Уравнение теплопроводности в стационарном режиме

Лекция 13. Теплопроводность при стационарном режиме. Плоская стенка. Термическое сопротивление. Коэффициент теплопередачи.

Теплопроводность —один из видов переноса теплоты (энергии теплового движения микрочастиц) от более нагретых частей тела к менее нагретым, приводящий к выравниванию температуры. При Т. перенос энергии в теле осуществляется в результате непосредственной передачи энергии от частиц (молекул, атомов, электронов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией.

Стационарный режим— режим функционирования системы, который устанавливается с течением времени, в дальнейшем его характеристики остаются неизменными.

Если температура тела функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным: t = f(x,y,z) , ∂t/∂i= 0

1).Однородная плоская стенка (Рис.13.1)

Рис.13.1 Однородная плоская стенка

Температуры поверхностей стенки –t_ст1 и t_ст2.Плотность теплового потока:

Если R =δ/λ -термическое сопротивление теплопроводности стенки [(м 2 ∙К)/Вт], то плотность теплового потока:

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность F за время τ определяется:

Температура тела в точке с координатой х находится по формуле:

2).Многослойная плоская стенка.

Рассмотрим 3-х слойную стенку (Рис.13.2). Температура наружных поверхностей стенокt_ст1и t_ст2, коэффициенты теплопроводностислоевλ₁, λ₂, λ₃, толщина слоевδ₁, δ₂, δ₃.

Рис.13.2 Многослойная плоская стенка

Плотности тепловых потоков через каждый слой стенки:

Решая эти уравнения, относительно разности температур и складывая, получаем:

где: R_o= (δ₁/λ₁+ δ₂/λ₂ + δ₃/λ₃) – общее термическое сопротивление теплопроводности многослойной стенки. Температура слоев определяется по следующим формулам:

Теплопроводность при стационарном режиме

Теплопроводность при стационарном режиме

• В установившемся состоянии температурное поле T (x, yₜr, t) не зависит от времени. То есть,^ = 0.Дифференциальное уравнение теплопроводности (II-55)^ = aV2T (IV-I) DX is (П-56 И Р-57) Eh2du * Ldz2(IV-2)для решения конкретной задачи в Формулу (IV-2) необходимо добавить соответствующее граничное условие. Рассмотрим несколько простых случаев Определение стационарного температурного поля для объектов различной формы. § 1.

To рассмотрим теплопроводность тела плоская стенка неограниченная плоская стенка с подходящим температурным полем Его толщина равна 6, его поверхность параллельна плоскостям Y, z декартовой системы координат и находится при x = 0 и x = 6(рис. IV-1).Давайте поддержим его этими поверхностями Соответственно, задаются температуры 7 \и Т₂, то есть граничные условия типа 1(Глава 2,§ 5).

Выражение (IV-3) немедленно интегрируется. Людмила Фирмаль

Если Γ и T₂ не зависят от координат y и z, то, очевидно, искомое температурное поле Уравнение (IV-2), которое зависит от этих координат и определяет температуру T (x), принимает вид

= 0 (IV-3) dx2V ’при граничном условии. Г= 7 \ при x-0 (IV-4) T-X Tn-6.Общая форма решения T (x)=C₁X4-C₂,(1V-5).Где C. И C₂-произвольная константа, определяемая из граничного условия. (IV-4).фактически, если вы установите x = 0 в(IV-5)и используете первую формулу (IV-4), вы получите 2-е условие (IV-4) и (на основе) Л=С₂, (IV-6), x = 6. (IV-6) есть фига IV -!.

Теплопроводность плоской стенки т = С.6+С₂ = С.6+ 7 ′., (IV-7) где C = ^, 16 наконец, решение уравнения (IV-3) при граничном условии(1V-4) видно из (IV-8)(1V-8 T(x)линейно зависит от x, и эта зависимость T (x)= f (x)показана на рисунке вдоль толщины стенки. IV-1.Тепловой поток q можно определить по закону Фурье (1-3): q = — XgradГ, или В нашем случае, дифференцируя распределение температуры по толщине стенки (IV-8), мы видим, что dxowhence (IV-9) получается из Формулы (IV-9), которая равна 7′. > Flux тепловой поток положительный, то есть он направлен вдоль положительного направления оси X. В 7 \7 ′ 2 он направлен в противоположную сторону.

Этот результат является результатом второго закона термодинамики. В частности, тепло передается от нагретого тела к неотапливаемому. Количество тепла, проходящего через стенку за единицу времени, легко вычисляется с помощью (IV-9), q = ^ = X (T₁ — ^ 7′) 4 -/⁷. (1V-10) перепишите уравнение Фурье (P-54) в цилиндрической системе координат с цилиндрическим wall. To сделайте это, декартовы координаты и Цилиндрические координаты (рис. IV-2), x = r cos B, y = r sin B, z = R.

После проведения изменения этой переменной форма уравнения цилиндрической системы координат (P-54) равна dT / dTT- = а-э \ ДГ * \ _ ДТ Р ДГ \ &т р * ДВ. Рассмотрим 1D процесс стационарной теплопроводности на бесконечной цилиндрической стенке (рис. IV-3).Если на рисунке IV-2.Соотношение Прямоугольные и цилиндрические координаты T рис. 1в-3.Теплопроводность цилиндрической стенки, внутренней (r = r) и внешней (r-RJ) поверхности стенки.

Они не зависят от угла Вига, искомое температурное поле не зависит от этих переменных, и если оно стационарно, то уравнение (IV-11) имеет вид (FT (g) 1 dT ® Q dr-r dr (IV-12) при заданном граничном условии типа 1 R = r₁T =Г= = ₂ ₂t =t 決定 определяет распределение температуры по всей толщине стенки. Формула (IV-12) Переписывание (IV-13) (IV-14) Теперь 1 раз integration. As в результате после 2-го интеграла получаем общее решение уравнения. (IV-14): T(g)= CJn g 4-C₂. (IV-15) постоянная интеграция C! И С₂ должно быть определено из граничного условия(IV-13).Р= rxT₁=С₁1пг₁+С₂]и (IV-16)⁼ГГ2Т2⁷ ⁷1ПГ₂4″ С₂.

Если вы решите для (IV-16) относительно Ca, вы найдете первую интегральную константу Ca≥1n-и вторую константу Ca₂C = Tj-Cjlnr ^-br ^ linr ^ 1гг-ЛПП. ’1′ 1 замена Найдя значения Cb и C₂ в Формуле (IV-15), получим искомое распределение температуры по всей толщине цилиндрической стенки In-T ® =Tₗ+(T,-T₁) — I. (IV-17) ’ I следовательно T(g） Логарифмически зависит от радиусной координаты r. плотность теплового потока q определяется по закону Фурье. Основываясь на (IV-17), существует проходящее количество тепла.

Цилиндрическую стенку, которая указывает на единицу длины трубы, можно определить по формуле: Q-qF-q-2nr = inK (T1-T.). (IV-19) — — — в ri Q естественно не зависит от R. Тепло не будет накапливаться anywhere. By по аналогии с многослойной цилиндрической стенкой(1-6) принимается тепловое сопротивление многослойной цилиндрической стенки (рис. IV-4). Равна сумме тепловых сопротивлений отдельных слоев. На основе этого утверждения можно использовать формулу (IV-19) для создания формулы, определяющей количество тепла, которое проходит через нее.

Q-присваивается единице длины стены. Преобразуйте уравнение сферической стенки (P-54) в сферическую систему координат. Используйте его для этого Следующая зависимость между Декартовыми координатами и сферическими координатами (рис. IV-5): x = r sinccosф, y = r sin 8 sinФ, z = r cos 8.Проводимость многослойной цилиндрической стенки В В сферической системе координат форма уравнения (P-54) равна dTha2?Как туда добраться, 2 at, 1 d F. dT \ₜdtL3r3g dr’g2sinea\ ae /1_g2sin26dF2] (IV-2I) рассмотрим стационарный процесс Теплопроводность внутренней поверхности (r = rx) и наружной поверхности (r =r₂) сферической стенки (оболочки) (рис. IV-6) соответственно.

Т₂. Семь Т₂ является постоянным. То есть она не зависит от направления, которое определяется углом 8 и cp. Поэтому требуемое температурное поле сферической стенки не зависит от этих переменных、 Функция радиальной переменной r. вид дифференциального уравнения (1V-2I) в этом случае равен IV-5.Корреляция декартовых и сферических координат IV-6. Для решения задачи теплопроводности граничного значения сферической конформации (IV-22, IV-23) необходимо определить распределение температуры по всей толщине сферической стенки. Переписывание Формулы (IV-22） (Ив-24) \ m2dr доктор! сначала в результате первого интеграла получается dr r* второй .

Интеграл дает Г ® =Г (IV-25).Общее использование граничных условий (IV-23) Решите уравнение (1V-25) для определения любых констант Ci и C2:r — — — rx m \ — — ^ + c2, T \ A = — — — ^ + C2. для r = r2 G # Если вы решите эти уравнения относительно C и C₂, вы получите 1 _ _ _ _ _ 1_ Заменяет \ G «-G1 G1 gg и G₂-G1 Cx и C₂ общим решением (IV-25).Упрощенный, наконец m = r = +(T₁-t₁) r \ yr от Gg-gx (IV-26) (IV-26), температура T (g） Она изменяется по толщине сферической стенки вдоль гиперболы. Определите тепловой поток из раствора (IV-26) — CL-L) ’ 1 ’» количество тепла, передаваемого через сферу 1 yy-yy.

В единицу времени, 2 =₉Г=₉.4лг2 = 4ях (л-Г₂) -!он равен а^ -. (IV-27) / ■ » — ’ 1 не зависит от r по тем же причинам, что и для цилиндрических стенок.§ 2.Теплопроводность тела с Внутренние источники тепла процессы теплопроводности в твердых телах обусловлены внешними условиями, то есть распределением температуры и теплового потока Подвод (отвод) тепла от поверхности тела и образующейся в результате внешней среды.

Математически это выражалось в выделении определенных граничных условий на поверхности тела. Рассмотрим процесс теплопередачи, когда помимо такого внешнего источника тепла существует еще и внутренний источник (сток), который распределяется определенным образом. Объем тела. Вы можете привести много примеров таких processes. It ограничивается упоминанием о том, что тепло образуется, когда электрический ток протекает через проводник.

Тепло Количество тепловыделяющих элементов выделяется и в замедлителях реактора. Когда в рассматриваемом объеме тела происходит определенная химическая реакция, он высвобождается(поглощается） В таком вопросе теплопроводности желательным обычно является распределение температуры внутри тела субъекта, а мощность внутреннего источника тепла (стока) принимается во внимание Это было дано. Мощность источника (стока) — это количество тепла, которое выделяется (поглощается) единицей объема тела за единицу времени.

Эта сумма показана в qᵥ、 Килоджоули / кубический метр / сек (kA s /l13-sec).В зависимости от характера процессов, происходящих в рассматриваемом теле, источник тепла (Сток) может выбираться по-разному. Или концентрируйтесь на определенной части или точке объема тела в течение определенного времени, или равномерно распределяйтесь по всему объему, в зависимости от температуры. Уравнения Теплопроводность при наличии внутреннего источника тепла описывается в виде cp% — = Ky’t +qᵥ. (IV-28) изменение теплоты на единицу объема за 01 единицу времени、 .

Здесь имеет место не только процесс теплопроводности, который является первым членом в правой части формулы (IV-28), но и выделение (поглощение) тепла в единице объема qv, которое мы рассмотрим ниже. Рассматривается задача о постоянном во времени и равномерно распределенном по всему источнику тепла. Теплопроводность бесконечной стенки с внутренним источником тепла плоскость YY и неограниченная стенка (рисунок IV-7) очищаются с обеих сторон при постоянной температуре жидкости Tf. Коэффициент теплопередачи .

A и выход равномерно распределены Объем qᵥ стенки источника тепла равен given. It необходимо найти распределение температуры по всей толщине стенки. Состояние поверхности стенки x = — I n x = I является постоянным, то есть, В зависимости от координат y и z температура будет функцией только от x, а уравнение (IV-28) будет иметь вид xs_ ⁼vv IV IV’2⁾.Однако, — 1 — = а(Тх ₌ / — г.) (IV-30) dx x = 1 * последний и В других случаях источник тепла может зависеть не только от координат, но и от температуры. Для аналогичных условий симметрия на поверхности x—I .

Температурное поле для плоскости x = 0 может быть заменено условием dx x-o (IV-31).От температуры очищающего раствора вводят Счетную температуру (IV-32)и затем кромку Задача (IV-29 напишите qydx2X dx x> = Q. интегрируйте уравнение (IV-33).d / \ _ _ _ _ _ Chu ’dx \ dx j X и IV-31) re — (IV-33) (IV) B 7 1 Tf X g *’ / 1 1 x рисунок IV-7.Теплопроводность плоской стенки с источником тепла после первого уплотнения приобретает вид (IV-35), а после второго уплотнения общий раствор (IV-33) получается в виде x 4-Cj. х 4-Cₜ. Граничное условие (IV-36) (IV-34) используется для определения констант /

Cx и C₂. Из (IV-35) и 2-го граничного условия (IV-34), C,= 0. dx (IV-37) в начале условия, где x = I (IV-34), получаем 2A. то есть, подставляя значение константы произведения С₂ в (IV-37), получаем решение вида (IV-38). Решение квадратично зависит от x (параболически).С другой стороны, если не было внутреннего источника, зависимость была линейной[ссылка(Iv-8)].Представьте себе решение(IV-38) Обобщенная координата. Если вы выбираете как раздел/2Liv, то все термины (IV-38), количество с размером температуры, и половина своей толщины / характерного размера стены.

• Левая сторона (IV-39) (IV-39) является безразмерной температурой поиска. А правая сторона содержит независимые переменные в виде безразмерных координат-y и комплексных параметров Виде био-стандартом. Следовательно, (IV-39)-это (P1-13a) * q.. l2(характеристическая температура Oo = — ^ y — |является специфической функцией вида, которая получается на основе анализа） Решите уравнение (IV-33) с граничным условием (IV-34).Теплопроводность цилиндрической стенки с источником тепла делают цилиндрическую стенку (рис. IV-8) однородной.

Распределенный по всей его толщине источник тепла охлаждается снаружи жидкостью с температурой Tf \коэффициентом теплопередачи a и прочностью источника тепла qᵥ.It требуется Найти распределение температуры= = T-Tf по толщине стенки. •В этом случае вводить параметрические критерии не требуется. Если полый цилиндр в вопросе можно рассматривать Для d (g) используется уравнение dr2g, поскольку если температура окружающей среды.

Есть рисунок 1В-8.Теплопроводность цилиндрической стенки с источником тепла chu g, Cx dr X 2. Людмила Фирмаль

Tf постоянна, то желаемое распределение температуры зависит только от радиальных координат. на внешней поверхности цилиндрической стенки dr X (IV-40) r = r, предполагая, что теплообмен происходит по закону Ньютона,=: ab |(IV-41)dr r =rₜ (Ив-42) рублей. df> dr тогда dr \ dr J X если записать формулу (IV-40) в виде интеграла, то получится 1 2. ′ g (IV-44) итерационно интегрируют и получают общее решение уравнения (IV-43) 0 =—+Cilⁿr+ C»- Используйте (IV-45) A 4 граничных условия (IV-41) и (IV-42) для определения любых констант Cx и C₂.

Из условия (IV-42), M, C, ₀dr r ^rₜ2X q», то есть из условия (IV-41) определим С₂ отсюда (IV-45) и подставив значение и С₂ получим конкретное решение формулы(IV-40). Представьте себе решение (IV-46) с цилиндрической стенкой (IV-46) с обобщенными координатами(1V-46).Разделите все члены (IV-46) и выберите внешний (охлаждающий) радиус в качестве характерного размера С поверхности r2 цилиндрической стенки получаем O 4X. левая сторона (IV-47) является безразмерной искомой температурой, как и в(1V-39), а независимая переменная переходит в правую сторону. Джи! составной параметр в виде ссылки Biot, в виде g₂.

Как и в случае (IV-39), Формула (IV-47)является специфической функцией вида(1P-13a).Для цилиндрических стержень (r,= 0)обобщенная зависимость (IV-47) принимает вид (IV-48)§ 3. Теплопроводность тела с 2-мерным температурным полем 2-мерное температурное поле T-f (x, y) Получение аналитических решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и граничным условиям, рекомендуется для объектов простой формы. Для тела сложной формы решением является.

Громоздкие, в некоторых случаях недоступные. Тогда для фактического расчета аналитическое решение либо упрощается одним из численных методов аппроксимации, либо ставится задача Решайте численно в электронных вычислительных машинах и тому подобное. Мы найдем аналитическое решение дифференциального уравнения для некоторых граничных условий, которые будут представлены ниже.

Для двумерного Формат температурного поля уравнения T = T (x, y) (P-54) имеет вид^ 4-^ = 0. в качестве решения dhadu1 (IV-49)мы применяем метод разделения переменных. Найти решение уравнения в виде Произведение 2 функций, то есть T = f(x, y)= X (x)Y (y), (IV-50), где X (x) — функция только переменной x. Y (y) является функцией только переменной y. Формула т из(IV-50) (1V-49), после деления на X и Y,\ _dtY__________ 1 вы получите d * XY dy * XX1 (IV-51).Поскольку левая сторона (IV-51) не зависит от x и равна значению (правая сторона), это если вы не зависите от y, общие (оба) значения не зависят от x или y. таким образом, общее значение (для обеих частей) уменьшается до постоянного значения. Это полезно для принятия формы k2.

Как и в (IV-56), напишите общее решение (IV-53) X = Cxeⁱkx+C₂e〜ⁱkx, (IV-59).Здесь (\и С₂-произвольные константы. Однако формулы e1x и е-1 actually на самом деле фактические значения х, кроме Х = 0.Используя Эйлера официальный e±ТТХ₌потому что£Х±З Син х (ИЖ-60) (ИЖ-59)* х — сов / экс-ЖБ грех КХ. (ИЖ-61） Можно написать общее решение Формулы (IV-59) на основе (IV-60) в виде T = x XU =(AcosЛх4-Bsin KX) (SEC>〜J-de-K>) (IV-62).

Применяйте его для решения конкретных задач. Теплопроводность плоских стенок с 2-мерным температурным полем рассмотрим конкретную задачу теплопроводности плоских стенок (рис. IV-9).Пусть T-форма температурного поля на стене = /(х,//), температуры в направлении оси Z во всех точках (вдоль стены толщина) X = СЈ е ’ * — r4C₂e -и KX = Ки(coskx + я грешу опций)-| −4- СГ (потому что / с GX-мне грех КХ)=(СЈ-Ф-C₂) потому что с KX + я (Cₜ-C₂） грех КХ — = а потому что КХ ^ — ПБ грех КХ -, (а = с ^ СГ, 5 = ^ −0.).

Тот же смысл. Избыточная температура(гл. Уравнение Лапласа (P-56) для этой задачи в 111,§ 2) имеет вид dx2du2. Граничное условие типа 1 O = T-Ta = 0 задается для x = 0 и x = L. где 0-искомая избыточная температура стенки. Ta-поддерживается температура боковой стенки Постоянный. (IV-63) (IV-64) 0 — > 0 как y — > — oo. (IV-66) (рисунок 1V-9) рисунок IV-9. Теплопроводность в 2D температурном поле, Т= / (*•У) где 7 \ — температура на нижнем конце (см. Рисунок). 1В-9) стены поддерживаются постоянными.

Решением уравнения (IV-63) будет уравнение (1V-62). в последнем случае абсолютная переменная температуры T заменяется избыточной переменной F. Используя граничные условия (IV-64 и IV-66), определите постоянные коэффициенты A, B, C, D. Из первого условия(1V-64) выполните x-0 и A-0. x = 0 должен быть равен нулю, но cosx |z₌ ₀ = coso = 1, то есть если он не равен пуле, то коэффициент a должен быть равен нулю. Поскольку нас интересуют нетривиальные решения, а именно, они не равны нулю Аналогично коэффициент B равен нулю, поэтому если x = L, то требуется sinkL 0.Значение нетривиального решения, удовлетворяющего границе уравнения (IV-63) .

Условие (IV-64) называется собственным значением, а нетривиальное решение этой задачи называется собственной функцией, соответствующей заданному eigenvalue. So кл- ПЛ, вот н= 0、1、2、3、…в результате k>/ / L, k₂-2n / L,…kₙ= !! Си.,…Из условия (IV-66) следует, что коэффициент C = 0 (y — * oo, если e * y неограничен） Рост.) При A = 0, C-0 решение(1V-62) не может принимать вид^-BDe sin ^-^-x ^ =£e sin ^ — ^ ^ x ^ (IV-67) решение (IV-67) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1V-63). любое натуральное значение n. из полученного решения (IV-67) видно, что для 7 -Ta 0 условие (IV-65) не выполняется для выбора E-En. 0 после этого .

Единственным решением проблемы является тривиальное решение 0 = 0.С другой стороны, сумма любых 2 (и, следовательно, любого конечного числа) решений линейных однородных производных Уравнение также является решением. Если мы суммируем число решений типа (IV-67) до бесконечности, то увидим, что мы можем выбрать E = En так, чтобы условие (IV-65) было выполнено(или、 Условие (IV-66)] и бесконечная сумма d = 2£e_T «sin (- ^x’) (IV-68) сходятся, а краевые задачи (IV-63), (IV-64), (IV-65) и (IV-66) сходятся.

Как найти Ep Используйте граничное условие (IV-68) (IV-65). если y = 0, то форма выражения (IV-68) равна (IV-69). чтобы понять формулу (IV-69), вспомним следующее положение из математики. Функция является F (x)с периодом 2n дифференцируема или, по крайней мере, кусочно дифференцируема и может быть расширена рядом Фурье следующих форм: где a0, an и bn Величина, которая называется коэффициентом ряда Фурье и определяется по формуле: lnp-j /(x) cosnxJx (l = 1,2 t 3,…(IV-71) — — — l l°0 = ’ T (IV-713) — — — l l 6n = — J — (F (x) sin nxdx(n = l, 2, 3. ). л.(ИЖ-72) с / — — — Л. Если F (х) нечетная функция (χχ) потому что NX-это странно. Помнишь? В случае нечетной функции выполняется равенство f (- x)= — f (x).

Тогда об этом л§f (x) dx = 0-и, следовательно, в случае (IV-71) an = jf (x) cos nx dx = 0(n = 1, 2, 3,…). — Я имею в виду… Вид ряда Фурье нечетных функций (IV-70) имеет вид f(x)= S b sin px. Чтобы определить bn из (IV-73) n = I (IV-72), для четной функции используйте равенство f (- X) 0), то, изменив переменную, можно переписать Формулы (IV-73) и (IV-75) в виде ZW = BS&». грех (- ПХ） (IV-76) и L sino теперь возвращаются к Формуле (IV-69).

Положим Dx)=в этом случае Формулы (IV-69)и(IV-76) идентичны. Таким образом, выражение (IV-69) представляет собой ряд Фурье следующих констант: Интервал 10, ZJ(Z7 > 0).Константа En равна Ln и по формуле (IV-77) y-x)/ x, где n = 1,2,3……….(IV-77) 0 n = 1, 3, 5, cos pl—1 = n = 2, 4, 6, cos pl-4-1 и En = 0.Конкретные решения (IV-68) могут быть записаны в окончательном виде (IV-78).Здесь мы используем следующие результаты: если функция Dx) с периодом разлагается равномерно В случае сходящегося ряда последний должен быть ближе к Фурье. (Серия (IV-78) четко сходится равномерно.

Отметим, что согласно (IV-78), температура стенки в любой точке не зависит. Теплопроводность в случае учета отсутствия теплового потока на стене. Из полученного решения также ясно, что если = 0, то решение 0 = 0.§ 4. При передаче тепла от жидкости (а.) до падения теплопроводности в ребрах определенных пересечений через сплошную стенку к газу (А₂), общее тепловое сопротивление!K определяется. 4 -= по формуле (1-12)-+ 4-± ИЖ — ⁷⁹ > к-Аль — Xa₂ последний срок 1 /a₂ вносит наибольший вклад в общее тепловое сопротивление, 1, а в некоторых случаях и 2-х значное число больше, чем первых 2-х значное число членов 1 / aP обычно, a₂ не может быть увеличен.

Кроме того, для усиления теплопередачи поверхность стенки со стороны газа увеличена ребрами. Рассмотрим теплопроводность некоторой кромки Раздел 1112).Упростите фактический процесс и предположите следующее: 1)температура ребра T изменяется только вдоль оси Z. 2) тепло передается только в окружающую среду Верхняя (Lb) и нижняя (Lb) поверхности ребра. 3) коэффициент передачи тепла от края нервюры к окружающей среде a постоянн значение, и поток тепла Формула = a (T-T.), (IV-80), где Tf-температура окружающей среды.

Выведем дифференциальное уравнение теплопроводности для ribs. To для этого создадим уравнение теплового равновесия выделенного объема qz2hb-qz + bz2hb-a (2b & z) (T-Tj)= ребро в виде 0 (рисунок IV-10).Разделите все члены полученного уравнения на 2 hb и найдите ограничение Az O (IV-81) dz h. подставьте (IV-81) вместо q. Значение из уравнения закона Фурье (1-Za). в результате получаем искомое дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого ребра dza.

Дополнительные граничные условия: 1) t = Tda (IV-83) решение z = O, z-L обозначается обобщенной переменной (III-13a).Введение температурных безразмерных параметров (IV-84） ’W-координата 2 tf= -^ -. (IV-85) (IV-82) эталонный Bi = — y и параметрический эталонный P = — (для характерных размеров ребер、 Его длина L и половина толщины L). в этом случае наиболее удобное для решения сочетание критериев Bi и P принимает вид: условие задачи обобщенной переменной описывается следующим образом:.

Дифференциальные уравнения (IV-82) (IV-86) дополнительные граничные условия (IV-87) и решение системы br = o = 1 (IV-88) (IV-86, IV-87, IV-88) получены с помощью гиперболической функции в виде Или позвольте мне ввести характеристики эффективности реберной кости 8-NZ-(THN) sh NZ (IV-89) chN (l-Z) ch N (IV-90).Используйте отношение тепло которое на самом деле в качестве его меры Тепло, рассеиваемое поверхностью ребра, рассеивается, если температура всей поверхности ребра равна Tw. As в рассматриваемом случае и эффективность ребер Формула fOdZ-т — — — — — — — — — — — 5-L «1-г > I» (IV-91) о (IV-92) может быть определена.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Электронная библиотека

Дифференциальное уравнение теплопроводности при стационарном режиме без внутренних источников теплоты имеет вид:

Для решения конкретной задачи к этому уравнению надо присовокупить соответствующие граничные условия. Рассмотрим несколько простейших случаев определения стационарного поля температур в телах различной формы.

Рассмотрим неограниченную тонкую стенку толщиной (рис. 10.5).

Рис. 10.5. Схема для определения стационарного поля температур в телах с плоской стенкой

Пусть на поверхностях стенки поддерживаются соответственно температуры и . Если и не зависят от z и y, то очевидно, искомое температурное поле тоже не будет зависеть от этих координат и тогда:

При отыскании распределения поля температур используем граничные условия:

при

Представим выражение (10.2) в виде:

После первого интегрирования имеем:

После второго интегрирования имеем:

Постоянные и определим из граничных условий. Из первого граничного условия имеем:

из второго граничного условия определим константу :

Таким образом, решением уравнения (10.2) будет выражение:

т.е. функция T(x) линейно зависит от x.

Найдем плотность теплового потока. Согласно закону Фурье:

или в данном случае:

Определим количество теплоты потока через стенку в единицу времени:

где F – площадь стенки.

Теперь определим плотность теплового потока через трехслойную стенку (рис. 10.6).

Рис. 10.6. Определение плотности теплового потока через трехслойную стенку

Для каждого слоя можно записать следующие выражения:

для первого слоя

для второго слоя

для третьего слоя

Из уравнений (10.3) – (10.5) можно найти термическое сопротивление трехслойной стенки. Для этого сначала определим местные температурные напоры на каждой стенке:

Почленно сложив эти уравнения, получим:

На основании последнего выражения для многослойной стенки получим:

где n – количество слоев.

С вводом обозначения

где – эквивалентная теплопроводность, выражение (10.6) можно представить в виде:

Запишем дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат.

Для этого используем известные соотношения, связывающие декартовы и цилиндрические координаты (рис. 10.7):

Рассмотрим одномерный процесс теплопроводности в бесконечной цилиндрической стенке (рис. 10.8). Предположим, что на внутренней и внешней полостях стенки, температура не зависит от угла . Тогда получим:

Зададим граничные условия задачи:

при ;

Рис. 10.7. Переход от декартовых к цилиндрическим координатам

Рис. 10.8. Одномерный процесс теплопроводности в бесконечной цилиндрической стенке

Приведем уравнение (10.8) к виду:

После первого интегрирования получим:

После второго интегрирования имеем:

Постоянные интегрирования определим из граничных условий:

Вычитая из уравнения(10.11) выражение (10.10) получим:

Постоянную найдем из уравнения (10.10):

Подставляя выражения для и в уравнение (10.9), найдем:

Из последнего выражения видно, что искомое распределение температуры по толщине цилиндрической стенки логарифмически зависит от координаты r.

Плотность теплового потока определим из закона Фурье:

Количество теплоты, проходящее сквозь цилиндрическую стенку, через единицу длины:

Используя последнюю формулу можно определить количество теплоты, проходящее сквозь многослойную цилиндрическую стенку: