Процесс теплопроводности в материальных слоях конструкции подчиняется закону Фурье, уравнение которого в дифференциальной форме рассматривается в курсе теплопередачи. В строительной теплотехнике задачи теплопроводности часто решаются инженерными методами, в которых используется конечно-разностная форма записи этого уравнения.
Вывод уравнения теплопроводности в конечных разностях удобно проследить на примере одномерного температурного поля при передаче тепла через однородную стенку.
Стенка разбивается на элементарные слои конечного размера Δх. Принято считать, что тепловая емкость каждого элементарного слоя сосредоточена в его центре, а проводимость тепла материалом между слоями характеризуется сопротивлением теплопроводности между центрами слоев. Полученная тепловая цепочка состоит из тепловых емкостей, соединенных между собой термическими сопротивлениями.
Процесс нестационарной передачи в толще определяется двумя законами: проводимости и аккумуляции тепла. Согласно закону проводимости тепловой поток пропорционален градиенту температуры
Для участка стены между осями элементарных слоев это уравнение можно написать в виде
В уравнении принято, что температуры в центрах равны средним (интегральным) температурам по толщине элементарных слоев. Такое предположение строго справедливо только для линейного распределения температур в условиях стационарной передачи тепла.
Для нестационарных условий, учитывая криволинейное распределение температуры в слоях, уравнение является приближенным.
При переходе к тепловой цепочке уравнение проводимости между
ее узлами может быть записано в виде
где Rn-1,n— сосредоточенное термическое сопротивление между узлами n- 1 и n; tn-1 и tn-температуры в узлах тепловой цепочки, где сосредоточены теплоемкости.
Уравнение для тепловой цепочки справедливо как для стационарных, так и нестационарных условий.
Закон аккумуляции тепла устанавливает, что при ращение количества тепла dQ, аккумулированного слоем dx, пропорционально приращению во времени его температуры
где ср – объемная теплоемкость материала.
Изменение количества аккумулированного тепла ΔQ для элементарного слоя толщиной Δх при изменении во времени z его средней температуры на Δzt равно
Для тепловой цепочки уравнение аккумуляции тепла может быть
записано в виде
где С = срΔх — сосредоточенная тепловая емкость элементарного слоя; Δzt -изменение во времени (z) температуры в центре элементарного слоя в сечении расположения сосредоточенной емкости.
Составим уравнение теплового баланса элементарного слоя n при распределении температур в сечении, отмеченном на рисунке tox. Слой n обменивается теплом с соседними элементарными слоями и согласно закону проводимости за время Δz он получит от слоя n + 1 количество тепла
и отдаст слою n -1 количество тепла
Разность ΔQn между количествами тепла, определенными этими уравнениями, будет аккумулирована слоем n и повысит его среднюю температуру на Δztn .
Уравнение теплового баланса слоя n можно написать в виде
которое после преобразований может быть записано
где
является второй конечной разностью температур, т. е. разностью разностей температур между элементарными слоями. Индекс х показывает, что изменение температуры в пространстве происходит по координате х.
При переходе к пределу и замене конечных разностей бесконечно малыми приращениями из уравнения получаем дифференциальное уравнение Фурье
Применительно к тепловой цепочке уравнения теплопроводности в конечных
Множитель в виде комплекса величин в левой части этого уравнения является обратной величиной критерия гомохронности (Фурье) процесса, написанного для элементарного слоя Δх и расчетного интервала времени Δz. После подстановки значений этот множитель можно преобразовать и заменить обозначением критерия Фурье:
а — коэффициент температуропроводности.
Тогда уравнение теплопроводности в конечных разностях принимает вид
В этой записи уравнения критерий подобия Фурье является обобщенной пространственно-временной координатой процесса, так как его значением определяется изменение температуры и в пространстве и во времени.
Дата добавления: 2014-12-03 ; просмотров: 12 ; Нарушение авторских прав
Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности
Метод Finite Volume (FVM)
В основе метода лежит разбиение области на непересекающиеся контрольные объемы(элементы), узловые точки, в которых ищется решение.Узловые точки находятся в центрах контрольных объемов.Также, как и для метода конечных разностей, для каждого элемента составляется уравнение, получается система линейных уравнений.Решая ее — находим значения искомых переменных в узловых точках.Для отдельного элемента уравнение получается путем интегрирования исходного дифф уравнения по элементу и аппроксимации интегралов.
Термин конечный объем в статье будет часто заменятся на Элемент, будем для удобства считать их эквивалентами (элемент в данной статье не имеет ничего общего с методом конечных элементов).
Есть 2 различных способа решения задачи по FVM: 1) грани контрольного объема совпадают с гранями элемента 2) грани контрольного объема проходят через центры граней элементов(на которые разбита область).Искомые переменные хранятся в вершинах этих элементов.Вокруг каждой вершины строится контрольный объем. Для непрямоугольной сетки этот способ имеет еще 2 подвида.
Мы будем использовать способ 1) с контрольными объемами совпадающими с элементами на которые разбита область.
Некоторые плюсы FVM:
сохранение основных величин по всей области, таких как энергия системы, масса, тепловые потоки и тд.Причом это условие выполняется даже для грубой расчетной сетки
высокая скорость расчета.Многие расчетные величины можно вычислить при разбиении области на элементы, и вычислять их на каждом шаге по времени нет необходимости.
легкость использования для задач со сложной геометрией и криволинейными границами.Легкость использования разных геометрических типов элементов — треугольники, полигоны.
Метод FVM реализуем на примере уравнения теплопроводности:
Итак основные шаги при реализации FVM:
Перевод дифф уравнения в форму пригодную для FVM — интегрирование по контрольному объему
Составление дискретного аналога, выбор способа перевода производных и других подынтегральных выражений в дискретную форму
Получение уравнения для каждого из контрольных объемов, на которые разбита область.Составление системы линейных уравнений и ее решение.
Дискретизация по времени.
Немного теории или первый шаг в реализации FVM
FVM на стандартной прямоугольной сетке
На рисунке изображен Элемент С и его соседние элементы справа(E), слева(W), сверху(N) и снизу(S).У элемента С есть 4 грани обозначенные буквами e w n s.Именно эти 4 грани и составляют периметр элемента и по ним производится интегрирование.Для каждого элемента в результате получаем дискретный аналог исходного дифф уравнения.
Составим дискретный аналог для элемента С.Для начала нужно разобраться с интегралом (3).Интеграл это ведь по факту сумма.Поэтому мы и заменяем интеграл по всей поверхности элемента, на сумму по 4-м составляющим этой поверхности, тоесть 4 граням элемента.
Уравнение (7) и есть конечное уравнение для элемента С, из него мы на каждом шаге по времени получаем новое значение температуры (Tnew) в элементе С.
Граничные условия на прямоугольной сетке
Мы рассмотрим только 2 вида граничных условий.
Задана температура Tb на границе
Задан поток FluxB на границе, рассмотрим только случай когда FluxB=0, т.е. грань e будет теплоизолирована(Insulated)
Случай 2) самый простой, поскольку получается что грань e не потребуется при дискретизации(т.к. все коэффициенты Flux=0) и можно ее просто пропустить.
Теперь рассмотрим случай 1).Дискретизация грани e будет в целом похожа на ту что уже была описана.Будут только 2 изменения — вместо Te будет известное граничное значение Tb и вместо расстояния DXe будет DXe/2.В остальном можно рассматривать значение Te так, как будто это был бы обычный соседний узел E.Теперь подробнее распишем терм для граничного элемента С.
Пример численных расчетов на прямоугольной сетке
FVM в задачах со сложной геометрией
Здесь как раз проявляется преимущество FVM, где также, как и в методе конечных элементов, можно представлять область с круглыми границами через разбиение на треугольники или любые другие полигоны.Но FVM имеет еще 1 плюс — при переходе от треугольников к полигонам с большим числом сторон не требуется абсолютно ничего менять, конечно если код был написан для произвольного треугольника а не равностороннего.Более того, можно без изменения кода использовать смесь разных элементов — треугольники, полигоны, квадраты и тд.
Рассмотрим общий случай, когда вектор соединяющий центры 2-х элементов не совпадает с вектором нормали к общей грани этих элементов.Вычисление потока flux через грань теперь будет состоять из 2-х частей.В первой будет расcчитываться ортогональная составляющая а во второй так называемая «кросс-диффузия».
На картинке изображены 2 элемента, С — текущий рассматриваемый элемент и F — соседний элемент.Опишем дискретизацию для грани, разделяющей эти 2 элемента.Вектор соединяющий центры элементов — DCF.Вектор e — это единичный вектор по направлению DCF.Вектор Sf — направлен по нормали к грани, его длинна равна длине грани.
В исходниках я не стал реализовывать терм с кроссдиффузией, т.к встал вопрос — как проверить корректность такой реализации.Визуально сравнение результатов Матлаб и моих ничем не отличалось в отсутствии кросс-диффузии.Видимо это связано с тем что Матлаб любит треугольники близкие к равносторонним, что в итоге делает кроссдиффузию=0.Возможно позже еще вернусь к этому вопросу.
Расчет граничных элементов ничем не отличается от расчетов не на границе, вместо центра соседнего элемента берется центр грани, ну и как обычно подставляется температура на границе. В моей реализации в итоге получается так:
Примеры и проверка результатов
Описание структуры исходников
Гитхаб с исходниками лежит тут Основная версия в папке heat2PolyV2.То что относится к вычислительной части лежит в heat2PolyV2\Src\FiniteVolume\.
Вначале файла Scene2.cs — параметры которые можно менять для отображения в разных цветовых схемах, масштаб, отображение mesh и т.д.Сами примеры хранятся в heat2PolyV2\bin\Debug\Demos\ Выгрузку из Матлаба сделать просто — нужно открыть pde toolbox, открыть m файл (либо создать самому с нуля), зайти в меню Mesh-Экспорт mesh, нажать ОК; перейти в основной Матлаб, в панельке появятся переменные — матрицы p e t, открыть файл savemymesh.m, выполнить его, появится файл p.out, перенести его в папку Demos. В исходниках для выбора примера необходимо задать имя файла в строке param.file = «p»;(FormParam.cs).Далее необходимо применить граничные условия — для готовых примеров можно просто раскомментировать соответствующие блоки в MainSolver.cs:
Смысл тут простой — Матлаб разделяет границы по доменам, например внешние и внутренние.Также для каждого домена границы разбиты на части (группы), чтобы можно было задавать условия на участках границы по отдельности — например справа или снизу. Возможно и вовсе не использовать Матлаб, а вручную прописать все элементы(треугольники) и их вершины + грани(только для граничных элементов)
