Теплоперенос в однородной среде при наличии фазового перехода Текст научной статьи по специальности « Физика»
Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Бородин Александр Иванович
Предложена новая модель теплопереноса с фазовым переходом в протяженной области.
Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Бородин Александр Иванович
HEAT TRANSFER IN THE HOMOGENEOUS SUBSTANCE WITH PHASE TRANSITION
The new model of a heat transfer with phase transition in a zone of a nonzero measure is offered in the article.
Текст научной работы на тему «Теплоперенос в однородной среде при наличии фазового перехода»
ТЕПЛОСНАБЖЕНИЕ, ВЕНТИЛЯЦИЯ, КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА, ГАЗОСНАБЖЕНИЕ И ОСВЕЩЕНИЕ
БОРОДИН АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ, докт. физ.-мат. наук, BorAleksIv@yandex. ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
ТЕПЛОПЕРЕНОС В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА
Предложена новая модель теплопереноса с фазовым переходом в протяженной области.
Ключевые слова: гетерогенная двухфазная зона, фазовый переход, состав смеси, задача Стефана.
BORODIN, ALEKSANDERIVANOVICH, Dr. of phys.-math. sc., BorAleksIv@yandex. ru
Tomsk State University of Architecture and Building,
2 Solyanaya sq., Tomsk; 634003, Russia
HEAT TRANSFER IN THE HOMOGENEOUS SUBSTANCE WITH PHASE TRANSITION
The new model of a heat transfer with phase transition in a zone of a nonzero measure is offered in the article.
Keywords: heterogeneous two-phase zone, phase transition, mix structure, problem of Stefan.
Многие процессы теплообмена связаны с изменением агрегатного состояния вещества. Широко распространенным подходом к определению поля температуры и границы фазового перехода в подобных случаях является решение задачи Стефана. Классическая формулировка ее основана на предположении о существовании четкой границы между двумя фазами одного вещества, которая проходит по изотерме плавления (затвердевания) этого вещест-
© А.И. Бородин, 2011
ва. На этом фронте (нулевой толщины) выполняются условия непрерывности температуры с одновременным равенством ее температуре фазового перехода, а также условие теплового баланса — условие Стефана.
Однако многими экспериментаторами неоднократно было отмечено, что процесс кристаллизации приводит к образованию зоны гетерогенной смеси твердой и жидкой фаз [1, 2] (протяженной области промежуточного состояния вещества). Да и сам автор этой статьи в экспериментах, проводимых под его руководством, заметил тот факт, что в охлаждаемом теле довольно длительное время присутствует область ненулевой меры, температура которой равна температуре плавления вещества.
В связи с этим в литературе появились модели, описывающие процессы кристаллизации и плавления с учетом существования двухфазной зоны (см. обзор в [2]). В таких моделях, по сравнению с классической задачей Стефана, необходимо было определить уже не одну подвижную границу фазового перехода, а две, между которыми заключена двухфазная зона (речь идет пока об одномерной постановке). Параметров, входящих в задачу Стефана, теперь оказывается недостаточно, необходимо ввести дополнительные — характеризующие наличие нового объекта, т. е. двухфазной зоны. Такой характеристикой двухфазной зоны может служить ее состав. Вопрос заключается в том, как увязать эту вводимую характеристику двухфазной зоны с ее границами. Ниже предлагается авторское решение этой проблемы.
Рассмотрим задачу о кристаллизации однородного жидкого тела при помещении его в среду с температурой Tc, значительно меньшей температуры
его отвердевания Т .
На начальном этапе вещество, занимающее всю область О, остывает. В момент времени т = т* температура поверхности Е, ограничивающей об*
ласть О, достигает температуры отвердевания Т . Начинается второй этап -кристаллизация вещества. Со стороны поверхности Е по направлению вглубь области О нарастает слой твердой фазы вещества. Второй этап заканчивается, когда все вещество переходит в свое твердое состояние. Последний (третий) этап — охлаждение кристаллизованного вещества до температуры окружающей среды Tc.
Примем следующие упрощающие задачу (но не меняющие сути вводимой ниже модели) положения:
1) температура отвердевания (плавления) считается известной постоян-
ной величиной Т ;
2) параметры, описывающие теплофизические свойства вещества в твердом и жидком агрегатных состояниях (а это плотность р, температуропроводность a, теплопроводность X), — постоянные (не зависящие от температуры) величины;
3) конвекция в жидкой среде отсутствует, т. е. теплопередача всюду осуществляется только за счет теплопроводности;
4) внутренние источники теплоты отсутствуют;
5) жидкая фаза не может существовать при температурах ниже температуры плавления, т. е. не допускается переохлаждение жидкой фазы;
6) температурное поле — одномерное, т. е. теплоперенос осуществляется в одном направлении г, а объект представляет собой либо пластину, либо бесконечный цилиндр, либо шар.
Тогда теплообмен в жидкой и твердой фазах описывается нестационарным одномерным уравнением теплопроводности
где нижние индексы 1 и 2 относятся к твердой и жидкой фазам соответственно, параметр п принимает значение 0 для плоского случая, 1 — для цилиндра, 2 — для шара.
Теплообмен с внешней средой (при г = Я) зададим в виде условия Ньютона — Рихмана
На противоположном конце (при г = 0) — условие симметрии
Начальным условием (при т = 0) служит начальная равновесная температура тела в жидком состоянии, т. е. Т2(г, 0) = Т0, естественно, Т0 > Т.
Особенностью второго этапа является обязательное присутствие переходной зоны, в которой обе фазы находятся в термодинамическом равновесии
при температуре Т . Положение этой зоны заранее неизвестно, оно находится по ходу определения температурного поля всей области О. Сама область О в этот второй период состоит из трех подобластей: О2 — область, занятая жидким веществом, О1 — область, занятая этим же веществом в твердом состоянии, и О0 — промежуточная переходная зона, занимаемая жидкой и твердой фазами одновременно (рис. 1). Температура в областях О1, О2 определяется из решения уравнения (1). Но, помимо граничных условий (2) и (3), в этом случае необходимо задать еще условие на неизвестной границе зоны фазового перехода О0.
Температура во всей переходной области постоянна и равна Т , вопрос заключается в определении перемещения самой переходной зоны.
Зона фазового перехода
Рассмотрим произвольный момент времени т > т , когда зона фазового перехода уже сформировалась, рис. 1, а, интервал (ЛИ). Распределение температуры в этот момент т на всем отрезке (0Л) известно и имеет вид, представленный на рис. 1, а.
Рис. 1. Температурное поле в расчетной области при наличии в ней протяженной зоны фазового перехода
По известному температурному полю можно определить и плотность теплового потока в любой точке, в частности, плотность теплового потока в точке А со стороны жидкой фазы вещества равна
Двухфазная смесь в интервале (АВ) находится в термодинамическом равновесии, причем известна доля твердой фазы в этой смеси — п.
Решая краевую задачу (1), (3), (4) для жидкой фазы, получим в следующий момент времени т + Ат распределение температуры Т = Т2 (г,т + Ах), представленное на рис. 1, б. Так как переохлаждение жидкой фазы по вышеприведенным условиям недопустимо, изменение энтальпии той жидкой части вещества, у которой Т Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Температурное распределение в момент времени т + Ат на всем отрезке [0Я] представлено на рис. 1, в.
В итоге получено температурное поле во всей области ^, местоположение переходной зоны и доля твердой фазы в этой зоне в момент времени т + Ат.
Зарождение зоны фазового перехода
Зарождение зоны фазового перехода происходит с момента времени т*, когда температура поверхности Е, ограничивающей область ^, достигает температуры отвердевания Т. При т = т* протяженность переходной зоны равна нулю, из чего следует:
А = В = Я, п = 0, д(А,т*) = д(В,т*) = а(Т|=я -Тс).
С такими начальными условиями переходим к определению температурного поля, местоположения переходной зоны и состава двухфазной смеси в ней в последующий момент времени по алгоритму, описанному в предыдущем пункте.
Сравнение предлагаемой модели с классической задачей Стефана
В качестве примера рассмотрим задачу охлаждения шара радиусом Я = 1 м, заполненного водой. Исходными данными являются параметры воды: р2 = 1000 кг/м3; с2 = 4212 Дж/(кг-град); ^2 = 0,56 Вт/(м-град); температура и теплота фазового перехода: Т = 0 °С; у = 333700 Дж/кг; параметры льда: Р1 = 920 кг/м ; с = 2120 Дж/(кг-град); = 2,21 Вт/(м-град); начальная темпе-
ратура Т0 = 20 °С; температура внешней среды Тс = -20 °С; коэффициент теплообмена а = 25 Вт/(м2-град).
Подробности вычислительного характера в данной работе не рассматриваются.
Отсчет времени ведется с момента погружения шара во внешнюю среду. Естественно, что распределение температуры в конце первого периода, когда температура поверхности шара достигает температуры плавления Т*, в обоих случаях (в новой модели и в задаче Стефана) одинаково и служит начальным распределением для второго этапа (т = 2150 с).
На рис. 2 приведены типичные для двух моделей распределения температуры по радиусу шара, относящиеся ко второму этапу режима охлаждения (т = 5,1-105 с).
Рис. 2. Распределения температур:
1 — температура в начале второго этапа (начальная температура для обеих моделей); 2 — температура по новой модели; 3 — температура в задаче Стефана
Видны принципиальные отличия в распределении температуры по предлагаемой модели от классического решения задачи Стефана: во-первых, существует множество ненулевой меры (отрезок), где Т = Т = 0 (это обстоятельство закладывается уже при построении модели), во-вторых, температура на поверхности шара (г = Я) существенно выше, в-третьих, вторая производная (кривизна) в твердой фазе — всюду отрицательная величина. Подробнее отмеченные отличия представлены на рис. 3, 4.
Рис. 3. Развитие зоны фазового перехода:
1 — положение левой границы зоны кристаллизации (ликвидус); 2 — правая граница этой же зоны (солидус); 3 — граница фазового перехода в задаче Стефана
Рис. 4. Зависимость температуры поверхности шара от времени во втором этапе теплового режима:
1 — расчет по предлагаемой в работе модели; 2 — расчет задачи Стефана
Из анализа рис. 3 видно, что заявляемая модель и задача Стефана не являются противоречивыми: фронт фазового перехода в задаче Стефана располагается примерно в середине двухфазной зоны. Предлагаемая модель является термодинамическим подходом к развитию теории теплопереноса в веществах при наличии перехода его из одного агрегатного состояния в другое.
Плавное падение температуры на поверхности шара (рис. 4) в предлагаемой модели по сравнению с поведением ее в задаче Стефана объясняется тем, что основные тепловые процессы связаны не с охлаждением твердой фазы, а с формированием гетерогенной зоны фазового перехода.
На рис. 5 представлена зависимость доли твердой фазы в гетерогенной зоне фазового перехода от времени, т. е. п = п(т) . Видно, что эта доля в данном примере стремится к некоторому пределу. Это объясняется тем, что формирование переходной зоны происходит в условиях полного термодинамического равновесия, когда не только температура двухфазной смеси одинакова, но и состав этой смеси не меняется. Это стабильное состояние продолжится до того момента, пока левая граница области не достигнет своего крайнего положения (г = 0).
0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 о
Рис. 5. Доля твердой фазы в гетерогенной зоне фазового перехода
В настоящей работе предлагается новая модель, описывающая теплопе-ренос в однородной среде, претерпевающей изменение своего агрегатного состояния, и отражающая необходимость более точного моделирования в переходной фазе, которая наблюдается в реальных процессах. Ключевым условием модели является возможность появления и дальнейшего развития зоны фазового перехода, которая представляет собой неразрывную область, занятую гетерогенной смесью. Эта смесь представляет собой вещество в различных (жидком и твердом) агрегатных состояниях и находится в термодинамическом равновесии, которое проявляется как равенство температуры смеси температуре плавления вещества.
К достоинствам предлагаемой модели, по мнению автора, можно отнести следующее:
— искомыми функциями являются привычные температура и массовая доля, в отличие от других моделей здесь не вводится энтальпия, внутренняя энергия или другие тепловые потенциалы, для которых осуществляется переход к так называемому обобщенному решению задачи;
— для уяснения сути модели достаточно базовых знаний по термодинамике и теории теплопроводности;
— модель свободна от всяких технических приемов, направленных на сглаживание разрывов параметров на границах зоны фазового перехода (например, сглаживание коэффициентов теплопроводности, теплоемкости);
— алгоритм решения достаточно простой и сводится к решению алгебраических соотношений (в модели лишь одно дифференциальное уравнение теплопроводности).
1. Флеминге, М. Процессы затвердевания / М. Флемингс. — М. : Мир, 1977. — 425 с.
2. Авдонин, Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации / Н.А. Авдонин. —