Уравнение tgx решений не имеет — Решение уравнений

Арктангенс и решение уравнения tg x=a (продолжение)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение арктангенса и решение уравнений вида tg x = a для любого а. В начале урока решим уравнение с табличным значением и проиллюстрируем решение на графике, а потом и на круге. Далее решим уравнение tgx = aв общем виде и выведем общую формулу ответа. Проиллюстрируем вычисления на графике и на круге и рассмотрим различные формы ответа. В конце урока решим несколько задач с иллюстрацией решений на графике и на круге.

Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсом и котангенсом

Чтобы уверенно решать простейшие уравнения с тангенсом или котангенсом нужно знать значения стандартных точек на круге и стандартные значения на осях тангенсов и котангенсов (если в этом материале есть пробелы, читайте « Как запомнить тригонометрический круг »).

Алгоритм решения простейших уравнений с тангенсом

Давайте с вами рассмотрим типичное уравнение, например, \(tg⁡x=\sqrt<3>\).

Пример. Решить уравнение \(tg⁡x=\sqrt<3>\).

Чего от нас здесь хотят? Чтобы мы написали все такие значения угла в Пи, для которых тангенс равен корню из трех. Причем написать надо именно все такие углы. Давайте нарисуем тригонометрический круг и ось тангенсов…

…и обозначим то место на оси, куда мы должны попасть в итоге.

Теперь найдем через какие точки на окружности мы должны идти, чтобы попасть в этот самый корень из трех –проведем прямую через начало координат и найденную точку на оси тангенсов.

Точки найдены. Давайте подпишем значение одной из них…

…и запишем окончательный ответ – все возможные варианты значений в Пи, находящиеся в отмеченных точках: \(x=\frac<π><3>+πn\), \(n∈Z\).

Замечание. Вы, наверно, обратили внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом , здесь записывается только одна серия корней, причем в формуле добавляется \(πn\), а не \(2πn\). Дело в том, что в любом уравнении с тангенсом решением получаются две точки на окружности, которые находятся друг от друга на расстоянии \(π\). Благодаря этому значение обеих точек можно записать одной формулой в виде \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\).

Пример. Решить уравнение \(tg⁡x=-1\).

Итак, окончательный алгоритм решения подобных задач выглядит следующим образом:

Шаг 1. Построить окружность, оси синусов и косинусов, а также ось тангенсов.

Шаг 2. Отметить на оси тангенсов значение, которому тангенс должен быть равен.

Шаг 3. Соединить прямой линией центр окружности и отмеченную точку на оси тангенсов.

Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.

Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\) (подробнее о формуле в видео), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4.

Специально для вас мы сделали удобную табличку со всеми шагами алгоритма и разными примерами к нему. Пользуйтесь на здоровье! Можете даже распечатать и повесить на стенку, чтоб больше никогда не ошибаться в этих уравнениях.

Алгоритм решения простейших уравнений с котангенсом

Сразу скажу, что алгоритм решения уравнений с котангенсом почти такой же, как и с тангенсом.

Шаг 1. Вопрос у нас практически тот же – из каких точек круга можно попасть в \(\frac<1><\sqrt<3>>\) на оси котангенсов?
Строим круг, проводим нужные оси.

Теперь отмечаем на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен…

…и соединяем центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.

По сути точки найдены. Осталось записать их все. Вновь определяем значение в одной из них…

…и записываем окончательный ответ по формуле \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), потому что у котангенса период такой же как у тангенса: \(πn\).

Кстати, вы обратили внимание, что ответы в задачах совпали? Здесь нет ошибки, ведь для любой точки круга, тангенс которой равен \(\sqrt<3>\), котангенс будет \(\frac<1><\sqrt<3>>\).

Разберем еще пример, а потом подведем итог.

Пример. Решить уравнение \(ctg⁡x=-1\). Здесь подробно расписывать не буду, так как логика полностью аналогична вышеизложенной.

Итак, алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений с котангенсом:

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов, а также ось котангенсов.

Шаг 2. Отметить на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен.

Шаг 3. Соединить центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.

Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.

Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4. И табличка в награду всем дочитавшим до этого места.

Примечание. Возможно, вы обратили внимание, что при решении примеров 2 и 3 в обеих табличках мы использовали функции \(arctg\) и \(arcctg\). Если вы не знаете, что это – читайте эту статью.

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение sinx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a n arcsina+πn, n .

Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде:

x = (-1) n arcsin0,3+πn, n .

Уравнение соsx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a 1, то решений нет. Ответ: решений нет.

б) x =(-1) k arcsin(- )+ x =(-1) k +

x =(-1) k +1 + Ответ: (-1) k +1 +

в) Так как -2,3>1, то решений нет; Ответ: решений нет.

г) x= , x= ;

Ответ: ;

д) tgx = , x = arctg + x = + Ответ: +

3.Виды тригонометрических уравнений:

1.Уравнения, в которых можно выполнить замену переменной

Такие тригонометрические уравнения можно привести, например, к виду

где a,b,c – некоторые действительные числа,a ≠0, f(x)- одна из тригонометрических функций.

Например, 4sin 2 x +5 sinx+1 = 0.

Обозначим sinx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

4t 2 +5t +1 = 0, это квадратное уравнение относительно t, найдем его корни.

Подставим найденные значения t₁ и t₂ в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения sinx =-1,sinx =- 0,25.

Решение первого уравнения x= — Решение второго уравнения

x =(-1) k+1 arcsin0,25+

Ответ: — ; (-1) k+1 arcsin0,25+

Решить уравнение sin 2 x + cosx +1= 0.

sin 2 x + cosx +1= 0, заменяя sin 2 x = 1- cos 2 x, получим 1- cos 2 x+ cosx +1= 0,

cos 2 x — cosx -2= 0.

Обозначим cosx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

t 2 -t -2 = 0, это квадратное уравнение относительно t найдем его корни.

Подставим найденные значения t₁ и t₂ в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения cosx = -1, cosx = 2.

Решение первого уравнения x=

Второе уравнение решений не имеет, т.к. 2>1.

Ответ: ,

2.Однородные тригонометрические уравнения.

Такие уравнения можно привести к виду a∙sin 2 x+bsinxcosx+ k∙cos 2 x= 0,

a,b,k – некоторые действительные числа, a≠0, k≠0.

Например, 4sin 2 x +5sinx cosx+cos 2 x = 0.Такие уравнения – однородные уравнения второй степени

Чтобы решить такое уравнение, надо:

1. Разделить почленно обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0,т.е.

4 ;

2.Выполнить преобразования: 4 4tg 2 x +5tgx+1=0.

3.Решить квадратное уравнение относительно tgx, tgx =t.

tgx = -1, tgx = — 0,25.

x = arctg(-1)+πk, или x = arctg(-0,25)+πn, ,

x = — +πk, или x = — arctg 0,25+πn, .

Ответ: — +πk, ; — arctg0,25+πn,

Решить уравнение 4sin 2 x +sin2x -3 = 0.

Заменим в данном уравнении sin2x по формуле двойного аргумента на 2sinxcosx, а 3- на 3sin 2 x +3сos 2 x , т.к. sin 2 x +сos 2 x =1, получим:

4sin 2 x +2sinxcosx-3sin 2 x -3сos 2 x =0, sin 2 x +2sinxcosx-3сos 2 x =0.

Последнее уравнение – однородное. Решим его:

1. ;

2. tg2x +2tgx — 3= 0.

3. tgx =t, t 2 +2t — 3= 0. D=16, t1= 1;t2= -2 .

x = arctg1+πk, или x = arctg(-3)+πn, ,

x = +πk, или x = — arctg 3+πn, .

Ответ: +πk, ; — arctg3+πn,

Для решения однородных уравнений можно использовать следующую таблицу:

1. Привести уравнение к виду

2. Решить уравнение

3.Уравнение вида asinx+bcosx=c

Чтобы решить уравнение такого вида (например,3sinx+4cosx=2), можно 1.Записать его в виде sin(x +t) = ( в нашем случае sin(x +t) = ,

sin(x +t) = ).

2.Решить простейшее тригонометрическое уравнение: sin(x +t) =

( в нашем случае sin(x +t) = , x+t =(-1) k arcsin0,4 +πk, ;

x = (-1) k arcsin0,4 – t +πk, ;

3. Определить t, t = arctgb/a ( в нашем случае t = arctg4/3);

4. Записать ответ: x = (-1) k arcsin0,4 – arctg4/3+πk, .

Решите уравнение 2sinx +cosx = 1.

1. sin(x +t) = , sin(x +t) = ;

2. x+t = (-1) k arcsin +πk, , x = (-1)k arcsin -t+πk, ;

4. , x = (-1) k arcsin -arctg0,5 +πk, /

Для решения уравнения вида , где можно использовать следующую таблицу:

Уравнение	Равносильное уравнение	Дополнительное условие
		, , .

Если левая часть тригонометрического уравнения содержит лишь одно из выражений или и функцию (или произведение ), то, вводя новую переменную или и учитывая, что , , приходим к уравнению относительно .