Дифференциальное уравнение теплопроводности и его частные случаи
В трехмерной системе координат дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид
где а=λ/(сγ) – температуропроводность твердого тела,м 2 /с.
Выражение в круглых скобках правой части называется оператором Лапласа и обозначается
Рассмотрим частные случаи этого уравнения:
1) тепловой поток распространяется только вдоль оси х, тогда
2) в выделенном элементарном объеме твердого тела температура во времени не изменяется, т.е.
Называемое уравнением Лапласа, оно характеризует собой распределение температуры в элементарном объеме твердого тела при стационарном процессе переноса тепла (когда температура во времени во всех точках выделенного объема твердого тела остается постоянной).
3) внутренняя энергии выделенного элементарного объема твердого тела в точке с координатами х, yи zсуществует внутренний источник, выделяющий (или поглощающий) в единице объема за единицу времени количество тепла, равное А(х, y, z, τ), то дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид
4) теплопроводность твердого тела изменяется в рассматриваемом диапазоне температур, тогда
5) когда источник тепла перемещается со скоростью, компоненты которой равны Vx, Vy, Vz, тогда
Представленные уравнения относятся к прямоугольной системе координат.
Дифференциальные уравнения теплопроводности в сферических и цилиндрических координатах имеют следующий вид:
и
Краевые условия
Под краевыми условиями понимается совокупность начальных и граничных условий.
Начальным условием называется температурное поле в твердом теле в тот момент, с которого ведется отсчет времени температурного воздействия.
Граничным условием называется условие, определяющее процесс теплообмена на границе. Понятие «граница» включает в себя внешние поверхности, подверженные тепловому воздействию, и внутренние, расположенные на некотором удалении от внешних. Граничные условия складываются из сведений об условиях теплообмена на границе и сведений об изменении параметров источника теплового воздействия.
Различают четыре рода граничных условий:
1) если известен закон изменения температуры нагреваемой поверхности во времени
Частным случаем является постоянства температуры на поверхности, подверженной тепловому воздействию
2) если известна закономерность изменения во времени удельного теплового потока, поступающего к поверхности твердого тела
или
Индекс х=+0 указывает на то, что градиент температуры относится к точке тела, расположенной в непосредственной близости от поверхности.
Частным случаем имеет место при постоянстве удельного теплового потока
3) Если заданы температура источника теплового воздействия и интенсивность теплообмена на поверхности (теплоносителями являются жидкости и газы).
где α– коэффициент теплоотдачи, Вт/(м 2 К)
При установившемся режиме теплообмена коэффициент теплоотдачи можно принять постоянным.
Если нагрев твердого тела происходит за счет лучеиспускания, тогда
где , Вт/(м 2 К)
b(T) – коэффициент, зависящий от температуры источника и приемника лучистой энергии, К 3
— приведенный коэффициент лучеиспускания, Вт/м 2 ∙(К) 4
ϭ – постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,67∙10 -8 Вт/м 2 К 4
ε – относительная излучательная способность (степень черноты) твердого тела.
4) при соприкосновении двух твердых тел с разными теплофизическими свойствами.
Во всех этих уравнениях в правых частях удельный тепловой поток, отводимый внутрь твердого тела от нагреваемой поверхности, в правой — математически сформулирована закономерность поступления тепла от источника к поверхности твердого тела.
Дата добавления: 2018-05-10 ; просмотров: 1850 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Дифференциальное уравнение теплопроводности
При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.
Температурное поле – совокупность значений температур во всех точках рассматриваемого пространства для каждого момента времени .
Для упрощения вывода этого дифференциального уравнения сделаны следующие допущения:
– физические параметры постоянны;
– деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом;
– внутренние источники теплоты в теле распределены равномерно.
В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии в формулировке:
количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время dτ теплопроводностью, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмотрения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме.
(*)
где dQ1 – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем теплопроводностью за время dτ;
dQ2 – количество теплоты, Дж, которое за время dτ выделилось в элементарном объем за счет внутренних источников;
dQ – изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме , за время dτ.
Для нахождения составляющих выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.
Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей Оx, Оy, Оz обозначим соответственно dQx, dQy, dQz.
Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQx+dx, dQy+dy, dQz+dz.
Количество теплоты, подведенное к грани dydz=dF в направлении оси Ох за время dτ, составляет ,
где qx – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани.
Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох
.
Разница количеств теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него за время dτ в направлении оси Ох
Функция является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора
Если ограничиться двумя первыми членами ряда:
Аналогично можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему в направлениях двух других координатных осей Oy и Oz.
Количество теплоты dQ, подводимое теплопроводностью к рассматриваемому объему, будет равно
Обозначим через , Вт/м 3 , количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема в единицу времени.
Тогда
Третья составляющая уравнения (*) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.
В случае рассмотрения изохорного процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т.е.
где – изохорная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К);
ρ – плотность вещества, кг/м 3 .
Подставляя полученные выражения в уравнение (*), получим
,
Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу, Оz определяются законом Фурье:
; ; .
где λ – коэффициент теплопроводности (физический параметр вещества, характеризующий способность проводить теплоту), Вт/(м∙°С).
Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (*), опуская индекс при с, ипринимая теплофизические характеристики постоянными, получим
(***)
Выражение (***) называется дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между временнЫм и пространственным изменением температуры в любой точке тела.
и
Тогда выражение (***) имеет вид:
Выражение (***) в цилиндрической системе координат:
где r – радиус-вектор;
φ – полярный угол;
Коэффициент пропорциональности а, м 2 /с, называется коэффициентом температуропроводности и является физическим параметром вещества.
Он характеризует скорость изменения температуры, т.е. является мерой теплоинерционных свойств тела. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает бόльшим коэффициентом температуропроводности.
Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества.
Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности.
Металлы обладают малой тепловой инерционностью, т.к. они имеют большой коэффициент температуропроводности.
Если система тел не содержит внутренних источников теплоты (qυ=0), то
Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т.е. , то
При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведенная к объему, уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме:
(**)
Если рассматривать энтальпию единицы объема как , то
где сp – изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К).
В итоге (**) имеет вид:
| | следующая лекция ==> | |
СПОСОБЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛОТЫ | | | Условия однозначности для процессов теплопроводности. Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление теплопроводности в самом общем виде |
Дата добавления: 2016-02-09 ; просмотров: 4535 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
http://helpiks.org/6-87628.html