Уравнение теплопроводности явная разностная схема

Уравнение теплопроводности в tensorflow

Привет, Хабр! Некоторое время назад увлекся глубоким обучением и стал потихоньку изучать tensorflow. Пока копался в tensorflow вспомнил про свою курсовую по параллельному программированию, которую делал в том году на 4 курсе университета. Задание там формулировалось так:

Линейная начально-краевая задача для двумерного уравнения теплопроводности:

Хотя правильнее было бы назвать это уравнением диффузии.

Задачу тогда требовалось решить методом конечных разностей по неявной схеме, используя MPI для распараллеливания и метод сопряженных градиентов.

Я не специалист в численных методах, пока не специалист в tensorflow, но опыт у меня уже появился. И я загорелся желанием попробовать вычислять урматы на фреймворке для глубокого обучения. Метод сопряженных градиентов реализовывать второй раз уже не интересно, зато интересно посмотреть как с вычислением справится tensorflow и какие сложности при этом возникнут. Этот пост про то, что из этого вышло.

Численный алгоритм

Разностная схема:

Чтобы проще было расписывать, введем операторы:

Явная разностная схема:

В случае явной разностной схемы для вычисления используются значения функции в предыдущий момент времени и не требуется решать уравнение на значения . Однако такая схема менее точная и требует значительно меньший шаг по времени.

Неявная разностная схема:

Перенесем в левую сторону все связанное с , а в правую и домножим на :

По сути мы получили операторное уравнение над сеткой:

что, если записать значения в узлах сетки как обычный вектор, является обычной системой линейных уравнений (). Значения в предыдущий момент времени константы, так как уже рассчитаны.
Для удобства представим оператор как разность двух операторов:

Заменив на нашу оценку , запишем функционал ошибки:

где — ошибка в узлах сетки.

Будем итерационно минимизировать функционал ошибки, используя градиент.

В итоге задача свелась к перемножению тензоров и градиентному спуску, а это именно то, для чего tensorflow и был задуман.

Реализация на tensorflow

Кратко о tensorflow

В tensorflow сначала строится граф вычислений. Ресурсы под граф выделяются внутри tf.Session. Узлы графа — это операции над данными. Ячейками для входных данных в граф служат tf.placeholder. Чтобы выполнить граф, надо у объекта сессии запустить метод run, передав в него интересующую операцию и входные данные для плейсхолдеров. Метод run вернет результат выполнения операции, а также может изменить значения внутри tf.Variable в рамках сессии.

tensorflow сам умеет строить графы операций, реализующие backpropagation градиента, при условии, что в оригинальном графе присутствуют только операции, для которых реализован градиент (пока не у всех).

Сначала код инициализации. Здесь производим все предварительные операции и считаем все, что можно посчитать заранее.

По-хорошему надо было считать значения функции на краях заданными и оптимизировать значения функции только во внутренней области, но с этим возникли проблемы. Способа сделать оптимизируемым только часть тензора не нашлось, и у операции присвоения значения срезу тензора не написан градиент (на момент написания поста). Можно было бы попробовать хитро повозиться на краях или написать свой оптимизатор. Но и просто добавление разности на краях значений функции и краевых условий в функционал ошибки хорошо работает.

Стоит отметить, что метод с адаптивным моментом показал себя наилучшим образом, пусть функционал ошибки и квадратичный.

Вычисление функции: в каждый момент времени делаем несколько оптимизационных итераций, пока не превысим maxiter или ошибка не станет меньше eps, сохраняем и переходим к следующему моменту.

Запуск:

Результаты

Условие как и оригинальное, но без в уравнении:

Что легко правится в коде:

Разницы почти нет, потому что производные имеют большие порядки, чем сама функция.

Условие с одним нагревающимся краем:

Условие с остыванием изначально нагретой области:

Условие с включением нагрева в области:

Рисование гифок

Функция рисования 3D-гифки:

В основной класс добавляем метод, возвращающий U в виде pandas.DataFrame

Функция рисования 2D-гифки:

Стоит отметить, что оригинальное условие без использования GPU считалось 4м 26с, а с использованием GPU 2м 11с. При больших значениях точек разрыв растет. Однако не все операции в полученном графе GPU-совместимы.

• Intel Core i7 6700HQ 2600 МГц,
• NVIDIA GeForce GTX 960M.

Посмотреть, какие операции на чем выполняются, можно с помощью следующего кода:

Это был интересный опыт. Tensorflow неплохо показал себя для этой задачи. Может быть даже такой подход получит какое-то применение — всяко приятнее писать код на питоне, чем на C/C++, а с развитием tensorflow станет еще проще.

Разностные схемы для уравнения теплопроводности

3.1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области <0 n _i = y(x_i, t_n),

Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая

Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (x_i, t_n), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (x_i±1, t_n), (x_i, t_n), (x_i, t_n+1). Производную ¶u/¶t заменим в точке (x_i, t_n) разностным отношением y n _{t, i}, а производную ¶ 2 u/¶ 2 x – второй разностной производной y n _{xx, i}. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией j n _i, в качестве j n _i можно взять одно из следующих выражений:

В результате получим разносное уравнение

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (x_i, t_n) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность j n _i – f(x_i, t_n) имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y 0 _i = u₀(x_i), i = 0, 1,…, N. Если решение y n _i, i = 0, 1,…, N, на слое n уже найдено, то решение y_i n+1 на слое n+1 находится по явной формуле

а значения доопределяются из граничных

условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения y_i n+1 при заданных y_i n требуется решать систему уравнений.

Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность z_i n = y_i n – u(x_i, t_n) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) y_i n = z_i n + u(x_i, t_n), получим уравнение для погрешности

где – погрешность аппроксимации разностной

схемы (6) на решении задачи (1) – (3), y _i n = O( t + h 2 ). Можно оценить решение z_i n уравнения (8) через правую часть y_i n и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по t и вторым – по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии t £ 0,5h 2 , означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.

т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид

y_j n ( j ) = q n e ijh j , (10)

где i – мнимая единица, j – любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на e ijh j , получим

Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого j множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n®¥. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| £ 1 для всех действительных j, то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.

Для уравнения (9) неравенство |q| £ 1 выполняется согласно (11) при всех j тогда и только тогда, когда g £ 0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия t £ 0,5h 2 . Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид t/h 2 £ 0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10 -2 . Тогда шаг t не должен превосходить 0,5 * 10 -4 , и для того чтобы вычислить решение y_j n при t = 1, надо взять число шагов по времени n = t -1 ³ 2 * 10 4 , т.е. провести не менее 2 * 10 4 вычислений по формулам (7).

3.3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (x_i, t_n), (x_{i ± 1} , t_n+1), (x_i, t_n+1) и имеющая вид

Здесь j n _i = f(x_i, t_n+1) + O( t + h 2 ). Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения y i _n+1 по известным y_i n требуется решить систему уравнений

где g = t /h 2 , F_i n = y_i n + t j _i n . Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены.

Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения

имеющие вид (10). Тогда получим

следовательно, |q| £ 1 при любых j , t , h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т.е. устойчива при любых шагах t и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг t слишком малым, можно взять, например, t = h = 10 -2 . Величина шагов сетки t , h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости.

Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема

для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке.

Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему

При s = 0 получим отсюда явную схему, при s = 1 – чисто неявную схему и при s = 0,5 – симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) – (3). Представим решение задачи (15) в виде y_i n = u(x_i, t_n) + z_i n , где u(x_i, t_n) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений

i = 1, 2,…, N – 1, n = 0, 1,…, K – 1,

Сеточная функция y_i n , входящая в правую часть уравнения (16) и равная

(17)

называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) – (3). Получим первые члены разложения функции y_i n по степеням h и t. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для y_i n , по формуле Тейлора в точке (x_i, t_n + 0,5t). Учитывая разложения

Отсюда, проводя разложение в точке (x_i, t_n+1/2) и обозначая u = u (x_i, t_n+1/2), будем иметь

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что

Учитывая уравнение (1) u’’ – u = – f и следствие из него u IV – u’’ = –f’’, окончательно можно записать, что

Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертый – по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и при j _i n º 0 в виде (10), то получим

и |q| £ 1 при всех j, если

Отсюда видно, в частности, что все схемы с s ³ 0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (s = s_*) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.

При s ¹ 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения y_i n+1 по заданным y_i n требуется решать систему уравнений

где

Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при s ¹ 0 сводятся к неравенству

|1 + 2 s g | ³ 2 | s | g

и выполнены при s ³ – 1/(4g). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.

3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

где r (x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

Дифференциальное выражение при каждом

фиксированном t аппроксимируем в точке (x_i, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением

где разностный коэффициент теплопроводности a(x_i, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации

Наиболее употребительны следующие выражения для a(x_i, t):

Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид

Здесь в качестве t можно взять любое значение t Î [t_n, t_n+1], например t = t_n + 0,5 t. Если в уравнении (24) t = t_n + 0,5 t , s = 0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй – по h.

При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с s = 0 и f(x_i, t) º 0, т.е. схему

Предположим, что коэффициенты r (x_i, t), a(x_i, t) – постоянные, r (x_i, t) º r = const, a(x_i, t) º a = const. Тогда уравнение (25) можно записать в виде

или

Из п.2 известно, что последнее уравнение устойчиво при t ’ £ 0,5h 2 , т.е. при

Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях a(x_i, t), r (x_i, t), т.е. если при всех x, t выполнены неравенства

Если известно, что 0 0, то неравенство (27) будет выполнено при

Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы 2.

Если параметр s ³ 0,5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).

Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности

В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции k(u), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно y_i n+2 , i = 1, 2,…, N – 1, имеет вид

где a_i = 0,5 (k(y n _i) + k(y n _i-1)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение y_i n+1 , i = 1, 2,…, N – 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде

Часто используется нелинейная схема

Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой:

Здесь s – номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения для y_i n+1 выбирается y_i n . Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг t. Число итераций M задается из соображений точности. В задачах с гладкими коэффициентами при k(u) ³ c₁ > 0 часто бывает достаточно провести две – три итерации. Значения y_i (S+1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. При M = 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29).

Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор – корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге – Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь переход со слоя n на слой n+1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений

из которой находятся промежуточные значения y_i n+1/2 , i = 0, 1,…, N. Затем на втором этапе используется симметричная шеститочечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициенты a(y), f(y) вычисляются при y = y_i n+1/2 , т.е. схема

Явная разностная схема решения одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Геренштейн Аркадий Васильевич, Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич

Предлагается численный метод решения третьей смешанной задачи для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности параболического типа, основанный на использовании явной разностной схемы . Зависимость коэффициентов уравнения от температуры преодолевается введением новой искомой функции первообразной теплопроводности .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Геренштейн Аркадий Васильевич, Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич

EXPLICIT DIFFERENCE SCHEME FOR THE SOLUTION OF ONE-DIMENSIONAL QUASI-LINEAR HEAT CONDUCTIVITY EQUATION

Numerical method for the solution of the third mixed boundary value problem for one-dimensional quasi-linear heat conductivity equation of a parabolic type based on the use of explicit difference scheme is given. Dependence of coefficients on temperature is overcome by the introduction of the new required function that is a primitive integral of conductivity.

Текст научной работы на тему «Явная разностная схема решения одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности»

ЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Л.Б. Геренштеин, М.З. Хаирисламов

Предлагается численный метод решения третьей смешанной задачи для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности параболического типа, основанный на использовании явной разностной схемы. Зависимость коэффициентов уравнения от температуры преодолевается введением новой искомой функции — первообразной теплопроводности.

Ключевые слова: теплопроводность, квазилинейное уравнение теплопроводности, явные разностные схемы, аппроксимация.

В настоящей работе используются идеи, изложенные в работах [1,2], в которых была предложена и обоснована явная устойчивая схема для линейного уравнения теплопроводности.

Рассмотрим следующую постановку третьей смешанной задачи для одномерного однородного квазилинейного уравнения [3]:

Шаблон разностной схемы

йОі(і) .О-і(ґ) — 2О,(і) + Оі+і(і)

і є [0; т], і = 2. N -1.

Аппроксимируем значения (0 и С;+1 (0 с точностью до членов первого порядка малости:

О,- (Г) — 0-1 (0) + ^ (0У, о1+1 (Г) — о1+1 (0) + ^ (0У.

В результате уравнение (3) преобразуется к виду

а 2(иі) ( Оі-і (0) + О,+1(0) + Г &О-І (0) + &О+1 (0) 1 і’

Погрешность аппроксимации оказывается равной О

, даже если производные

(0) вычисляются по формулам первого порядка точности.

Решением уравнения (4) является функция

1 г йО, . + йО,+, > в = О,-1 (0) + О,+1 (0) ‘-2

+ Аі + В, і є [0; т], — А •-

Для обозначения значений сеточной аппроксимации функции С на следующем временном слое будем использовать верхний индекс (+1), а на предыдущем — верхний индекс (-1), на сле-

дующем полуцелом временном слое — I +— I, а на предыдущем полуцелом временном слое —

— (см. рисунок). Запишем теперь разностные аппроксимации для производных ——(0) и

йО ,-1_ (0) = О-12* — О>-12

Окончательно расчетная формула приобретает вид

О(+1 = (О, — В)е п + Ат + В,

1′ «в = О-1 + О+1 — А •- п

Для расчета значений функции С на временном слое і = т, а также для вычисления значений функции в полуцелых слоях по времени можно воспользоваться формулами:

Для применения формул (5)-(7) необходимо по данному значению (7; найти температуру м; та-

кую, что Gj = | с/(д)с/д . В силу монотонности функции С(п) эту задачу можно решить методом 0

деления отрезка пополам (дихотомии).

Аппроксимация краевых условий

Для выполнения краевых условий введены фиктивные узлы с номерами 0 и N +1 (см. рисунок): сначала рассчитываются значения искомой функции во внутренних точках, после чего исходя из краевых условий задаются ее значения в фиктивных узлах.

Перепишем краевое условие на левом конце в задаче (1) с учетом замены искомой функции:

30 =Я1 (и (0, 0) ( — и (0, Г)) + а . (8)

Обозначим через функцию, обратную к функции С, производную ——————-

———, а значение (1(0. і) — полусуммой (1(0. і) = ——. То-

гда условие (8) может быть записано в виде

Обозначив z = G-11 ——— |. из (9) получим уравнение относительно z :

2• G(z)-Л, (z)( -z) = ^ + Qt.

Считаем, что функции q. Для вычисления функций в остальных точках температуры используется ку-сучно-линейная аппроксимация. Поэтому уравнение (10) на каждом промежутке [г;;г;+1],

/’ = 1, т -1 является в общем случае квадратным. Несложные выкладки позволяют записать его в виде

A = q(zi+і) — q(zi) + Mzh±)z¥zA

B = 2 ^ q( zi) zi+1 — q( zi+і) zi Лі (zi+і) -Лі (zt) в + Лі (zi )zi+1 -Лі (z,+1) z,

jWf- q( z, ) z, + q( Z +1) — q (Zi) •

Л (ZI )Zi+1 — Лі (ZI+1)Z± в — — Q

Если г* — корень уравнения (11), принадлежащий промежутку [г,; г1+] \. то искомое значение С0 в фиктивном узле с номером 0 будет равно

Рассуждения для правого конца стержня аналогичны.

Результаты численных расчетов

Для проведения расчетов взята следующая третья смешанная задача:

= Л, (u (0, t)) ( — u (0, t)) + Qt,

= Лг (u(L, t)) (r -u(L, t)) + Qr

где T = 100 c, L = 1 m, % = 22 °C, в, = 1400 °C, Qr = 1400 °C, О, = 105 Дж/(м‘с) , Qr =0 Дж/(м2с), а функции c(u), q(u), Л,(и) и Лг(и) заданы в табл. 1.

Значения входных параметров задачи, являющихся функциями температуры

Параметр Температура, °С

0 100 200 300 400 500 600 700 S00 1000

ф), 10б Дж/(м3-°С) 3,414 3,56S 4,040 4,347 4,S12 5,272 5,SS6 7,2S6 7,21S 7,21S

q(u), Дж/(м3-°С) 22,5 23,4 24,S 2б,7 27,2 27,7 2S,1 2S,6 27 27

Л,(и), Дж/(м2-с-°С) 100 100 110 120 130 140 150 160 170 170

Лг(и), Дж/(м2-с-°С) 100 120 130 140 150 150 150 150 150 150

Результаты численных расчетов по предложенной схеме приведены в табл. 2. В связи с тем, что точное решение задачи (12) неизвестно, проводилось сравнение решения, полученного по предложенной схеме, с решением, полученным по чисто неявной схеме, которая является безусловно сходящейся [3, 5].

Максимальная относительная погрешность решения в сравнении с решением по чисто неявной схеме

Величина шага по времени г, с

Число узлов N 0,01 0,05 0,1 0,5

40 4,7 -10-4 4,5 -10-4 1,52 -10-3 1,72 -10-3

60 1,12 10-3 1,12 10-3 1,19 10-3 2,18 -10-3

80 9,9 -10-4 1,0 10-3 1,06 10-3 2,15 -10-3

100 7,5 -10-4 7,7 -10-4 8,7 -10-4 2,25 -10-3

150 4,2 -10-4 4,7 -10-4 5,9 -10-4 2,43 -10-3

200 2,7 -10-4 3,4 -10-4 5,0 -10-4 2,67 -10-3

1. Геренштейн, А.В. Нагревание круга движущимся теплоисточником / А.В. Геренштейн,

Н. Машрабов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15, №5. -С.870-871.

2. Геренштейн, А.В. Устойчивые явные схемы для уравнения теплопроводности / А.В. Геренштейн, Е.А. Геренштейн, Н. Машрабов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2008. — Вып. 1. — № 15(115). — С. 9-11.

3. Самарский, А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. — М.: Наука, 1989. — 616 с.

4. Годунов, С.К. Разностные схемы / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. — М.: Наука, 1977. -440 с.

5. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин; под. ред. А.А. Самарского. — М.: Наука, 1978.- 512 с.

6. Шуп, Т. Решение инженерных задач на ЭВМ / Т. Шуп. — М.: Мир, 1982. — 235 с.

7. Геренштейн, А.В. Расчет температурных полей в цилиндре при действии поверхностных тепловых источников «Тепло 4.0» / А.В. Геренштейн, Н. Машрабов, Е.А. Геренштейн // Государственная регистрация в Отраслевом фонде алгоритмов и программ № 9776, 20.02.2008. — М.: ФГНУ ГКЦИТ, 2008.

8. Машрабов, Н. Расчет температурных полей в цилиндре при действии поверхностных теп-

ловых источников «Тепло 5.0» / Н. Машрабов, А.В. Геренштейн, Е.А. Геренштейн // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2008612210, 30.04.2008,

EXPLICIT DIFFERENCE SCHEME FOR THE SOLUTION OF ONE-DIMENSIONAL QUASI-LINEAR HEAT CONDUCTIVITY EQUATION

A.V. Herreinstein1, M.Z. Khayrislamov2

Numerical method for the solution of the third mixed boundary value problem for one-dimensional quasi-linear heat conductivity equation of a parabolic type based on the use of explicit difference scheme is given. Dependence of coefficients on temperature is overcome by the introduction of the new required function that is a primitive integral of conductivity.

Keywords: thermal conductivity, quasi-linear heat conductivity equation, explicit difference schemes, approximation.

1. Herreinstein A.V., Mashrabov N. Nagrevanie kruga dvizhushhimsya teploistochnikom [Circle heating by moving heat source]. Obozrenieprikladnoj ipromyshlennoj matematiki. 2008. Vol. 15, no. 5. pp. 870-871. (in Russ.).

2. Herreinstein A.W., Herreinstein E.A., Mashrabov N. Ustojchivye yavnye skhemy dlya urav-neniya teploprovodnosti [Steady Obvious Schemes for Equation of Heat Conductivity]. Vestnik YuUrGU. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie». 2008. Issue 1. no. 15(115). pp. 9-11. (in Russ.).

3. Samarskij A.A. Teoriya raznostnykh skhem [Theory of difference schemes]. Moscow: Nauka, 1989. 616 p. (in Russ.).

4. Godunov S.K., Ryaben’kij B.C. Raznostnye skhemy [Difference schemes]. M.: Nauka, 1977. 440 p. (in Russ.).

5. Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical methods]. M.: Nauka, 1978. 512 p. (in Russ.).

6. Shup T. Reshenie inzhenernykh zadach na EVM [The solution of engineering problems with a computer]. Moscow: Mir, 1982. 235 p. (in Russ.).

7. Herreinstein A.V., Mashrabov N., Herreinstein E.A. Raschet temperaturnykh polej v cilindre pri dejstvii poverxnostnykh teplovykh istochnikov «Teplo 4.0» [Calculation of temperature patterns in a cylinder at surface heat sources “Teplo 4.0” effect]. Gosudarstvennaya registraciya v Otraslevom fonde algoritmov iprogramm № 9776. 20.02.2008. Moscow: FGNU GKCIT, 2008. (in Russ.).

8. Mashrabov N., Herreinstein A.V., Herreinstein E.A. Raschet temperaturnykh polej v cilindre pri dejstvii poverkhnostnykh teplovykh istochnikov «Teplo 5.0» [Calculation of temperature patterns in a cylinder at surface heat sources “Teplo 5.0” effect]. Svidetel’stvo o gosudarstvennoj registracii programm dlya EVM №2008612210. 30.04.2008. ROSPATENT [Certificate of state registration of computer program No. 2008612210. 30.04.2008. ROSPATENT], (in Russ.).

Поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.

1 Herreinstein Arcady Vasilevich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Applied Mathematics Department, South Ural State University.

2 Khayrislamov Mikhail Zinatullaevich is Post-Graduate student, Applied Mathematics Department, South Ural State University.