Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности
При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:
1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ;
2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ;
3) стержень тонкий — это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.
Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:
Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.
Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С — удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S — площадь поперечного сечения.
Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q1 = -kSUx(x, t)∆t, где k — коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х, а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть Ux CpS∆x∆U = kSUx(x + ∆х, t) ∆t — kSUx(x, t)∆t.
Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:
Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид
Ut = a 2 Uxx,
где — коэффициент температуропроводности.
В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t), получится неоднородное уравнение теплопроводности
Начальные условия и граничные условия.
Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U|t=0 = φ(х) (или в другой записи U(x,0) = φ(х)) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х). Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.
Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g1(t) ≡ Т1 и g2(t) ≡ Т2, где Т1 и Т2 — постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т1= Т2 = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g1(t) = g2(t) = 0, то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условия третьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:
Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен Здесь h1 > 0 — коэффициент теплообмена с окружающей средой, g1(t) — температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:
Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ2 может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.
Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h1, очень большой.
Перепишем условие (14) при х = 0 в виде и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:
Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.
Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:
Найти решение уравнения
удолетворяющее граничным условиям
и начальному условию
Решим эту задачу методом Фурье.
Шаг 1. Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t).
Найдем частные производные:
Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:
По основной лемме получим
Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:
Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля
Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.
Собственные значения равны
Собственные функции равны (См. решение задачи)
Шаг 3. Подставим собственные значения в уравнение а) и решим его:
Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (15):
В силу линейности и однородности уравнения (15) их линейная комбинация
Шаг 5. Определим коэффициенты An в (19), используя начальное условие (17):
Приходим к тому, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Коэффициенты Фурье находятся по формулам
Вычислив эти коэффициенты для конкретной начальной функции φ(x) и подставив их значения в формулу (19), мы тем самым получим решение задачи (15), (16), (17).
Замечание. Используя формулу (19), можно также, как в лекции 3, получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения Ut = a 2 Uxx. Оно будет иметь вид
где
Реферат: Конвективный теплообмен 2
Название: Конвективный теплообмен 2 Раздел: Промышленность, производство Тип: реферат Добавлен 13:29:20 16 июля 2011 Похожие работы Просмотров: 3450 Комментариев: 20 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
l/d | 1 | 2 | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 | 40 | 50 |
εl | 1,9 | 1,7 | 1,44 | 1,28 | 1,18 | 1,13 | 1,05 | 1,02 | 1,0 |
переходной режим – 2100 4
Коэффициент К0 зависит от критерия Рейнольдса Re и представлена в таблице 2.
Re?10 4 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
К0 | 1,9 | 2,2 | 3,3 | 3,8 | 4,4 | 6,0 | 10,3 | 15,5 | 19,5 | 27,0 | 33,3 |
турбулентное течение – Re = 10 4
Таблица 3. Значение εl при турбулентном режиме.
l/d | |||
Re = 2·10 3 | Re = 2·10 4 | Re = 2·10 5 | |
1 | 1,9 | 1,51 | 1,28 |
2 | 1,70 | 1,40 | 1,22 |
5 | 1,44 | 1,27 | 1,15 |
10 | 1,28 | 1,18 | 1,10 |
15 | 1,18 | 1,13 | 1,08 |
20 | 1,13 | 1,11 | 1,06 |
30 | 1,05 | 1,05 | 1,03 |
40 | 1,02 | 1,02 | 1,02 |
50 | 1,00 | 1,00 | 1,00 |
б) Обтекание горизонтальной поверхности.
ламинарное течение – Re 4
в)Поперечное обтекание одиночной трубы (угол атаки j = 90 0 ).
при Reжd = 5 — 10 3
Основными факторами, влияющими на процесс теплоотдачи являются следующие:
1). Природа возникновения движения жидкости вдоль поверхности стенки.
Самопроизвольное движение жидкости (газа) в поле тяжести, обусловленное разностью плотностей её горячих и холодных слоев, называют свободным движением (естественная конвекция) .
Движение, создаваемое вследствие разности давлений, которые создаются насосом, вентилятором и другими устройствами, называется вынужденным (вынужденная конвекция) .
2). Режим движения жидкости.
Упорядоченное, слоистое, спокойное, без пульсаций движение называется ламинарным .
Беспорядочное, хаотическое, вихревое движение называется турбулентным .
3). Физические свойства жидкостей и газов.
Большое влияние на конвективный теплообмен оказывают следующие физические параметры: коэффициент теплопроводности (l), удельная теплоемкость (с), плотность (ρ), κоэффициент температуропроводности (а = λ/cр ·ρ), коэффициент динамической вязкости (μ) или кинематической вязкости (ν = μ/ρ), температурный коэффициент объемного расширения (β = 1/Т).
4). Форма (плоская, цилиндрическая), размеры и положение поверхности (горизонтальная, вертикальная).
1. Лариков Н.Н. Теплотехника: Учебник для вузов. -3-е изд., перераб. и дополн.-М.; Стройиздат, 1985 -432 с.ил.
2. Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача. -М.; Высшая школа, 1969 -560с.
3. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. -М.; Энергия, 1977.
4. Теплотехника /Хазен М.М., Матвеев Г.А. и др. -М.; 1981.
5. Панкратов Г.П. Сборник задач по теплотехнике. М.; Высш. шк., 1986. -248с.
10.2. Закон Ньютона-Рихмана
Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой описывается законом Ньютона-Рихмана, которая гласит, что количество теплоты, передаваемая конвективным теплообменом прямо пропорционально разности температур поверхности тела (t‘ст)и окружающей среды (t‘ж):Q = α · (t‘ст — t‘ж)·F , (10.1)илиq = α · (t‘ст — t‘ж) , (10.2)где: коэффициент теплоотдачи [Вт/(м 2 К)], характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.
Факторы, которые влияют на процесс конвективного теплообмена, включают в этот коэффициент теплоотдачи. Тогда коэффициент теплоотдачи является функцией этих параметров и можно записать эту зависимость в виде следующего уравнения:α = f1(Х; Ф; lo; xc; yc; zc; wo; θ; λ; а; ср; ρ; ν; β) , (10.3)где: Х – характер движения среды (свободная, вынужденная);
Ф – форма поверхности;
lo – характерный размер поверхности (длина, высота, диаметр и т.д.);
θ = (t‘ст — t‘ж) – температурный напор;
λ – коэффициент теплопроводности среды;
а – коэффициент температуропроводности среды;
ср –изобарная удельная теплоемкость среды;
ρ –плотность среды;
ν – коэффициент кинематической вязкости среды;
β – температурный коэффициент объемного расширения среды.
Уравнение (10.3) показывает, что коэффициент теплоотдачи величина сложная и для её определения невозможно дать общую формулу. Поэтому для определения коэффициента теплоотдачи применяют экспериментальный метод исследования.
Достоинством экспериментального метода является: достоверность получаемых результатов; основное внимание можно сосредоточить на изучении величин, представляющих наибольший практический интерес.
Основным недостатком этого метода является, что результаты данного эксперимента не могут быть использованы, применительно к другому явлению, которое в деталях отличается от изученного. Поэтому выводы, сделанные на основании анализа результатов данного экспериментального исследования, не допускают распространения их на другие явления. Следовательно, при экспериментальном методе исследования каждый конкретный случай должен служить самостоятельным объектом изучения.
http://www.bestreferat.ru/referat-286932.html
http://xumuk.ru/teplotehnika/033.html