Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности
При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:
1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ;
2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ;
3) стержень тонкий — это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.
Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:
Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.
Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С — удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S — площадь поперечного сечения.
Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q1 = -kSUx(x, t)∆t, где k — коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х, а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть Ux CpS∆x∆U = kSUx(x + ∆х, t) ∆t — kSUx(x, t)∆t.
Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:
Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид
Ut = a 2 Uxx,
где — коэффициент температуропроводности.
В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t), получится неоднородное уравнение теплопроводности
Начальные условия и граничные условия.
Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U|t=0 = φ(х) (или в другой записи U(x,0) = φ(х)) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х). Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.
Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g1(t) ≡ Т1 и g2(t) ≡ Т2, где Т1 и Т2 — постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т1= Т2 = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g1(t) = g2(t) = 0, то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условия третьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:
Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен Здесь h1 > 0 — коэффициент теплообмена с окружающей средой, g1(t) — температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:
Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ2 может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.
Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h1, очень большой.
Перепишем условие (14) при х = 0 в виде и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:
Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.
Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:
Найти решение уравнения
удолетворяющее граничным условиям
и начальному условию
Решим эту задачу методом Фурье.
Шаг 1. Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t).
Найдем частные производные:
Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:
По основной лемме получим
Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:
Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля
Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.
Собственные значения равны
Собственные функции равны (См. решение задачи)
Шаг 3. Подставим собственные значения в уравнение а) и решим его:
Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (15):
В силу линейности и однородности уравнения (15) их линейная комбинация
Шаг 5. Определим коэффициенты An в (19), используя начальное условие (17):
Приходим к тому, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Коэффициенты Фурье находятся по формулам
Вычислив эти коэффициенты для конкретной начальной функции φ(x) и подставив их значения в формулу (19), мы тем самым получим решение задачи (15), (16), (17).
Замечание. Используя формулу (19), можно также, как в лекции 3, получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения Ut = a 2 Uxx. Оно будет иметь вид
где
Фундаментальное решение уравнения теплопроводности; его физический смысл
Нестационарное уравнение теплопроводности в неподвижной среде в декартовой системе координат имеет вид:
. (1)
Рассмотрим безграничное пространство, заполненное однородной неподвижной средой с плотностью r, теплоемкостью c и коэффициентом температуропроводности a. Пусть в этом пространстве в точке с координатами x’, y’, z’ в момент времени t’ сработал (включился и сразу же выключился) мгновенный источник тепла, выделивший количество тепла, равное Q. Тогда температура в любой точке с координатами x, y, z в любой момент времени t > t’ может быть определена по формуле
. (2)
Функция (2) ввиду ее чрезвычайной важности для приложений называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности. В том, что эта функция является решением уравнения теплопроводности (1), проще всего убедиться непосредственной проверкой. Продифференцируем фундаментальное решение один раз по t и дважды по x, y, z:
,
, ,
.
Подставляя эти формулы в уравнение (1), убеждаемся, что при t > t’ получается тождество.
На первый взгляд может показаться, что практическая польза от фундаментального решения невелика, т.к. мгновенных точечных источников в природе и в технике не существует; любой реальный источник имеет конечные размеры и действует в течение конечного промежутка времени. Однако всегда можно мысленно разбить источник тепла на отдельные элементы, настолько малые, чтобы их можно было считать точечными, и, используя принцип суперпозиции, сложить температуры, создаваемые этими элементами (другими словами, проинтегрировать фундаментальное решение по координатам x’, y’, z’ в пределах реальных размеров источника). Аналогично, отрезок времени, в течение которого действовал источник, можно разбить на множество бесконечно малых интервалов dt’ и проинтегрировать фундаментальное решение по t’ от момента включения до момента выключения источника. При этом можно учесть, что различные элементы источника могут иметь различную мощность, которая к тому же может меняться со временем, т.е. решить множество практически важных задач. Если источники тепла имеют сложную форму, и (или) их мощность меняется сложным образом, так что получить аналитическое решение не удается, можно применить методы численного интегрирования. Простейшие примеры применения этих идей приведены ниже. Кроме того, в некоторых случаях, когда мощный источник тепла действовал непродолжительное время, на расстояниях, много больших, чем размеры источника, можно непосредственно использовать формулу (2). В качестве примера можно назвать подземный взрыв (обычный или ядерный небольшой мощности), произведенный на большой глубине.
Рассмотрим некоторые свойства фундаментального решения. Если начало координат поместить в точку (x’, y’, z’) а отсчет времени начать с момента t’, то вид формулы (2) значительно упрощается:
, (3)
где r 2 = x 2 + y 2 + z 2 — квадрат расстояния от источника (от начала координат) до точки наблюдения. Если зафиксировать ряд моментов времени 0 2 /(6a). В этот момент температура в точке, находящейся на расстоянии r от мгновенного точечного источника достигает максимума.
http://mydocx.ru/1-40450.html