Уравнение теплопроводности в твердых телах

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

Если в твердом теле существует разность температур между различными его частями, то, подобно тому, как это происходит в газах или в жидкостях, тепло переносится от более нагретой к менее нагретой части тела.

В отличие от жидкостей или газов, в твердом теле не может возникнуть конвекция, т.е. перемещение массы вещества с теплом. Поэтому перенос тепла в твердом теле осуществляется только теплопроводностью.

Количественно перенос тепла в любом веществе описывается уравнением теплопроводности. Если вдоль оси х существует градиент температуры dT/dx, то в направлении убывания температуры возникает поток тепла, величина которого определяется уравнением

q = — λ ,

16.1.

Здесь q – поток тепла через поверхность S, расположенную перпендикулярно оси x. Под потоком тепла подразумевается количество теплоты, проходящее через некоторую поверхность за единицу времени, т.е. q = dQ/dt; λ – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств вещества, и называемый коэффициентом теплопроводности. Знак минус в уравнении отражает то обстоятельство, что тепло течет в направлении убывания температуры.

Из уравнения (16.1) видно, что коэффициент теплопроводности численно равен количеству тепла, перенесенному в единицу времени через единицу площади при градиенте температуры, равном единице. В системе СИ коэффициент λ измеряется в ваттах на метр-кельвин [λ] = Вт/(м·К). Величина этого коэффициента для твердого тела не может быть вычислена так, как это делается для газов – достаточно простой системы, состоящей из невзаимодействующих частиц.

Приближенно коэффициент теплопроводности твердого тела можно вычислить с помощью квантовых представлений.

Механизм переноса тепла в твердом теле вытекает из характера тепловых движений в нем. Твердое тело представляет собой совокупность атомов, совершающих тепловые колебания. Но эти колебания не независимы друг от друга. Колебания могут передаваться (со скоростью звука) от одних атомов к другим. При этом образуется волна, которая переносит энергию колебаний. Таким распространением колебаний и осуществляется перенос тепла. Квантовая теория позволяет сопоставить распространяющимся колебаниям некоторые фиктивные частицы – фононы. Каждая частица характеризуется энергией hν, где h – постоянная Планка, а ν – частота колебаний узла решетки.

Теперь твердое тело мы можем рассматривать как сосуд, содержащий газ из фононов, газ, который при не очень высоких температурах может считаться идеальным газом. Как и в случае обычного газа, перенос тепла в фононном газе осуществляется столкновениями фононов с атомами решетки, и все рассуждения, которые приводились для вычисления теплопроводности идеальных газов, будут справедливы и здесь. Поэтому коэффициент теплопроводности твердого тела может быть выражен формулой, аналогичной формуле коэффициента теплопроводности для газов.

λ = ,

16.2.

где ρ – плотность твердого тела, C_v – его удельная теплоемкость, с — скорость звука в нем, l – длина свободного пробега фононов. Вычислить последнюю величину, оказывается, достаточно сложно. Оценка показывает, что эта величина обратно пропорциональная абсолютной температуре тела.

В металлах, помимо колебаний решетки, в переносе тепла участвуют и заряженные частицы – электроны, которые вместе в тем являются и носителями электрического тока в металлах. При высоких температурах электронная часть теплопроводности много больше решеточной. Этим объясняется высокая теплопроводность металлов по сравнению с неметаллами, в которых фононы – единственные переносчик тепла.

При более низких температурах (но не самых низких) в металлах начинает преобладать решеточная теплопроводность, так как она растет с понижением температуры, а электронная от температуры не зависит. При самых низких температурах электронная часть теплопроводности вновь начинает преобладать.

Тема 9.Теплопроводность

9.1. Температурное поле. Уравнение теплопроводности

Будем рассматривать только однородные и изотропные тела, т.е. такие тела, которые обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передачи теплоты в твердом теле, температура тела будет изменяться по всему объему тела и во времени. Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

где:t –температура тела;

x,y,z -координаты точки;

Такое температурное поле называется нестационарным ∂t/∂ i ¹ 0, т.е. соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности

Если температура тела функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным:

t = f(x,y,z) , ∂t/∂ i = 0 (9.2)

Уравнение двухмерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f(x,y,τ) ; ∂t/∂z = 0 (9.3)

для стационарного режима:

t = f(x,y) , ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i = 0 (9.4)

Уравнение одномерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f(x,τ) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i ¹ 0 (9.5)

для стационарного режима:

t = f(x) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i = 0 (9.6)

Изотермической поверхностью называется поверхность тела с одинаковыми температурой.

Рассмотрим две изотермические поверхности (Рис.9.1) с температурами t и t + ∆t. Градиентом температуры называют предел отношения изменения температуры∆t к расстоянию между изотермами по нормали ∆n, когда стремится к нулю:

Температурный градиент-это вектор, направленной по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры t по нормалиn:

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени называется тепловым потоком – Q, [Вт=Дж/с].

Тепловой поток, проходящий через единицу площади называют плотностью теплового потока – q = Q / F, [Вт/м 2 ]

Для твердого тела уравнение теплопроводности подчиняется закону Фурье:

Тепловой поток, передаваемая теплопроводностью, пропорциональна градиенту температуры и площади сечения, перпендикулярного направлению теплового потока.

q = -λ ∙ ∂t/∂n ∙n_o = -λ∙gradt , (9.9)

где: q – вектор плотности теплового потока;

Численное значение вектора плотности теплового потока равна:

q = -λ∙ ∂t/∂n = -λ∙|gradt| , (9.10)

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим способность тела проводит теплоту, Она зависит от рода вещества, давления и температуры. Также на её величину влияет влажность вещества. Для большинства веществ коэффициент теплопроводности определяются опытным путем и для технических расчетов берут из справочной литературы.

Теплопроводность

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

В данном уроке рассматривается понятие теплопроводности.

Теплопроводность является одним из видов теплопередачи и связана с переносом внутренней энергии от более нагретых частей тела (тел) к менее нагретым, который осуществляется хаотически движущимися частицами тела.

С теплопроводностью каждый из нас сталкивается, когда неосторожно хватается за железную ручку сковородки, стоящей на плите. Плохая теплопроводность воздуха позволяет с помощью двойных рам утеплить квартиру на зиму. И таких примеров множество. Поэтому теплопроводность является одним из важнейших физических тепловых явлений, которые мы будем изучать.