Уравнение теплового баланса
Нагревание и охлаждение
Этот процесс характеризуется изменением температуры системы. Количество теплоты определяется по формуле
Удельная теплоемкость вещества с измеряется количеством теплоты, которое необходимо для нагревания единицы массы данного вещества на 1К=1 0 С. Для нагревания 1кг стекла или 1кг воды требуется различное количество энергии. Удельная теплоемкость — табличная величина.
Теплоемкость вещества (тела) С — это количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела без учета его массы на 1К.
При вычислении ΔT договоримся из большей температуры вычитать меньшую. Тогда количество теплоты будет всегда положительной величиной. Это уменьшает вероятность ошибки при сложении количества теплоты, выделяющегося при охлаждении с количеством теплоты выделяющимся, например, при кристаллизации.
Горение
Количество теплоты, которое выделяется при сгорании вещества
Удельная теплота сгорания табличная величина.
Плавление и кристаллизация
Плавление — переход вещества из твердого состояния в жидкое. Обратный переход называется кристаллизацией.
Энергия, которая тратится на разрушение кристаллической решетки вещества, определяется по формуле
Значение удельной теплоты плавления можно найти в таблицах.
Парообразование (испарение или кипение) и конденсация
Парообразование — это переход вещества из жидкого (твердого) состояния в газообразное. Обратный процесс называется конденсацией.
Удельная теплота парообразования табличная величина.
Уравнение теплового баланса
Если мы рассмотрим изолированную (нет обмена энергией с окружающей средой) систему тел (твердых или жидких), в которой теплообмен может совершаться только между телами входящими в эту систему, то в результате этого процесса в системе установится тепловое равновесие. Температуры всех тел станут одинаковыми и равными некоторому значению Q.
В процессе теплообмена тела, начальные температуры которых больше Q («горячие» тела), будут отдавать свою энергию, а тела, у которых начальные температуры меньше Q, — получать энергию.
Из закона сохранения энергии (т.к. система изолированная) следует, что количество теплоты, потерянное телами с более высокой температурой, будет равно количеству теплоты, приобретенному телами с более низкими температурами.
Qотд=Qполуч где Qотд — количество теплоты, отданное «горячими» телами; Qполуч — количество теплоты, полученное «холодными» телами.
Это уравнение носит название уравнения теплового баланса. А положение, что количество теплоты, потерянное «горячими» телами, равно количеству теплоты, приобретенному «холодными телами» называется законом теплообмена.
В приведенном выше подходе при составлении уравнения теплового баланса мы везде из большего значения температуры должны вычитать меньшее, тогда значения количеств теплоты всегда были положительными.
«Виртуальный банк» тепла
Довольно часто встречаются задачи в которых требуется найти конечную температуру системы. Хорошо, если из контекста понятно в каких агрегатных состояниях будут находиться вещества после прекращения теплообмена. Тогда уравнение теплового баланса удается записать с первого раза. Но если непонятно что получится в конце (например, вода, смесь вода+лед, смесь вода+пар и т.п.) то приходится либо по очереди перебирать все варианты, находить конечную температуру и смотреть не противоречит ли она равновесному состоянию данной системы (к примеру, смесь вода+лед не будет существовать при +15 0 С), либо поэтапно сравнивать отдельные количества теплоты и все время отвечать на вопросы… «хватит — не хватит?».
Но есть и другой подход, основанный на замечательном свойстве закона сохранения энергии – связывать начальные и конечные состояния системы независимо от процесса перехода. Если система сложно шла к установлению теплового равновесия, то всегда можно представить весь переход в виде набора из нескольких элементарных процессов, расчет которых не вызывает труда. Пусть даже эти элементарные процессы заведомо не могут протекать в реальной жизни. Окончательный результат (в данном случае, конечная температура) все равно окажется такой же, как и в случае одного сложного процесса.
Поясним на примере. Пусть произошла разгерметизация кастрюли-скороварки с перегретой водой. Масса воды в кастрюле m. Начальная температура T (T>Tкипения). Какая часть воды испарится?
Сколько тепла забирает/отдает перегретая вода не совсем ясно, зато мы умеем рассчитывать, сколько выделит эта вода при остывании и сколько тепла потребуется для испарения некоторой массы при температуре кипения. Тогда предложим схему некоторого виртуального банка тепла. Предположим, что вся перегретая вода остынет до температуры кипения. Тогда она выделит некоторое Q1=mc(T-Tкипения). Временно «отправим» это тепло в банк. Теперь найдем сколько потребуется тепла для испарения некоторой массы mп при температуре кипения? Это легко Q2=mпL. Если система теплоизолирована, то тепло на испарение мы можем взять только из виртуального банка. Q1=Q2. Окончательно 
. Такой прием особенно выгодно применять в случае теплообмена большого количества тел (и нагревателей), для процессов со сложной и непонятной физикой теплообмена и для поиска конечной температуры системы.
В последнем случае, можно мысленно охладить всю систему до температуры самого холодного тела. Посчитать выделившееся при этом тепло и пустить его на нагревание сразу всей системы.
Тепловое равновесие и уравнение теплового баланса
Тела, температура которых отличается, могут обмениваться тепловой энергией. То есть, между телами будет происходить теплообмен. Самостоятельно тепловая энергия переходит от более нагретых тел к менее нагретым.
Что такое теплообмен и при каких условиях он происходит
Тела, имеющие различные температуры, будут обмениваться тепловой энергией. Этот процесс называется теплообменом.
Теплообмен – процесс обмена тепловой энергией между телами, имеющими различные температуры.
Рассмотрим два тела, имеющие различные температуры (рис. 1).
Тело, имеющее более высокую температуру, будет остывать и отдавать тепловую энергию телу, имеющему низкую температуру. А тело с низкой температурой будет получать количество теплоты и нагреваться.
На рисунке, горячее тело имеет розовый оттенок, а холодное изображено голубым цветом.
Когда температуры тел выравниваются, теплообмен прекращается.
Чтобы теплообмен происходил, нужно, чтобы тела имели различные температуры.
Когда температура тел выравняется, теплообмен прекратится.
Тепловое равновесие — это состояние, при котором тела имеют одинаковую температуру.
Уравнение теплового баланса и сохранение тепловой энергии
Когда тело остывает, оно отдает тепловую энергию (теплоту). Утерянное количество теплоты Q имеет знак «минус».
А когда тело нагревается – оно получает тепловую энергию. Приобретенное количество теплоты Q имеет знак «плюс».
Эти факты отражены на рисунке 2.
Закон сохранения тепловой энергии: Количество теплоты, отданное горячим телом равно количеству теплоты, полученному холодным телом.
Примечание: Существует и другая формулировка закона сохранения энергии: Энергия не появляется сама собой и не исчезает бесследно. Она переходит из одного вида в другой.
Уравнение теплового баланса
Тот факт, что тепловая энергия сохраняется, можно записать с помощью математики в виде уравнения. Такую запись называют уравнением теплового баланса.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел, обменивающихся тепловой энергией:
\(\large Q_<\text<остывания горяч>> \left( \text <Дж>\right) \) – это количество теплоты горячее тело теряет.
\(\large Q_<\text<нагревания холод>> \left( \text <Дж>\right) \) – это количество теплоты холодное тело получает.
В левой части уравнения складываем количество теплоты каждого из тел, участвующих в теплообмене.
Записываем ноль в правой части уравнения, когда теплообмен с окружающей средой отсутствует. То есть, теплообмен происходит только между рассматриваемыми телами.
В некоторых учебниках применяют сокращения:
\[\large Q_ <1>+ Q_ <2>= 0 \]
Примечание: Складывая два числа мы получим ноль, когда эти числа будут:
- равными по модулю и
- имеют различные знаки (одно число — знак «плюс», а второе – знак «минус»).
Если несколько тел участвуют в процессе теплообмена
Иногда в процессе теплообмена участвуют несколько тел. Тогда, для каждого тела нужно записать формулу количества теплоты Q. А потом все количества теплоты подставить в уравнение для теплового баланса:
\[\large \boxed < Q_<1>+ Q_ <2>+ Q_ <3>+ \ldots + Q_
- Q для каждого нагреваемого тела будет обладать знаком «+»,
- Q для каждого охлаждаемого тела — знаком «-».
Пример расчетов для теплообмена между холодным и горячим телом
К горячей воде, массой 200 грамм, имеющей температуру +80 градусов Цельсия, добавили холодную воду, в количестве 100 грамм при температуре +15 градусов Цельсия. Какую температуру будет иметь смесь после установления теплового равновесия? Считать, что окружающая среда в теплообмене не участвует.
Примечание: Здесь мы рассматриваем упрощенную задачу, для того, чтобы облегчить понимание закона сохранения энергии. Мы не учитываем в этой задаче, что вода содержится в емкости. И часть тепловой энергии будет затрачиваться на то, чтобы изменить температуру емкости.
При решении других задач обязательно учитывайте, что емкость, в которой будет содержаться вещество, имеет массу. И часть тепловой энергии будет затрачиваться на то, чтобы изменить температуру емкости.
Решение:
В условии сказано, что окружающая среда в теплообмене не участвует. Поэтому, будем считать рассматриваемую систему замкнутой. А в замкнутых системах выполняются законы сохранения. Например, закон сохранения энергии.
Иными словами, с сосудом и окружающим воздухом теплообмен не происходит и, все тепловая энергия, отданная горячей водой, будет получена холодной водой.
1). Запишем уравнение теплового баланса, в правой части которого можно записать ноль:
2). Теперь запишем формулу для каждого количества теплоты:
Примечания:
- \(\large c_<\text<воды>> \) – удельную теплоемкость воды находим в справочнике;
- Массу воды переводим в килограммы;
- Горячая вода остывает и отдает тепловую энергию. Поэтому, разность \(\large (t_<\text<общ>> — t_<\text<горяч>> ) \) будет иметь знак «минус», потому, что конечная температура горячей воды меньше ее начальной температуры;
- Холодная вода получает тепловую энергию и нагревается. Из-за этого, разность \(\large (t_<\text<общ>> — t_<\text<холодн>> ) \) будет иметь знак «плюс», потому, что конечная температура холодной воды больше ее начальной температуры;
3). Подставим выражения для каждого Q в уравнение баланса:
4). Для удобства, заменим символы числами:
\[\large 4200 \cdot 0,2 \cdot (t_<\text<общ>> — 80 ) + 4200 \cdot 0,1 \cdot (t_<\text<общ>> — 15 ) = 0 \]
\[\large 840 \cdot (t_<\text<общ>> — 80 ) + 420 \cdot (t_<\text<общ>> — 15 ) = 0 \]
Раскрыв скобки и решив это уравнение, получим ответ:
Ответ: Температура смеси после прекращения теплообмена будет равна 58,33 градуса Цельсия.
Задача для самостоятельного решения:
В алюминиевом калориметре массой 100 грамм находится керосин массой 250 грамм при температуре +80 градусов Цельсия. В керосин поместили свинцовый шарик, массой 300 грамм. Начальная температура шарика +20 градусов Цельсия. Найдите температуру тел после установления теплового равновесия. Внешняя среда в теплообмене не участвует.
Примечание к решению: В левой части уравнения теплового баланса теперь будут находиться три слагаемых. Потому, что мы учитываем три количества теплоты:
- \(\large Q_ <1>\) – охлаждение алюминия от температуры +80 градусов до конечной температуры;
- \(\large Q_ <2>\) – охлаждение керосина от температуры +80 градусов до конечной температуры;
- \(\large Q_ <3>\) – нагревание свинца от температуры +20 градусов до конечной температуры;
А справа в уравнение теплового баланса запишем ноль. Так как внешняя среда в теплообмене не участвует.
Фазовые переходы и уравнение теплового баланса
теория по физике 🧲 термодинамика
Фазовые переходы — это термодинамические процессы, приводящие к изменению агрегатного состояния вещества.
Плавление и отвердевание
Для расчета количества теплоты, необходимого для процесса плавления, следует применять формулу:
m — масса вещества, λ (Дж/кг) — удельная теплота плавления.
Плавление каждого вещества происходит при определенной температуре, которую называют температурой плавления. Все проводимое тепло идет на разрушение кристаллической решетки, при этом увеличивается потенциальная энергия молекул. Кинетическая энергия остается без изменения и температура в процессе плавления не изменяется.
Удельная теплота плавления показывает, какое количество теплоты необходимо сообщить 1 кг данного вещества, чтобы перевести его из твердого состояния в жидкое при условии, что оно уже нагрето до температуры плавления. В процессе отвердевания 1 кг данной жидкости, охлажденной до температуры отвердевания, выделится такое же количество теплоты.
Внимание! Удельная теплота плавления — табличная величина.
Определение Отвердевание, или кристаллизация — переход состояния из жидкого состояния в твердое (это процесс, обратный плавлению).
Отвердевание происходит при той же температуре, что и плавление. В процессе отвердевания температура также не изменяется. Количество теплоты, выделяемое в процессе отвердевания:
Парообразование и конденсация
Количество теплоты, необходимое для процесса кипения, вычисляют по формуле:
m — масса вещества, r (Дж/кг) — удельная теплота парообразования.
Парообразование происходит при определенной температуре, которую называют температурой кипения. В отличие от испарения, процесс парообразования идет со всего объема жидкости. Несмотря на то, что к кипящему веществу подводят тепло, температура не изменяется. Все затраты энергии идут на увеличение промежутком между молекулами. Температура кипения зависит от рода вещества и внешнего атмосферного давления.
Удельная теплота парообразования показывает, какое количество теплоты необходимо затратить, чтобы перевести в пар 1 кг жидкости, нагретой до температуры кипения. Такое же количество теплоты выделится в процессе конденсации 1 кг пара, охлажденного до температуры конденсации.
Внимание! Удельная теплота парообразования — табличная величина.
Определение Конденсация — процесс, обратный кипению. Это переход вещества из газообразного состояния в жидкое.
Конденсация происходит при температуре кипения, которая также не изменяется во время всего процесса. Количество теплоты, выделяемое в процессе конденсации:
Тепловые процессы при нагревании и охлаждении
Все фазовые переходы, а также процессы нагревания и остывания вещества можно отобразить графически. Посмотрите на график фазовых переходов вещества:
Он показывает зависимость температуры вещества от времени в процессе его нагревания и остывания. Опишем процессы, отображаемые на графике, в таблице.
| Процесс | Что происходит | Количество выделенной теплоты | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1–2 | Нагревание твердого тела | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2–3 | Плавление при температуре плавления (tпл) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3–4 | Нагревание жидкости | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4–5 | Кипение при температуре кипения (tкип) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5–6 | Нагревание пара | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6–7 | Охлаждение пара | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7–8 | Кипение при температуре кипения (tкип) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8–9 | Охлаждение жидкости | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 9–10 | Отвердевание при температуре плавления (tпл) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 10–11 | Охлаждение твердого тела |
| Что происходит | График | Формула количества теплоты | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Полностью растопили лед, имеющий отрицательную температуру. |  | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Лед, взятый при отрицательной температуре, превратили в воду при комнатной температуре. |  | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Взяли лед при температуре 0 о С и полностью испарили. |  | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Взяли воду при комнатной температуре и половину превратили в пар. |  |
| Единицы измерения | Температуру можно оставлять в градусах Цельсия, так как изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах. |
| Кипяток | Вода, которая при нормальном атмосферном давлении имеет температуру в 100 о С. |
| Объем воды 5 л | m = 5 кг, так как: m = ρ V =10 3 · 5 · 10 − 3 м 3 = 5 к г Внимание! Равенство V (л) = m (кг) справедливо только для воды. |
Пример №1. Какое количество теплоты нужно сообщить льду массой 2 кг, находящемуся при температуре –10 о С, чтобы превратить его в воду и нагреть ее до температуры +30 о С?
Можно выделить три тепловых процесса:
- Нагревание льда до температуры плавления.
- Плавление льда.
- Нагревание воды до указанной температуры.
Поэтому количество теплоты будет равно сумме количеств теплоты для каждого из этих процессов:
Q = Q 1 + Q 2 + Q 3
Q = c л m ( 0 − t 1 ) + λ m + c в m ( t 2 − 0 )
Удельные теплоемкости и удельную теплоту плавления смотрим в таблицах:
- Удельная теплоемкость льда = 2050 Дж/(кг∙К).
- Удельная теплоемкость воды = 4200 Дж/(кг∙К).
- Удельная теплота плавления льда = 333,5∙10 3 Дж/кг.
Q = 2050 · 2 ( 0 − ( − 10 ) ) + 333 , 5 · 10 3 · 2 + 4220 · 2 · 30 = 961200 ( д ж ) = 961 , 2 ( к Д ж )
Уравнение теплового баланса
Суммарное количество теплоты, которое выделяется в теплоизолированной системе равно количеству теплоты (суммарному), которое в этой системе поглощается.
Математически уравнение теплового баланса с учетом знаков количества теплоты записывается так:
Q о т д = − Q п о л
Отданное количество теплоты меньше нуля (Qотд 0).
Подсказки к задачам на уравнение теплового баланса
| Теплообмен происходит в калориметре | Потерями энергии можно пренебречь. |
| Жидкость нагревают в некотором сосуде | Начальные и конечные температуры жидкости и сосуда совпадают. |
| В жидкость опускают термометр | Через некоторое время он покажет конечную температуру жидкости и термометра. |
| Мокрый снег | Содержит воду и лед при 0 о С. Учтите, что лед плавится, если он находится при температуре 0 о С и получает энергию от более нагретого тела. Вода кристаллизируется при температуре 0 о С, если она отдает энергию более холодному телу. Если лед и вода находятся при температуре 0 о С, то никаких агрегатных переходов между ними не происходит. |
Частные случаи теплообмена
| В воду комнатной температуры бросили ком снега, содержащий некоторое количество воды, после чего установилась некоторая положительная температура. |  Уравнение теплового баланса:Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0 c в m в 1 ( t − t в 1 ) + c в m в 2 ( t − 0 ) + λ m л + c в m л ( t − 0 ) = 0 | ||||||||||||||
| Для получения некоторой положительной температуры воды используют горячую воду и лед, имеющий отрицательную температуру. |  Уравнение теплового баланса:c в m в ( t − t в ) + c л m л ( 0 − t л ) + λ m л + c в m л ( t − 0 ) = 0 | ||||||||||||||
| В воду комнатной температуры бросают раскаленное твердое тело, в результате часть воды испаряется. |  Уравнение теплового баланса:c т m т ( 100 − t т ) + c в m в ( 100 − t в ) + r m п = 0 | ||||||||||||||
| Воду комнатной температуры нагревают до кипения, вводя пар при t = 100 о С. |  Уравнение теплового баланса:− r m п + c в m в ( 100 − t в ) = 0 | ||||||||||||||
| Лед, имеющий температуру плавления, нагревают до положительной температуры, вводя пар при t = 100 о С. |  Уравнение теплового баланса:− r m п + c в m п ( t − t к и п ) + λ m л + c в m л ( t − t п л ) = 0 Пример №2. В кастрюлю, где находится вода объемом 2 л при температуре 25 о С, долили 3 л кипятка. Какая температура воды установилась? Количество теплоты, отданное кипятком, равно количеству теплоты, принятому более прохладной водой. Поэтому: c m 1 ( t − t 0 ) = − c m 2 ( t − t к и п ) m 1 ( t − t 0 ) = − m 2 ( t − t к и п ) m 1 t + m 2 t = m 1 t 0 + m 2 t к и п ( m 1 + m 2 ) t = m 1 t 0 + m 2 t к и п t = m 1 t 0 + m 2 t к и п m 1 + m 2 . . t = 2 · 25 + 3 · 100 2 + 3 . . = 350 5 . . = 70 ( ° C ) Взаимные превращения механической и внутренней энергииЕсли в тексте задачи указан процент одного вида энергии, перешедший в другой, то он указывается в виде десятичной дроби перед этой энергией, которой тело обладало вначале. Частные случаи закона сохранения энергии
|
На рисунке представлены графики зависимости температуры t двух тел одинаковой массы от сообщённого им количества теплоты Q. Первоначально тела находились в твёрдом агрегатном состоянии.