Уравнение теплопроводности для твердых тел

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

Если в твердом теле существует разность температур между различными его частями, то, подобно тому, как это происходит в газах или в жидкостях, тепло переносится от более нагретой к менее нагретой части тела.

В отличие от жидкостей или газов, в твердом теле не может возникнуть конвекция, т.е. перемещение массы вещества с теплом. Поэтому перенос тепла в твердом теле осуществляется только теплопроводностью.

Количественно перенос тепла в любом веществе описывается уравнением теплопроводности. Если вдоль оси х существует градиент температуры dT/dx, то в направлении убывания температуры возникает поток тепла, величина которого определяется уравнением

q = — λ ,

16.1.

Здесь q – поток тепла через поверхность S, расположенную перпендикулярно оси x. Под потоком тепла подразумевается количество теплоты, проходящее через некоторую поверхность за единицу времени, т.е. q = dQ/dt; λ – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств вещества, и называемый коэффициентом теплопроводности. Знак минус в уравнении отражает то обстоятельство, что тепло течет в направлении убывания температуры.

Из уравнения (16.1) видно, что коэффициент теплопроводности численно равен количеству тепла, перенесенному в единицу времени через единицу площади при градиенте температуры, равном единице. В системе СИ коэффициент λ измеряется в ваттах на метр-кельвин [λ] = Вт/(м·К). Величина этого коэффициента для твердого тела не может быть вычислена так, как это делается для газов – достаточно простой системы, состоящей из невзаимодействующих частиц.

Приближенно коэффициент теплопроводности твердого тела можно вычислить с помощью квантовых представлений.

Механизм переноса тепла в твердом теле вытекает из характера тепловых движений в нем. Твердое тело представляет собой совокупность атомов, совершающих тепловые колебания. Но эти колебания не независимы друг от друга. Колебания могут передаваться (со скоростью звука) от одних атомов к другим. При этом образуется волна, которая переносит энергию колебаний. Таким распространением колебаний и осуществляется перенос тепла. Квантовая теория позволяет сопоставить распространяющимся колебаниям некоторые фиктивные частицы – фононы. Каждая частица характеризуется энергией hν, где h – постоянная Планка, а ν – частота колебаний узла решетки.

Теперь твердое тело мы можем рассматривать как сосуд, содержащий газ из фононов, газ, который при не очень высоких температурах может считаться идеальным газом. Как и в случае обычного газа, перенос тепла в фононном газе осуществляется столкновениями фононов с атомами решетки, и все рассуждения, которые приводились для вычисления теплопроводности идеальных газов, будут справедливы и здесь. Поэтому коэффициент теплопроводности твердого тела может быть выражен формулой, аналогичной формуле коэффициента теплопроводности для газов.

λ = ,

16.2.

где ρ – плотность твердого тела, C_v – его удельная теплоемкость, с — скорость звука в нем, l – длина свободного пробега фононов. Вычислить последнюю величину, оказывается, достаточно сложно. Оценка показывает, что эта величина обратно пропорциональная абсолютной температуре тела.

В металлах, помимо колебаний решетки, в переносе тепла участвуют и заряженные частицы – электроны, которые вместе в тем являются и носителями электрического тока в металлах. При высоких температурах электронная часть теплопроводности много больше решеточной. Этим объясняется высокая теплопроводность металлов по сравнению с неметаллами, в которых фононы – единственные переносчик тепла.

При более низких температурах (но не самых низких) в металлах начинает преобладать решеточная теплопроводность, так как она растет с понижением температуры, а электронная от температуры не зависит. При самых низких температурах электронная часть теплопроводности вновь начинает преобладать.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

В учебниках по теплопередаче, в том числе и в [1], приводится вывод дифференциального уравнения температурного поля движущейся жидкости, уравнение энергии

(1.12)

где с_р, Дж/(кг×К) – изобарная теплоемкость; r, кг/м 3 – плотность; l, Вт/(м×К) – коэффициент теплопроводности; w_х, w_y, w_z – проекции вектора скорости движения жидкости; q_v , Вт/м 3 – объемная плотность внутреннего тепловыделения жидкости.

Уравнение (1.12) записано для случая l=const.

Дифференциальное уравнение температурного поля для твердых тел называется дифференциальным уравнением теплопроводности и может быть получено из (1.12) при условии w_х= w_y= w_z=0, с_р= с_v=с:

,

где — коэффициент температуропроводности, характеризует скорость изменения температуры в теле. Значения а = f (t) для различных тел приводятся в справочниках.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

(1.13)

описывает нестационарное температурное поле твердых тел с внутренним тепловыделением (с внутренними источниками тепла). Такими источниками тепла могут быть: джоулева теплота, выделяемая при прохождении электрического тока по проводникам; теплота, выделяемая ТВЭЛами ядерных реакторов и т.д.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.13), записанное в декартовых координатах, можно представить в цилиндрических (r, z, φ) и сферических (r, φ, ψ).

В частности, в цилиндрических координатах (r –радиус; φ – полярный угол; z — аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

(1.14)

Условия однозначности

Дифференциальное уравнение описывает множество процессов теплопроводности. Чтобы выделить из этого множества конкретный процесс, необходимо сформулировать особенности этого процесса, которые называются условиями однозначности и включают в себя:

· геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела;

· физические условия, характеризующие свойства участвующих в теплообмене тел;

· граничные условия, характеризующие условия протекания процесса на границе тела;

· начальные условия, характеризующие начальное состояние системы при нестационарных процессах.

При решении задач теплопроводности различают:

· граничные условия первого рода, когда задается распределение температуры на поверхности тела:

· граничные условия второго рода, когда задается плотность теплового потока на поверхности тела:

· граничные условия третьего рода, когда задается температура среды t_ж и коэффициент теплоотдачи между поверхностью и средой.

В соответствии с законом Ньютона-Рихмана тепловой поток, передаваемый с 1м 2 поверхности в среду с температурой t_ж,

В то же время этот тепловой поток подводится к 1м 2 поверхности из глубинных слоев тела теплопроводностью

Тогда уравнение теплового баланса для поверхности тела запишется в виде

(1.15)

Уравнение (1.15) является математической формулировкой граничных условий третьего рода.

Система дифференциальных уравнений совместно с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку задачи. Решения дифференциальных уравнений содержат константы интегрирования, которые определяются с помощью условий однозначности.

Контрольные вопросы и задания

1. Проанализируйте, какими способами передается теплота от горячей воды к воздуху через стенку батареи отопления: от воды к внутренней поверхности, через стенку, от наружной поверхности к воздуху.

2. Почему в правой части уравнения (1.3) стоит минус?

3. Проанализируйте с помощью справочной литературы зависимость λ(t) для металлов, сплавов, теплоизоляционных материалов, газов, жидкостей и ответьте на вопрос: как изменяется коэффициент теплопроводности с изменением температуры для этих материалов?

4. Как определяется тепловой поток (Q, Вт) при конвективной теплоотдаче, теплопроводности, тепловом излучении?

5. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовых координатах, описывающее трехмерное стационарное температурное поле без внутренних источников теплоты.

6. Запишите дифференциальное уравнение температурного поля проволоки, которая длительное время находится под напряжением при постоянной электрической нагрузке.

2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

2.1. Теплопроводность плоской стенки
при граничных условиях первого рода

Дано:плоская однородная стенка толщиной δ (рис. 2.1) с постоянным коэффициентом теплопроводности λ и постоянными температурами t₁ и t₂ на поверхностях.

Определить:уравнение температурного поля t=f (x) и плотность теплового потока q, Вт/м 2 .

Температурное поле стенки описывается дифференциальным уравнением теплопроводности (1.3) при следующих условиях:

· т. к. режим стационарный;

· т.к. отсутствуют внутренние источники теплоты;

· т.к. температуры t₁ и t₂ на поверхностях стенки постоянны.

Температура стенки является функцией только одной координаты х и уравнение (1.13) принимает вид

(2.1)

т.к. коэффициент температуропроводности стенки а ≠ 0.

Граничные условия первого рода:

Выражения (2.1), (2.2), (2.3) являются математической постановкой задачи, решение которой позволит получить искомое уравнение температурного поля t= f (x).

Интегрирование уравнения (2.1) дает

При повторном интегрировании получим решение дифференциального уравнения в виде

Из уравнения (2.4) при условии (2.2) получим

а при условии (2.3)

Подстановка констант интегрирования с₁ и с₂ в уравнение (2.4) дает уравнение температурного поля

(2.5)

по которому можно рассчитать температуру по толщине стенки на любой координате 0 2 ; t₂, t₃.

При стационарном режиме и постоянных температурах поверхностей стенки тепловой поток, передаваемый через трехслойную стенку, можно представить системой уравнений:

	(2.8)
	(2.9)
	(2.10)

(2.11)

Сложив левые и правые части уравнений (2.11), получим расчетную формулу для плотности теплового потока, передаваемого через трехслойную стенку

(2.12)

Температуры на границах слоев t₂ и t₃ можно рассчитать по уравнениям (2.8) – (2.10) после того, как найдена плотность теплового потока (q) по (2.12).

Общий вид уравнения (2.12) для многослойной плоской стенки, состоящей из п однородных слоев с постоянными температурами на наружных поверхностях и , имеет вид

(2.13)

Средний коэффициент теплопроводности многослойной стенки называют эффективным (λ_эф). Он равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки, толщина и термическое сопротивление которой равны толщине и термическому сопротивлению многослойной стенки

(2.14)

2.2. Теплопроводность цилиндрической стенки
при граничных условиях первого рода

Дано:Однородная цилиндрическая стенка (стенка трубы) с внутренним радиусом r₁, наружным – r₂, длиной , с постоянным коэффициентом теплопроводности λ, с постоянными температурами на поверхностях t₁ и t₂.
(рис. 2.3).

Определить: уравнение температурного поля
t = f (r), тепловой поток, передаваемый через стенку
Q, Вт.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах (1.14) для условий данной задачи:

(2.15)

Граничные условия первого рода:

Порядок решения системы уравнений (2.15) – (2.17) тот же, что и в случае плоской стенки: находится общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка (2.15), который содержит две константы интегрирования
с₁ и с₂ . Последние определяются с помощью граничных условий (2.16) и (2.17) и после подстановки их значений в решение дифференциального уравнения (общий интеграл) получаем уравнение температурного поля цилиндрической стенки t = f (r) в виде

(2.18)

где r₁ r r₂ – текущий радиус.

Нетрудно убедиться, что при подстановке в (2.18) r= r₁ получим t=t₁ , при r=r₂ получим t=t₂. Распределение температуры по толщине цилиндрической стенки, в соответствии с (2.18) подчиняется логарифмическому закону (рис. 2.3).

Для определения теплового потока воспользуемся законом Фурье:

(2.19)

Если взять производную от правой части уравнения (2.18) и подставить в (2.19), получим расчетную формулу для теплового потока цилиндрической стенки

(2.20)

В технических расчетах часто тепловой поток вычисляется для 1 м длины трубы:

и называется линейной плотностью теплового потока.

Запишем уравнение (2.20) в виде

где – термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки.

Для трехслойной цилиндрической стенки (трубы, покрытой двумя слоями тепловой изоляции) с известными постоянными температурами поверхностей (t₁ и t₄), с известными геометрическими размерами (r₁ , r₂, r₃, r₄ , ) и коэффициентами теплопроводности слоев (λ₁, λ₂, λ₃) (рис. 2.4) можно записать следующие уравнения для теплового потока Q:

(2.21)

Совместное решение системы уравнений (2.21) дает расчетную формулу для теплового потока, передаваемого через трехслойную стенку при заданных температурах на поверхностях,

(2.22)

Температуры на границах слоев (t₂, t₃) можно рассчитать по уравнениям (2.21).

Для многослойной цилиндрической стенки, состоящей из п слоев, формулу (2.22) можно записать в общем виде

(2.23)

Эффективный коэффициент теплопроводности для многослойной цилиндрической стенки, как и для многослойной плоской стенки, определяется из равенства суммы термических сопротивлений многослойной стенки термическому сопротивлению однородной стенки той же толщины, что и многослойная. Так, для двухслойной тепловой изоляции трубы
(рис. 2.4) эффективный коэффициент теплопроводности (λ_эф) определ ится из равенства

2.3. Теплопроводность плоской и цилиндрической стенок
при граничных условиях третьего рода (теплопередача)

Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры жидкости (t_ж) и коэффициента теплоотдачи ( ) между поверхностью стенки и жидкостью.

Передача тепла от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку называется теплопередачей.

Примерами теплопередачи служит перенос теплоты от дымовых газов к воде через стенку трубы парового котла, перенос тепла от горячей воды к окружающему воздуху через стенку батареи отопления и т.д.

Теплообмен между поверхностью и средой (теплоносителем) может быть конвективным, если теплоноситель – жидкость (вода, нефть и т.д.) или радиационно-конвективным, когда теплота передается путем конвективного теплообмена и излучением, если теплоноситель – газ (дымовые газы, воздух и т.д.).

Рассмотрим теплопередачу через плоскую и цилиндрическую стенки при условии только конвективного теплообмена на поверхностях. Теплопередача с радиационно-конвективным теплообменом (сложным теплообменом) на поверхностях будет рассмотрена позже.

Плоская стенка(рис. 2.5)

Дано:

Плотность теплового потока q описывается следующими уравнениями в зависимости от способа передачи теплоты:

– от горячей жидкости к стенке

(2.24)

(2.25)

– от стенки к холодной жидкости

(2.26)

Записав уравнения (2.24) – (2.26) в виде

(2.27)

и сложив почленно правые и левые части уравнений (2.27), получим формулу для расчета теплопередачи (q, Вт/м 2 ) через плоскую стенку в виде

(2.28)

Величины называются термическими сопротивлениями теплоотдачи. Они прямо пропорциональны перепадам температур .

Температуры на поверхностях стенки t₁ и t₂ можно рассчитать по уравнениям (2.24) – (2.26) после того, как определена плотность теплового потока (q) по уравнению (2.28).

Формулу (2.28) можно записать в виде

(2.29)

где — коэффициент теплопередачи плоской стенки,характеризует интенсивность процесса теплопередачи.

Теплопередача через многослойную плоскую стенку рассчитывается по формуле

(2.30)

Цилиндрическая стенка(рис. 2.6)

Дано:

Для цилиндрической стенки, по аналогии с плоской стенкой, можно записать следующую систему уравнений:

	(2.31)
	(2.32)
	(2.33)

где — площади внутренней и наружной поверхностей трубы.

Записав уравнения (2.31) – (2.33) относительно разностей температур, а затем сложив правые и левые части уравнений, получим формулу для расчета теплопередачи (Q, Вт) через цилиндрическую стенку в виде

(2.34)

Температуры на поверхностях стенки t₁ и t₂ рассчитываются по уравнениям (2.31) – (2.33).

Формулу (2.34) также можно представить в виде

где – коэффициент теплопередачи цилиндрической стенки.

Для металлических труб с можно пренебречь кривизной стенки и теплопередачу рассчитать по формулам для плоской стенки:

,

.

Теплопроводность

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

В данном уроке рассматривается понятие теплопроводности.

Теплопроводность является одним из видов теплопередачи и связана с переносом внутренней энергии от более нагретых частей тела (тел) к менее нагретым, который осуществляется хаотически движущимися частицами тела.

С теплопроводностью каждый из нас сталкивается, когда неосторожно хватается за железную ручку сковородки, стоящей на плите. Плохая теплопроводность воздуха позволяет с помощью двойных рам утеплить квартиру на зиму. И таких примеров множество. Поэтому теплопроводность является одним из важнейших физических тепловых явлений, которые мы будем изучать.