпера­турное поле будет одномерным.

С учетом (а) и (б) уравнение (46) принимает вид:

(47)

при

при (48)

Совместное решение (47) и (48) дает уравнение температурного поля в цилиндрической стенке.

Для решения введем новую переменную:

,

тогда , (в)

Подставляя (в) в уравнение (47), получим:

(49)

Домножив левую и правую часть (49) на rdr, запи­шем

или (г)

Интегрируя (г), получим

(е)

Переходя к первоначальным переменным, перепишем (е) в виде:

или (50)

Разделив переменные и проинтегрировав (50), получим:

(51)

Определим постоянные интегрирования С₁ и С₂, подста­вив в уравнение (51) граничные условия:

при , отсюда

при , отсюда (д)

Решение уравнений (д) относительно С₁ и С₂ дает

,

Подставив значения С₁ и С₂ в уравнение (51), получим:

или (52)

Выражение (52) представляет собой уравнение логарифмической кривой, т.е. распределение температуры по толщине цилиндрической стенки является криволинейным.

Для нахождения теплового потока, проходящего через цилинд­рическую поверхность F, воспользуемся законом Фурье:

Из уравнения (50) значение температурного градиента:

Учитывая, что F = 2πrl, где l — длина трубы, получим

Заменив радиусы на диаметры, запишем:

(53)

Тепловой поток (53) может быть отнесен к единице внутренней поверхности, к единице наружной поверхности или к единице длины трубы.

При этом расчетные формулы для плотности теплового потока принимают вид:

_{, (54)}

где q₁, Вт/м 2 — плотность теплового потока для внутренней поверхности;

(55)

где q₂, Вт/м 2 — плотность теплового потока для наружной поверхности;

, (56)

где q_l, Вт/м 2 — линейная плотность теплового потока.

Линейная плотность теплового потока q_l — это количество тепла, которое проходит в единицу времени через стенку трубы длиной в 1 м в радиальном направлении.

Из уравнений (54) — (56) устанавливается связь между q₁, q₂ и q_l:

(57)

Теплопроводность цилиндрической однослойной стенки

Теплопроводность цилиндрической однослойной стенки

• Вопрос теплопроводности цилиндрических стенок имеет большое техническое значение. Решение этой задачи позволяет рассчитать теплопередачу в трубе. Трубы широко используются в качестве поверхностей нагрева для различных типов теплообменников. Предположим, что температура не изменяется вдоль оси трубы, по окружности трубы, по углу рис. 11. 5. То есть задача является одномерной, как и в случае с плоскими стенами.

Стенки выполнены из однородного материала, а его теплопроводность х Западное и независимое от температуры. Внутренние и внешние радиусы труб Г, г2 и 2 и внутренние температуры поверхностей и 2 также известны, и они не изменяются с течением времени. В стенке трубы выберите цилиндрическую поверхность радиуса r, ее площадь равна. Я2 Где b-длина трубы. Количество тепла, передаваемого через эту поверхность, может быть определено уравнением Фурье. Рисунок 11. 5. Цилиндрическая однослойная стенка. Тепло передается изнутри наружу — 2nr Р—. С г АГ Это количество тепла должно быть равно количеству, которое проходит через внутреннюю поверхность.

Параметры состояния — физические величины, однозначно характеризующие состояние термодинамической системы и не зависящие от предыстории системы. Людмила Фирмаль

Таким образом, величина постоянна, а ns зависит от величины текущего радиуса r. Это позволяет разделить переменные записанного уравнения. 11. 7 Г В рассматриваемой трубе, проходящей от радиуса r r1 до r r2, температура изменится от 3 до i 2. So. .После интеграции, Решите уравнение 11 .8 Как правило, количество передаваемого тепла связано с длиной трубы 1 метр 1 линейный метр, что более удобно .

• Плотность теплового потока на внутренней поверхности Огонь. Два Снаружи- В связи с тем, что внутренняя и наружная поверхности труб различаются по площади, плотность теплового потока и величина 9-2 равны different .To получим температуру с радиусом r толщины стенки цилиндра, интегрируем левую часть уравнения 11 .7 от текущей температуры Л, а правую часть от r до текущего значения радиуса R .г G1 После интеграции 2ла- 1нг-1нг — 21н- G1 откуда f 0 1NG .Назначьте последнее значение 2HX D, известное значение выражения 11 .8 2 .r1n — .1П-Д И затем Зависимость температуры от радиуса стенки цилиндра выражается логарифмической кривой .Подставляя значение С в Формулу 11 .7, находим формулу для градиента температуры цилиндрической стенки .От 12 1СОП Рис .

За единицу Рабочее тело — газообразное, жидкое или плазменное вещество, с помощью которого осуществляется преобразование какой-либо энергии при получении механической работы, холода, теплоты. Людмила Фирмаль

Цилиндрическая однослойная стенка .Тепло передается от внешней поверхности к внутренней поверхности Внимание В сравнении с рисунком обратите внимание на характер изменения температуры по радиусу .11-5 .Г2, 1П-П Температурный градиент цилиндрической стенки изменяется обратно пропорционально радиусу .Угол наклона прямой r к горизонтальной оси уменьшается по мере увеличения радиуса .Поэтому, когда тепловой поток направлен наружу, кривая Своп-Даун См .рис .11 .5, а направление теплового потока в трубе-выпуклое сверху рис.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Теплопроводность через стенку

Под теплопередачей через стенку понимают процесс передачи теплоты между двумя средами через непроницаемую стенку любой геометрической формы в стационарном и нестационарном режимах теплообмена. Стенка может быть многослойной.

Рассмотрим стационарный режим теплопередачи через плоскую, цилиндрическую и сферическую стенки при котором теплопередача — величина постоянная и температурное поле не изменяется во времени и зависит только от координаты. В этом случае при условии постоянства теплофизических свойств тела температура в плоской стенке изменяется линейно, а в цилиндрической — по логарифмическому закону, т.е.

Q = const и T = f(x) — линейная (при плоской стенке) или логарифмическая функция (при круглой стенке).

Согласно второму закону термодинамики процесс теплопередачи идет от среды с большей температурой к среде с меньшей температурой.

Теплопередача через непроницаемую стенку включает в себя следующие процессы:

1. теплоотдачу от горячей среды к стенке;
2. теплопроводность внутри стенки;
3. теплоотдачу от стенки к холодной среде.

Теплопередача через плоскую стенку (граничные условия первого рода)

Теплопроводность — первое элементарное тепловое явление переноса теплоты посредством теплового движения микрочастиц в сплошной среде, обусловленное неоднородным распределением температуры.

Совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени называется температурным полем.

Если температурное поле не изменяется во времени, то мы имеем дело со стационарным тепловым режимом.

Тепловой поток Q [Вт] — это количество теплоты, передаваемой в единицу времени (1 Дж/с=1 Вт).

Поверхностная плотность теплового потока рассчитывается по формуле:

где Q — тепловой поток [Вт]; F — площадь стенки [м 2 ].

На основании закона Фурье q=-λdT/dx, значение плотности теплового потока для однослойной стенки будет определяться по формуле:

где δ = dx — толщина стенки, λ

λ/δ; [Вт/м 2 *К] — коэфициент тепловой проводности стенки.

а обратная величина —

R = δ/λ; [м 2. К/Вт] — термическое сопротивление стенки.

Для теплового потока формулу так же можно представить в виде:

Общее количество теплоты проходящее через площадь стены S за время t можно представить как:

Распределение температуры в плоской стенке

Рассмотрим изменение температуры в нашей стене. Так как у нас тепловой поток постоянный, то dT/dx = const=C₁; T=C₁х+С₂ (1). Определим С₁ и С₂ через граничные условия.

При х=0 T=T₁, подставим в уравнение (1) и получим T₁=С₂.
При х=δ T=T₂, подставим в уравнение (1) и получим T₂=С₁*δ+С₂, T₂=С₁*δ+T₁, получим: С₁=(Т₂-T₁)/δ. Теперь подставим в уравнение (1) найденные С₁ и С₂, получим следующее распределение температуры в нашей стене:

Если нам нужно узнать на какой глубине стены Т=То, то формула преобразуется в следующий вид:

Теплопроводность через многослойную стенку

Если у нас есть стенка из нескольких (n) слоев с разными коэффициентами теплопроводности λ_i и разной толщиной δ_i.

Термическое сопротивление стенки считается так:

Для теплового потока формула будет иметь вид:

Температура на границе слоя вычисляется по следующей формуле:

Например, если нужно вычислить температуру между 3-м и 4-м слоем, формула будет такая:

Эквивалентная теплопроводность многослойной стенки:

Теплопередача через плоскую стенку в граничащую среду (граничные условия третьего рода)

Теплопередача — это более сложный процесс теплообмена между жидкими и газообразными средами, разделенными твердой стенкой. Теплопередача включает в себя и процесс теплопроводности, и процесс теплоотдачи.

Коэффициент теплоотдачи α, Вт/(м 2 ·К) — это количество теплоты, отдаваемое в единицу времени единицей поверхности при разности температур между поверхностью и окружающей средой, равной одному градусу.

Коэффициент теплопередачи k, Вт/(м 2 ·К), характеризует тепловой поток, проходящий через единицу площади поверхности стенки при разности температуры сред, равной одному градусу:

q = k * (T_{возд.внутри} — T_{возд.снаружи}); Вт/м 2

Коэффициент теплопередачи для n слойной стенки:

Термические сопротивления теплоотдаче на внешних поверхностях стенки будут равны:

Тогда общее термическое сопротивление теплопередаче будет равно:

Температуры на поверхности стенки можно определить по формулам:

Теплопроводность через цилиндрическую стенку (граничные условия первого рода)

Теплообменные аппараты в большинстве случаев имеют не плоские, а цилиндрические поверхности, например рекуператоры типа «труба в трубе», кожухотрубные водонагреватели и т.д. Поэтому возникает необходимость рассмотрения основных принципов расчета цилиндрических поверхностей.

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:

Подставим значения граничные значение и вспомним, что разность логарифмов равна логарифму отношению аргументов, получим:

Распределение температур внутри однородной цилиндрической стенки подчиняется логарифмическому закону, и уравнение температурной кривой имеет вид:

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины трубы L, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы принимают следующий вид:

Все материалы, представленные на сайте, носят исключительно справочный и ознакомительный характер и не могут считаться прямой инструкцией к применению. Каждая ситуация является индивидуальной и требует своих расчетов, после которых нужно выбирать нужные технологии.

Не принимайте необдуманных решений. Имейте ввиду, что то что сработало у других, в ваших условиях может не сработать.

Администрация сайта и авторы статей не несут ответственности за любые убытки и последствия, которые могут возникнуть при использовании материалов сайта.

Сайт может содержать контент, запрещенный для просмотра лицам до 18 лет.